1、1易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要 本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。在约束条件易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为 370.7ml。在问题二中，首先针对最简化形状圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过 Lingo 软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对
2、模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数 （顶盖厚度与侧壁厚度比值）和 （底面厚度与侧壁厚度比值） ，并揭示出决定易拉罐形状的关系式： /1rh。在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值 ，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进s一步修正起到很好的帮助。在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现易拉罐最优形状依然主要由参数 决定。、2在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问
3、题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1 模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响） 。2.2 符号说明：饮料的密度（克每立方厘米）：饮料瓶的净质量0m：装有 355ml 饮料的易拉罐质1量：装满同样饮料的易拉罐质量2m：易拉罐颈部圆台的高度h：易拉罐中部的高度
4、2：易拉罐上表面的半径1r：易拉罐中部的半径2：易拉罐的容积0v：单个易拉罐所用材料的体积：饮料瓶中部侧壁的厚度b3易拉罐上表面金属片的厚度与中部金属片厚度的比值易拉罐下表面金属片的厚度与中部金属片厚度的比值三、问题分析主要问题是通过建模研究易拉罐形状和尺寸的最优设计问题，实际上在每个问题中，易拉罐的形状是相对固定的，要研究的是最优尺寸，并用最优尺寸来分析最优形状。所谓最优设计问题也就是在易拉罐容积一定的约束下，使得所用材料最省。问题一要求我们确定验证模型所需的相关数据，首先要确定的是需要哪些数据和怎样精确的获得。对此我们通过认真观察 355ml 易拉罐实物，认为易拉罐的总高度、总容量、上下底
5、面直径、中部直径、中部高度、颈口圆台高度、上下底面厚度、中部厚度等是需要我们测量的。针对所测数据较小的特点，采用较精密的仪器如游标卡尺，螺旋测微器，物理天平等采用多次测量取平均等方法。问题二将易拉罐看成正圆柱体，考虑到圆柱体的各个面的厚度不同，我们以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件建立模型一。并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。问题三将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。此时目标函数材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，我们以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型二。
6、4问题四是在现有的模型基础上，针对易拉罐实物，作出更切合实际的模型。四、模型的建立与求解4.1 问题一 关于数据的测量，我们用直接测量的方法来获得高度、直径的数据；针对厚度和容积比较难以直接测量出的实际情况，用间接测量方法获得数据。其中厚度的测量采用将多片叠加测量取平均值的方法，容器的测量中引用质量、密度测量，并找出它们的关系式： 01235mv据此可测出容积。4.2 问题二由测量数据我们可知 及圆台侧壁的厚度 。则目标函数为关于、 b的二元函数，圆柱体的容积 一定。建立模型一如下：2rh、 0v22 2min vrbbhrh02s.t h代入不同数据 ，用 Lingo 软件求解得结果如下：b
7、、 、 (c)0lv2(cm)rh3(c)v1.90 1.00 0.105 370.7 3.44 9.976 34.991.90 1.30 0.105 370.7 3.43 10.65 36.192.20 1.3 0.105 370.7 3.23 11.3 37.3320135mV=51.90 1.30 0.20 370.7 3.33 10.65 70.9观察对比发现 b 仅决定了所用材料的体积，并不影响易拉罐的形状。由于目标函数较复杂，无法验证出 之间的关系。考虑到 远小于 ，2rh、 b2rh、故消去含 项，对模型简化得：23.、 22 2min vr,hrbrh20s.t 用拉格朗日乘数
8、法求解得： 203()vr21rh根据改进模型，Lingo 求解得到验证数据如下： 2r2rv理论值 1.80 1.56 3.27 11.0 0.297 35.59测量值 1.80 1.56 3.22 10.16 0.316观察发现理论值与测量值很接近，说明在容积一定时，圆柱体易拉罐的形状由半径和高决定，与圆柱上下表面厚度和侧壁厚度之比有关，几乎与 b无关（故对 b 的近似是有效的） 。4.3 问题三在此问中，易拉罐的形状为正圆柱体与正圆台的组合体，与问题二建模的基本思路类似，只是此时的目标函数材料体积 ，1234cv+v如图 1 所示：6的求解：34v、将 视为整体，采用外圆台体积减去内圆台
9、体积得到，如下图 2 示意：、观察发现目标函数很复杂不便于求解，由于 b 远远小于 r,我们消去含的项，化简得简化模型如下：23b.、 221212min vbrrhr72202113423. vrbhrst将参数 ， ， ， 代入用 Lingo 求解与测2.01.70.15037.v量值比较如下： 1r21h2v理论值 1.036 3.67 5.665 6.182 31.88测量值 2.8910 33165 0.9800 1016通过分析表中的数据发现，易拉罐圆柱体部分的半径数据基本吻合，而圆台部分的数据差别较大，也就是说，顶盖比实际要小，倾斜度比实际要小。但是考虑到易拉罐罐体的承重和受力，
10、因此，顶盖厚度和倾斜角都有一定的约束，据此我们在上述条件中加入倾斜角 的约束条件：12hsr得到修正后的模型如下： 221212min vbrrbhr202112342123. vrb hsthsr通过验证得到与实际值较为吻合的数据： 121h2理论值 3.05 3.15 6.93 5.19实际值 2.8910 33165 0.9800 10168关于参数值和数据的几点说明：1. 在以上的模型中我们发现对于易拉罐最优形状和尺寸有关键影响的参数，当 变大时，易拉罐将 “瘦” ， 变小时，易拉罐将变“胖” 。、 2. 在模型二中我们发现理论上求得圆台半径很小，而且圆台高度比实际值要大，通过查阅资料
11、得知，未来的易拉罐顶盖发展确实也正是越来越小，而考虑的罐体的承压和受重因素，如果圆台厚度和圆柱体厚度相同，则圆台的高度将增加，这也侧面说明了我们模型的正确性。4.4 问题四通过对易拉罐实物的观察我们发现其底部有凹进的球面（如图 3所示） ，球面的设计会增加材料的体积，但从物理的角度，在内部压强增大时，凹面会外凸，增加内部空间从而减小压强，避免了罐体的开裂造成的危险。图 3参阅易拉罐制作工艺和文献有凹陷的球冠体积为 223113()()644v d10.dr与模型二相比，含有球面的底面用材体积的增加量：9221()4vd易拉罐的容积也相应的减少 v下面在圆台加圆柱模型的基础上使底面有球冠建立模型
12、三：2121min () brrbhhv22201s.t 3()rs将参数 ， ， ， 代入用 Lingo 求解与测2.0.70.5b037.v量值比较如下： 1r21h2v理论值 0.83 3.426 8.66 633 31.88测量值 2.8910 33165 0.9800 1016分析数据认为，罐体的这种设计主要是考虑到当外界压强变大时，底部可由内凹变成外凸，增加罐体容积，从而减小内部压强。五、模型的评价1.本文中我们所建立的模型，在不断将理论值与实际值比较的基础上，逐步完善，最终在最节省材料的基础上得到了易拉罐形状和尺寸的最优设计，说名我们这种方法在现实生活中具有一定的指导意义。2.在模型建立过程中，我们只考虑了易拉罐容量作为约束条件，但实际中我们发现除此之外，还应该有其他的约束条件，例如，顶盖有拉环，从而顶盖的直径也是有限制的；要能够用手握住，因此，罐体的直径是有10限制的。参考文献方财子 陈道军 邱细亚.易拉罐形状和尺寸的最优设计.空军雷达学院.2006.附录模型一程序:模型一程序的运行结果：11模型一的改进程序：模型一改进程序的运行结果：12模型二程序：模型二程序运行结果：13模型二的改进程序：14模型二改进程序的运行结果：模型三的程序：模型三程序的运行结果：15
