1、- 1 -20032004 学年度华南师大附中高三模拟考试题数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分。考试用时 120 分钟。第一部分（选择题 共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么P（AB）=P （A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(k)=C Pk(1P) nk 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 “0b0，全集 I=R，M= ，则|,| a
2、bNba为 （ )(MCNR）A B2|bax 2|bax球的表面积公式S= 24R其中 R 表示球的半径球体的体积公式V= 3其中 R 表示球的半径- 2 -C D2|axbx或 2|axb4若 的图象按向量 平移得到 的图象，则向量 =（ )61sin(xy )1sin(xya）A （ ，0） B （ ，0） C （ ，0） D （ ，0）33665 的展开式倒数第 4 项的系数是 （ 1)2(x）A20 B 180 C960 D1806已知 ，则 的值为 （ 31lim21xbax b）A4 B5 C4 D57若数列 的值为 （ 2011 ,76,)2(0 aaannnn 则若满 足 ）
3、A B C D767573718设三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，P 为其侧棱 BB1 上的任意一点，则四棱锥 PACC1A1的体积等于 （ ）A B C DV32343V219某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A（2， ） ，B ）则 （ 5,2(）A曲线 C 可为椭圆也可为双曲线 B曲线 C 一定是双曲线C曲线 C 一定是椭圆 D这样的圆锥曲线 C 不存在10设二面角 的大小是 60，P 是二面角内的一点，P 点到 的距离分别为a ,- 3 -1cm、2cm，那么点 P 到棱 的距离是 （ a）A B C Dcm321c321cm32cm3
4、21411如图，目标函数 的可行域为四边形 OACB（含边界） ，若 是该目标函yaxz )5,(数 的最优解，则 的取值范围是（ ）yxzA B)125,30()103,52(C D 12记函数 在区间2，2 上的最大值为 M，xxfsin)(最小值为 m，那么 M+m 的值为（ ）A0 B 3 C6 D8第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.13设 z 满足 z+ =2+ ，那么 z 等于 .|i14已知数列 都是等差数列， 分别表示,nba nSba,204,311的,n前 项的和 . 若 ，则 的值为 .*)(N0nSn15五人
5、排成一排，甲只能排在第一或第二两个位置，乙只能排在第二或第三两个位置，则不同的排法共有 种.16如右图，它满足：（1）第 行首尾两数均为 ；nn（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第 行（ ）第 2 个数是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6- 4 -17 （本小题满分 12 分）已知 A、B 是ABC 的两个内角， ，其中 、 为互jBAia2sncos2ij相垂直的单位向量，若 求 的值26|aBAtn18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PA
6、BCD 中，PA 平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45，底面ABCD 为直角梯形，ABC=BAD=90，PA=BC= .21AD（1）求证：平面 PAC平面 PCD；（2）在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE/平面 PAB？若存在，请确定 E 点位置；若不存在，请说明理由.- 5 -19 （本小题满分 12 分）我校承办广东省第 19 届青少年科技创新大赛.布置参赛作品展时，甲展厅内有 2 个科技小制作系列和 2 个科技小论文系列，乙展厅内有 2 个科技小制作系列和 3 个科技小论文系列.现甲乙两展厅须互换一个系列.（）求甲展厅内恰有 2 个小制作系列的概率；（）求甲展厅内小制作系
7、列数的期望.- 6 -20 （本小题满分 12 分）已知双曲线 C： ，B 是右顶点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴的)0,(12bayx正半轴上，且满足 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近|,|OFBA线的垂线 ，垂足为 P.l（1）求证： ；PP（2）若 与双曲线 C 的左、右两支分别交l于点 D、E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.- 7 -21 （本小题满分 12 分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知 ABBC，OA/BC，且 AB=BC=2. AO=4km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且
8、开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到 0.1km2）.- 8 -22 （本小题满分 14 分）已知奇函数 ，偶函数 满足)(xf)(xg).10()(axgf 且（1）求证： ；2（2）设 的反函数 时，试比较 与1 的大小，并证明)(xf 12),(1axf当 )(xf你的结论；（3）若 ，比较 的大小，并证明你的结论.*,1nNa且 )(nff与- 9 -20032004 学年度华南师大附中高三模拟考试题数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查
9、基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.ABDBC BBABA BC二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.13 141 1518 16i43 2nan三、解答题：17解： 2 分,3)(si)2cos(,2| 2BAa即 即 ，6 分,3incosBA 23)cos(1coBA10 分,ins3s0)cs(1)( 12 分.31oitanBA18解（1）由题意 PA=BC=a，AD=2 a（a0）.PA面 ABCD，PB 与面 ABCD 所成的角为PBA=45- 10 -AB= a，由 ABC= BAD=90，易得 CD=AC= .a2由勾股定理逆
10、定理得 ACCD. 2 分又PACD，PAAC=A，CD面 PAC，CD 面 PCD，面 PAC面 PCD. 5 分（2）分别以 AB、AD、AP 所在直线为 轴、 轴、z 轴建立空间直角坐标系 .xyP（0，0，a） ，C （a，a，0） ，D（0，2 a，0）.设 E（0， ，z ） ，则 7 分y ).,2(),(aPPE 9 分)(,/zD是平面 PAB 的法向量，2(A又 由 CE/面 PAB， 10 分),zayCE.ADCE11 分2,0( azay代 入 得E 是 PD 中点，存在 E 点使得 CE/面 PAB. 12 分19解：（）甲乙两个展厅各有一个系列交换后，甲展厅恰有
11、2 个小制作系列有下面几种情况：两展厅交换的都是小制作系列，则此时甲展厅恰有 2 个小制作系列为事件A1，其概率 P（ A1）= 2 分 .51C42两展厅交换的是小论文系列，则此时甲展厅恰有 2 个小制系列为事件 A2，其概率P（A 2）= 4 分.10354故甲展厅内恰有 2 个小制作系列的概率为：P（A 1）+ P（A 2）= 6.21035分（）设甲展厅内小制作系列数为 ，则 的所有可能取值分别为 1、2、3，其中 P（ =1）= P（ =2）= P（ =3）=,103,21,5 的分布列为：1 2 3P 0351甲展厅内个科技小制作系列数的期望为10 分- 11 -E = 12 分.
12、10935210320证（1） ),(:cxbayl由 2 分).,()xy得成等比数列，|,|OFBA),0(),(2cabPca4 分).,(),(22F6 分.,22 FPAOPcbaPAcbaOPA （2） ，22422 )()( baxbbayxb即 8 分.0)()( 2242424 cx10 分.,0)( 22242421 acabbacx 即12 分.,2e21解：以 O 为原点，OA 所在直线为 轴建立直角坐标系（如图）x依题意可设抛物线的方程为 .21,42).4,(,2pCpy且故曲线段 OC 的方程为 3 分0(设 P（ ） 是曲线段 OC 上的任意一点，则|PQ|=2
13、+ ，|PN|=4 2. 5 分2,x)0( xx- 12 -工业园区面积 S=|PQ|PN|=（2+ ） （4 2）=8 32 2+4 . 6 分xxS=3 24 +4，令 S=0x ,31又 7 分.3,0当 时，S0 ，S 是 的增函数；8 分)xx当 时，S0 ，S 是 的减函数. 9 分2,(时，S 取到极大值，此时3x|PM|=2+ = ,8324|,8xPN10 分).(5.9276km当 8,0Sx时11 分).(.2mak答：把工业园区规划成长为 宽为 时，,93km8工业园区的面积最大，最大面积为 9.5km2. 12 分22 （1）证： .)(,)( xx agfagxf
14、 是奇函数， 是偶函数， 2 分)( .xf3 分.2)(,2xxgaxf 5 分).(2)(,214)(2 xgfxffaaf xxx 即（2） 是 R 上的减函数，2)(,120xxfa也是 R 上的减函数 . 6 分)(1xfy又 ),1(2)(,12)(1 faxgf x- 13 -8 分.1)(1xgf（3） 10 分).(212 1 anaananff nn构成函数 ).(1)1xxx分12).1)(2 )1()( 12)1(1 nn nnnnxx x当 上是增函数.),0,1在时 分即 即时 14).()( .0)1(22, 1nffnff nnaaa（3）解法二： )(11)(21)(2 1)()3(31 anaaann分.)()(分即时 14).(0)1( ,2,)3(3 )3(3)1(11nffnff aannnn - 14 -
