1、 数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一 观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， （2） ,1764,093,521（3） （4）,5, ,解：（1）变形为：10 11，10 21，10 31，10 41， 通项公式为：0na（2） （3） （4） .;12nn ;1na 1)(nan点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、公式法例 2： 已知数列 an是公差为 d 的等差数列，数列 bn是公比为 q 的( qR 且q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1)， a3 = f (d+1
2、)， b1 = f (q+1)， b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1) a 1=f (d1) = (d2) 2， a 3 = f (d+1)= d 2， a3 a1=d2( d2)2=2d， d=2， an=a1+(n1) d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2， b3 =f (q1)=( q2)2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2， bn=bqn1 =4(2) n113)(b例 1. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通na432a 432a项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 12an n 1n1
3、0n解析：设等差数列的公差位 d，由已知 ，2348)()(3ad解得 ，又 是递减数列， ， ，243dan d1 ，故选(D)。)(18n 102例 2. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为na110qnb，求数列 的通项公式。21nnabb解析：由题意， ，又 是等比数列，公比为321nnn ，故数列 是等比数列， ， qabnn213nb )1(21321 qaab)()(qn点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 ,12nan ,
4、1253,734a,12nan各式相加得 )12(71nan )(52N点评：一般地，对于型如 类的通项公式，只要(f能进行求和，则宜采用此方法求解。)()2(1ff例 4. 若在数列 中， ， ，求通项 。na31nan1na解析：由 得 ，n1所以 ， ， ，a21n 12将以上各式相加得： ，)()a又 所以 =31n32)(四、叠乘法例 5：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。a11nana解：由(n+1) =n 得 ， = =1nn2341所以4321例 4. 已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，试求通na31nSannaS)2(项公式 。n解析：首先由
5、易求的递推公式：nnaS)12( 123,)32()1( 1nana将上面 n1 个等式相乘得：551221an.)12( )12(35731)(5)3(1na nnn 点评：一般地，对于型如 = (n) 类的通项公式，当 的值可afa )(2)(nff以求得时，宜采用此方法。五、S n法利用 ( 2)1nnS例 6：已知下列两数列 的前 n 项和 sn的公式，求 的通项公式。ana（1） 。 （2）3n 2s解： （1） = = =311Sn1nS1)()1()(33 232n此时， 。 =3 为所求数列的通项公式。aa22（2） ，当 时 01s 2)()(21 nsnn由于 不适合于此等
6、式 。 1a)(0an点评：要先分 n=1 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2n六、待定系数法：例 7：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若ncc1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式 cn解：设 1)(nnbqda 132 21274nncabdqbdaq例 8. 已知数列 中， ， ，其中 b 是与 n 无关的常数，且nc1cn1。求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。1b解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知： )(1nnc b1)1(1, 222 bcbcbbnn故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 21cn 211
7、2212bcbnn点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、为常数） ，若数列 nacbnacs2为等比数列，则 ， 。n 1nAq)1,0(qAqs七、辅助数列法例 9：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。na21nna1na解： 121 令 则辅助数列 是公比为 2 的等比数列)(nn nbnb 即 1qbnqa2)(111a例 10 在数列 中， ， ， ，求 。n nnn3na解析：在 两边减去 ，得na321 1 )(112 是以 为首项，以 为公比的等比数列，a2a，由累加法得11)(nn= = a121)
8、(n2)3(n3)1n1)(= = = 3)(n)(41n1)(47n例 11： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式。na111naN解： ， 设 ，则1n1nn nab11nb故 是以 为首项，1 为公差的等差数列 nb1a )( an点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如 型)(1nfan（1）若 f(n)为常数,即： ,此时数列为等差数列，则 = .dan1 nad)1(1（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：)(1fan时， ，1，)2(21fn )(23fa1所以各式相加
9、得 )1(2)()( fnffn 即： .1)(knfa为了书写方便，也可用横式来写：时， ，2)1(1nfn122)()( aaan = .)(fff例 1. （2003 天津文） 已知数列 an满足 ,证明)2(3,11nan213na证明：由已知得： 故,31nna12211 )()()( aann = 332 3n例 2.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式. na *12()naNna答案： 12例 3.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案： n2评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、a1)(1nfn指数
10、函数、分式函数，求通项 .a若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 4.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.a0n )(21nnaSna解:由已知 得 ,)(21nnS )(11nnS化简有 ,由类型(1)有 ,n1 Sn3212又 得 ,所以 ,又 , ,1aS)(2Sn0na2)(sn则 )1()(2nn此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如 型)(1fan（1）当 f(n)为常数，即：
11、 （其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列，an1= .na1nq（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.由 得 时， ，)(1fn2)1(1nfan=f(n)f(n-1) . 1221aann 1)(af例 1.设 是首项为 1 的正项数列，且 （ =1，2， 0121nnn3，） ，则它的通项公式是 =_.na解：已知等式可化为： 0)1(1 na( ) (n+1) , 即0na*N01na1n时，2n1= = .1221aann 12nn评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公1n式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .n1 na
12、例 2.已知 ,求数列 an的通项公式.,1aan解：因为 所以1n ,n故 又因为 ,即 ，),(101所以由上式可知 ,所以 ,故由累乘法得 0nanan)1(112232 annn = )!()( 1 ana所以 -1.na)!1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘),(1nn 1nab b法求出数列的通项公式.3.形如 型)(1fan（1）若 （d 为常数） ，则数列 为“等和数列” ，它是一个周期数列，na周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，
13、通过累)(1nfan加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 ，分奇偶项来分)1()1nfan求通项.例 1. 数列 满足 , ,求数列 an的通项公式.na01an21分析 1：构造 转化为 型)(fn解法 1：令 nb)(则 .naannnnn 2)1()1)(11 时,2n012)()(1211abnn各式相加: 1)(2)1()2()() 231 nnn当 n 为偶数时， .bn 2此时 an当 n 为奇数时， 1)2(nb此时 ,所以 .nan故 .,1为 偶 数为 奇 数an解法 2： nn21时， ，)1(a两式相减得： .1n构成以 ,为首项，以 2 为公差的等差数列;,531a
14、构成以 ,为首项，以 2 为公差的等差数列642 2a)1(1kdk.a2.,1为 偶 数为 奇 数na评注：结果要还原成 n 的表达式.例 2.（2005 江西卷）已知数列 an的前 n 项和 Sn满足SnS n2 =3 求数列 an的通项公式.,23,1),3()1S且解：方法一：因为 ),3()2112 Snnn所 以以下同例 1，略答案 .,)2(34,1为 偶 数为 奇 数nann4.形如 型1fn（1）若 (p 为常数)，则数列 为“等积数列” ，它是一个周期数列，周pana期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得 ，两式
15、相除)1(1nfan后，分奇偶项来分求通项.例 1. 已知数列 ,求此数列的通项公式.满 足na)(,)21,3*1 Nnan注：同上例类似，略.5形如 ,其中 )型0(,1cdn1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;na（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅0且dcn助数列来求.方法如下：设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dcn,所以d)( )0(cd所以有： 11ann因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，cncd所以 11)(nn cdac即： .1an规律：将递推关系 化为
16、,构造成公比为 c 的等比dcn1 )1(1cdacdann数列 从而求得通项公式cdn 1有时我们从递推关系 中把 n 换成 n-1 有 ,两式相减有cn1 dn1从而化为公比为 c 的等比数列 ,进而求得通项公式. )(11nnaa 1na,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.2c例 1已知数列 中， 求通项 .n ,21,21nnan分析：两边直接加上 ,构造新的等比数列。cd解：由 得 ,21nna)1(1nn所以数列 构成以 为首项，以 为公比的等比数列2所以 ,即 . 1)(nn )(1n方法二：由 ,1dcan时，2n两式相减得 )(11nc,an1数列 是
17、以 = 为首项，以 c 为公比的等比数列.12adc1)(12123 3121)()(aacnn )1)(221 nn caa=( .cn)121)(cdcann方法三：迭代法由 递推式 ,1dcan直接迭代得 )1()(22 cdadcann= =)(23cdacn 1(1c= .)1(n方法四：归纳、猜想、证明.先计算出 ,再猜想出通项 ,最后用数学归纳法证明.321,ana注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.6.形如 型)(1nfpn.(1)若 (其中 k,b 是常数，且 )bkf)( 0k方法：相减法例 1. 在数列 中， 求通项 .na,23,1nanna解： ， 23
18、1时， ，2n)(1n两式相减得 .令 ,则2)(311nnaa nnab1231nb利用类型 5 的方法知 35即 11nn再由累加法可得 .212an亦可联立 解出 .35n例 2. 在数列 中， ,求通项 .na36,11ana解：原递推式可化为 yxyxnn )()(2比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 12b所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 .nb 2961a1即：1)2(9nna)(96故 .9ann(2)若 (其中 q 是常数，且 n 0,1)nf) 若 p=1 时，即： ，累加即可.na1若 时，即： ，1pnp求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .1np即：
19、 ,令 ，则 ,nnqpa)(1nabnnqpb)(1然后类型 1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,1n qpnn1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nqabbqnn1iii.待定系数法：设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.)(11 nnnn paa 例 1.（2003 天津理）设 为常数，且 0 )(231Nnn证明对任意 1， ；02)1(5aann证法 1：两边同除以（-2） ,得n nnna)3()(21令 ,则nnab)2(nb)3(112211 )( bnnn = )3)23)(311a= )2(1)23(10n= 05an.nnba)( 012)
20、()(35annn证法 2：由 得 .)(231Nnan 132nna设 ，则 b . 即： ,nab31nn )5(51nnbb所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.51n )5(201a32则 = ,10)3(2nnab n)(10即： ,52(5310nn故 .01)(1aannn 评注：本题的关键是两边同除以 3 ，进而转化为类型 5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法 3：用待定系数法设 , 即: ,)(211nnnnaa 1132nna比较系数得： ,所以 所以 ,55 )35(2511nna所以数列 是公比为2，首项为 的等比数列.
21、3na31a即 .).()51(10Nnn 012)()(5annn方法 4：本题也可用数学归纳法证.（i）当 n=1 时，由已知 a1=12 a0，等式成立；( ii)假设当 n=k（k1）等式成立，则 ,)1()(301kkkk那么 011 2)(353 aakkk .)(1kk也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii） ，可知等式对任何nN，成立. 规律： 类型共同的规律为：两边同除以 ，累加求和，只是求和)(1nfpan 1np的方法不同.7.形如 型srqnn1（1） 即 取倒数法.0,qsrpsrapn1例 1. 已知数列 中， ， ，求通项公式 。 na21
22、 )2(1nn na解：取倒数： 1n1na.34223)(1na例 2.（湖北卷）已知不等式 为大于 2 的整数，nn其 中,log21321表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足log2nlog a,4,),0(11 abann（）证明 ,53,log22bn分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.证：当 ,11,0, 1nanana 时即 于是有 ,1an .1,3,22312 nan所有不等式两边相加可得 .11an由已知不等式知，当 n3 时有， .log21nn .log2.llog21,1 nbabba nn 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再
23、通过裂项求和即可证得.2.形如 型),(1为 定 值qpmnn方法：不动点法:我们设 ,由方程 求得二根 x,y,由 有qxpmf)( xf)( qapmnn1qapannn 1同理 ,两式相除有yymqmynnn 1,从而得 ,再解出 即可.axaxnyn1 yaxqxan 11)( na例 1. 设数列 an满足 ,求 an的通项公式.7245,11nn分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数 t,得：,7254)(72)5(72451 nnnn attatat令 , 解之得 t=1,-2 代入 得5t )(1nntt, ,72131nna729nna相除得 ,即
24、是首项为 ，1nn 1n 412a公比为 的等比数列, = , 解得 .32na13413nn方法 2： ,，711nna两边取倒数得 ，132)1(392)1(371 nnnn aaa令 b ，则 b , 转化为类型 5 来求. nann8.形如 (其中 p,q 为常数)型11nqap（1）当 p+q=1 时 用转化法例 1.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na2,81a03412nnaan解：把 变形为 .0342n )(1则数列 是以 为首项，3 为公比的等比数列，则n1 612利用类型 6 的方法可得 .16na nna3（2）当 时 用待定系数法.042qp例 2. 已知数列 满足
25、，且 ,且满足,求 .na0512nnna5,12na解：令 ,即 ,与已知)(112nxyx 0)(2nnxyax比较，则有 ,故 或06512nnnaa6y32下面我们取其中一组 来运算，即有 ,32yx )(211nnnaa则数列 是以 为首项，3 为公比的等比数列，故nna112a,即 ,利用类型 的方法，可得na321nn. n评注：形如 的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但nnba12这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程 的二根为 ,设bxa)(,再利用 的值求得 p,q 的值即可.nnnqpa21,9. 形如 (其中 p,r 为常数)型ra1（1）p0
26、， 用对数法.0n例 1. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公式.n1a21nana解：两边取对数得： ， ，设 ，则122logln )1(logl2na 1log2nab是以 2 为公比的等比数列， 12nbb1， ， ，1n12lanl12na 1n练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. a答案： nna2（2）p0 时 用迭代法.例 1.（2005 江西卷）已知数列 ，:,且 满 足的 各 项 都 是 正 数n Nnaann),4(21,0（1）证明 （2）求数列 的通项公式 an.1,;naNna解：（1）略（2） ,4)()4(21 nnn a所以 2a又nnnnnn bbbbb 2212121 1)()()(, 则令bn=1，所以 .2,)(a即方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 c ，则 c ,转化为上面类型（1）来解.nb2n
