1、 数例练习 50 题（含答案）1、等比数列 的前 项和为 ， 已知对任意的 ，点 均在函数 且 均为常数)的图像上. （1）求 的值； （2）当 时，记 求数列 的前 项和 答案 （1）解:因为对任意的 ,点 ，均在函数 且均为常数)的图像上.所以得 , 当 时, , 当 时, , 又因为 为等比数列, b-1=b-r 所以 , 公比为 , 所以 (2).当 b=2 时， , 则 相减,得 所以 2、设数列 的前 项和为 ，令 ，称 为数列的“ 理想数” ，已知数列 的“ 理想数”为 101，那么数列的“理想数”为_答案 1023、已知数列 的前 项和为 ，且 2 .（1）求数列 的通项公式；
2、（2）若 求数列 的前 项和 .答案 (1) ;(2) .解析：解：（1）由 2 . 2 分 （ ） 4 分又 时， 适合上式。 6 分8 分4、给定函数 的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意,由关系式 得到数列 ，满足 ，则该函数的图像为（ ）答案 A5、甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为 a 万元，由于经营方式不同，甲超市前 n 年的总销售额为 (n2 n2)万元，乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多 a n1 万元(1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有
3、可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？答案 解 (1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an， bn.则有： a1 a， n2 时：an (n2 n2) (n1) 2( n1)2( n1) a.即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购6、设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，公比是正数的等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，已知 a11， b13， a2 b28， T3 S315.(1)求 an， bn的通项公式；(2)若数列 cn满足 a1cn a2cn1 an1 c2 anc12 n1 n2 对任意nN *都成立，求证：数列 cn是等比数列答案 (
4、1)解 设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q(q0)(2)证明 由 cn2 cn1 ( n1)c2 nc12 n1 n2，知 cn1 2 cn2 ( n2) c2( n1) c12 n( n1)2( n2)两式相减： cn cn1 c2 c12 n1( n2)， cn1 cn2 c2 c12 n1 1( n3)， cn2 n1 (n3)当 n1,2 时， c11， c22，适合上式 cn2 n1 (nN *)，即 cn是等比数列7、设数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn nan2 n(n1)(1)求数列 an的通项公式 an；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证
5、： Tn0 且 a1)的图象上一点，数列 an的前 n 项和 Sn f(n)1.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bnlog aan1 ，求数列 anbn的前 n 项和 Tn.答案 解 (1)把点(1,2)代入函数 f(x) ax得 a2，所以数列 an的前 n 项和为 Sn f(n)12 n1.当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 n1 2 n1 ，对 n1 时也适合， an2 n1 .(2)由 a2， bnlog aan1 得 bn n，所以 anbn n2n1 .Tn12 022 132 2 n2n1 ， 2Tn12 122 232 3( n1
6、)2 n1 n2n. 由得： Tn2 02 12 22 n1 n2n，所以 Tn( n1)2 n1.10、数列 an中， a1 ，前 n 项和 Sn满足 Sn1 Sn( )n1 (nN *)(1)求数列 an的通项公式 an以及前 n 项和 Sn；(2)若 S1， t(S1 S2)，3( S2 S3)成等差数列，求实数 t 的值答案 解 (1)由 Sn1 Sn( )n1 得 an1 ( )n1 (nN *)，又 a1 ，故 an( )n(nN *)从而 Sn 1( )n(nN *)(2)由(1)可得 S1 ， S2 ， S3 .从而由 S1， t(S1 S2)，3( S2 S3)成等差数列得3
7、( )2( )t，解得 t2.11、已知方程( x2 mx2)( x2 nx2)0 的四个根组成一个首项为 的等比数列，则|m n|等于( )A1 B. C. D.答案 B 易知这四个根依次为： ，1,2,4.不妨设 ，4 为 x2 mx20 的根，1,2 为 x2 nx20 的根 m 4 ， n123，| m n| 3| .12、已知数列 an的各项均为正数，对任意 nN *，它的前 n 项和 Sn满足Sn (an1)( an2)，并且 a2， a4， a9成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn(1) n1 anan1 ， Tn为数列 bn的前 n 项和，求 T2n.答案 解
8、 (1)对任意 nN *，有 Sn (an1)( an2)， 当 n1 时，有 S1 a1 (a11)( a12)，解得 a11 或 2.当 n2 时，有 Sn1 (an1 1)( an1 2) 并整理得( an an1 )(an an1 3)0.而数列 an的各项均为正数， an an1 3.当 a11 时， an13( n1)3 n2，此时 a a2a9成立；当 a12 时， an23( n1)3 n1，此时 a a2a9不成立，舍去 an3 n2， nN *.(2)T2n b1 b2 b2n a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n1 a2(a1 a3) a4(a3 a5)
9、a2n(a2n1 a2n1 )6 a26 a46 a2n6( a2 a4 a2n)6 18 n26 n.13、已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且a11， an1 Sn(n1,2,3，)(1)求数列 an的通项公式；(2)当 bnlog (3an1 )时，求证：数列 的前 n 项和 Tn答案 (1)解 由已知 (n2)，得 an1 an(n2)数列 an是以 a2为首项，以 为公比的等比数列又 a2 S1 a1 ， an a2( )n2 (n2)(2)证明 bnlog (3an1 )log ( )n1 n.14、在数列 an中， a11， an1 2 an2 n.(1)设 bn .证明：数
10、列 bn是等差数列；(2)求数列 an的前 n 项和答案 (1)证明 由已知 an1 2 an2 n，得 bn1 1 bn1. bn1 bn1，又 b1 a11. bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知， bn n， bn n. an n2n1 . Sn122 132 2 n2n1两边乘以 2 得：2 Sn12 122 2( n1)2 n1 n2n，两式相减得： Sn12 12 22 n1 n2n2 n1 n2n(1 n)2n1， Sn( n1)2 n1.15、已知数列log 2(an1) ( nN *)为等差数列，且 a13， a39.(1)求数列 an的通项公式；(2
11、)证明： 1， a99a10010 ， 1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是_(填写所有正确的序号)答案 17、数列 an中， an3 n7 ( nN )，数列 bn满足b1 ， bn1 27 bn(n2 且 nN )，若 anlog kbn为常数，则满足条件的 k 值( )A唯一存在，且为 B唯一存在，且为 3 C存在且不唯一 D不一定存在答案 B18、已知 是等差数列，其前 项和为 ，已知（1）求数列 的通项公式（2）设 ，证明 是等比数列，并求其前 项和（3）若 ，求数列 其前 项和答案 19、在数列 中， ，则 ( ) A B C D答案 A20、数列 是公比为 的
12、等比数列,且 是 与 的等比中项,前 n项和为 ;数列 是等差数列, =8,其前 n 项和 满足 ( 为常数,且 1)（I）求数列 的通项公式及 的值；（II）比较 与 的大小答案 21、对数列 ,如果成立, ,则称 为 阶递归数列给出下列三个结论： 若 是等比数列,则 为 1 阶递归数列；若 是等差数列,则 为 2 阶递归数列；若数列 的通项公式为 an=n2,则 为 3 阶递归数列其中正确结论的个数是 ( )A0 B1 C2 D3答案 D22、数列 满足 则 等于 ( ) A B 1 C2 D3答案 A23、 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 。（1）求（2）求证：答案 24、已知数列
13、 ， 满足 为常数），且，其中（1）若 是等比数列，试求数列 的前 n 项和 ；（2）当 是等比数列时，甲同学说：“ 一定是等比数列”，乙同学说：“ 一定不是等比数列”，你认为他们的说法是否正确？为什么？答案 25、设等差数列 的前 项和为 ，则 , , ,成等差数列。类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则成等比数列。答案 26、已知数列 的前 n 项和 (n 为正整数)。（1）令 ，求证数列 是等差数列；（2）求数列 的通项公式，并求数列 的前 n 项和 答案27、已知 ，数列 满足（1）求证：数列 是等差数列；（2）记 ，求 。答案28、已知数列 满足 ，试求其前 n 项和。答案2
14、9、已知“整数对 ”按如下规律排成一列：， ，则第 60 个数对是答案 30、正项等比数列 中，存在两项 ，使得且 ，则 的最小值是（ ）A B C D答案 A31、已知数列 是通项为 ie ，设 ，数列 的前 n项和 ，当 有最大值时， 的取值为（ ）A7 B8 C7 和 8 D8 和 9答案 D32、设 ，则 ( )A B C D 答案 D33、设数列 的前 项和为 ，并且满足 0， .（1）求 ；（2）猜测数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.答案 解：（）分别令 n=1,2,3 得 ， ， ， 3 分分下面用数学归纳法证明：（1） 分分8 分10 分11 分12 分由（1）（2）可得
15、13分34、已知函数 ，数列 满足对于一切 有，且 数列 满足 ，设 （1）求证：数列 为等比数列，并指出公比；（2）若 ，求数列 的通项公式；（3）若 （ 为常数），求数列 从第几项起，后面的项都满足 答案 解（1）故数列 为等比数列，公比为. （）所以数列 是以 为首项,公差为 loga3 的等差数列. 又又 =1+3 ,且（）35、在等差数列 中， ， 令 ，数列 的前项和为 .（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ；（3）是否存在正整数 ， （ ）,使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的 ， 的值；若不存在，请说明理由.答案 （1）设数列 的公差为 ，由 得解得 ，
16、 （2）（3）由（1）知， ，假设存在正整数 、 ，使得 、 、 成等比数列，则 ， 即 经化简，得 （*） 当 时，（*）式可化为 ，所以 当 时，又 ，（*）式可化为 ，所以此时 无正整数解. 综上可知，存在满足条件的正整数 、 ，此时 ， .36、已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得，则 的最小值为( )A. B. C. D. 不存在答案 A.37、已知数列 满足： （m 为正整数） ，若 ，则 m 所有可能的取值为 _。答案 4 5 3238、将函数 在区间 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 （）求数列 的通项公式；（）设 ,数列 的前 项和为 ，求 的表达式答案 （）化
17、简 ，其极值点为，它在 内的全部极值点构成以 为首项， 为公差的等差数列， （）相减得， 39、已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得，则 的最小值为( )A. B. C. D. 不存在 答案 A所以 ，当且仅当 即 取等号，此时 ，所以 时取最小值，所以最小值为 ，选 A.40、已知数列 为 ， 表示， 若数列 为等比数列 ，求 ；若数列 为等差数列 ，求 答案 ，所以 4 分 ，因为 ，两边同乘以 ，则有 ，两边求导，左边 ，右边 ，即 （*），对（*）式两边再求导，得取 ，则有所以 41、已知函数 在 上是增函数求实数 的取值范围 ；当 为 中最小值时，定义数列 满足： ，且，用数
18、学归纳法证明 ，并判断 与 的大小答案 即 在 恒成立，； 用数学归纳法证明： （） 时，由题设 ；（）假设 时，则当 时，由知： 在 上是增函数，又 ，所以 ，综合（）（）得：对任意 ， 因为 ，所以 ，即 42、已知数列 的前 项和 ，满足：（1）求证： 是等比数列（2）求数列 的通项（3）若数列 的满足 ， 为数列 的前 项和，求证答案 （1）证明：当 时， ，则当 时，两式相减得 ，即 ， ， 当 时， ，则是以 为首项，2 为公比的等比数列- （2）解：由（1）可知， ， （3）证明： ， - 则 43、在等比数列 中(1) 已知 ， ，求(2) 已知 ， ,求(3) 已知 ， ， ，求 和答案 解：（1）设等比数列的 ，那么 - 解得 - 所以 - （2）若 ，则 ，这与已知 ， 是矛盾的，所以 ，
