1、第一章 概率论的基本概念1.2 概率的定义一、 概率的性质（1） .1)(0AP（2） ， .)(S（3） .()()BPAB（4） .(1AP（5） .特别地，若 ， )()( AB， .(BPAP例 设 为随机事件, ， 则AB()0.4, ()0.3PAB()_.P解： ,3.0)()P()()().7PA1.4 条件概率一、 条件概率定义 设 是两个事件，且 ，称 = 为在事BA, 0)(AP)|(AB()P件 发生的条件下事件 发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式： 为样本空间 的一个事件组，且满足：12,LnAS（1） 互不相容，且 ;12,n ),21(0)niAPi(2)
2、.12LnAS则对 中的任意一个事件 都有SB)()()()( 2211 nnABPAPAPBA1A2 AnB例 设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为 ，201,5现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解 以 、 、 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、1A23丙厂生产” ；以 表示事件“取得的产品为正品” ，于是： B ;2019)|(,154)|(,109)|(,012)(,0)(,15)( 3232 ABPABPAP按全概率公式 ，有： 123()|)(|)(|)(B92.0154109三、 贝叶斯公式设
3、 是样本空间 的一个事件， 为 的一个事件组，BS12,LnAS且满足：（1） 互不相容，且 ;12,LnA ),21(0)niPi(2) .12nS则 )()()()()|( 11 nnkkkk ABPABPABP这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有 4 个白球，5 个红球，乙袋中有 4 个白球，4 个红球今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设 A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A 1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设 A2： 表示从乙袋取的一球是红球，则 81
4、495)(|()|()1 12122 PAPAP）（.121125()|)9() | 48PA1.5 事件的独立性一、 事件的独立性定义. 若两事件 ， 满足 ,则称 ， 相互独立。AB)()(BPAB第二章 随机变量及其分布2.1 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义 设 为一随机试验, 为 的样本空间,若 , 为ESE()XS单值实函数，则称 为随机变量。X定义 设 为一个随机变量， 为任意实数，称函数Xx为 的分布函数。)()xXPxF分布函数的性质（1） .1)(,0)(F（2） 是自变量 的非降函数，即当 时，必有xx21xSeXXRXxo x.因为当 时有 ，从而)(21xF2
5、1x 0)()( 2112 xXPxF.（3） 对自变量 右连续，即对任意实数 ，)(xxx)(xF2.2 一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义 离散型随机变量 只可能取有限个或可列个值，设 可XX能取的值为 .,.,21nx定义 设离散型随机变量 可能取的值为 ，且 取,.,21nx这些值的概率为：(kpxXP)( ,.)则称上述一系列等式为随机变量 的分布律。X由概率的定义知，离散型随机变量 的概率分布具有以下两个性质：（1） （非负性）,.)21(,0kp（2） （归一性）k二、 几种常用的离散型分布1. 01 分布如果随机变量 只可能取 0 和 1 两个值，且它的分布列为X，则称
6、服从 01 分布。其分)(,1)0(,)( pPpX X布律为： X1 0P1-p2.二项分布如果随机变量 只可能取的值为 0,1,2,n，它的分布律X为 ,( 其中 ，则称 服knkqpCXP)( ),.210npq1,0X从参数为 的二项分布，记为, ),(pbX3.泊松分布如果随机变量 所有可能取的值为 0,1,2,它取各个值X的概率为 ，其中 是常数，则称 服,.)210(,!)(kekP 0X从参数为 的泊松分布，记为 .(例：设 ， 则()X12,PX(1)_.P例： 设随机变量 ，则 .(,)b2.3 连续型随机变量的概率密度一、 概率密度的概念定义 设随机变量 的的分布函数为
7、，如果存在一个非负X()Fx可积函数 ，使得对于任意实数 ，有：)(xf xdtf)(则称 为连续型随机变量，而 称为 的概率密度。XfX由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度 必须满足：)(xf（1） 0 ；)(xf（2） ； 1df（3） 对于任意实数 ，且 有ba,；dxfFbXaP)()(（4）若 在点 处连续，则有 .)(xf )( xfF例 设随机变量 X 具有概率密度 0,)(3xKexf（1）试确定常数 ； K（2）求 ； (0.1)PX（3）求 .Fx解（1）由 ，即)(df=xf 13)3(310030 KexdKexKe x得 .于是 的概率密度3KX；0,)(3xex
8、f（2） = ;(0.1)P1.0df 748.31.0d（3）由定义 = 。当 时， =0；当 时，(Fxxt)(x()Fx0x= =f ee3301所以.0,1)(3xexF二、几个常用的连续型随机变量的分布1. 均匀分布如果随机变量 的概率密度为X1,()0axbfxb中则称 服从 上的均匀分布，记为 。X,ba ),(UX2. 指数分布如果随机变量 的概率密度为10(;)0xefx其 他则称 服从参数为 的指数分布。X3. 正态分布如果随机变量 的概率密度为；)(,21)(2)( xexfx其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记为,0X,. 特别的，当 时，称 服从标准正态分布
9、，)(2NX1,02X即 ，概率密度为 1,0 )(,)(2xexx标准正态分布的分布函数为 xtxded21)()(对于标准正态分布的分布函数，有下列等式)(1)(x210定理 如果 则,2NX,NX推论 如 ，则),(2 )()( abaFbXaP例 设 ，求 ；)4,5.1(N5.3XP解 = .3(84130)(21(例 设随机变量 ，则 .,)2.4 随机变量函数的分布一、 离散型随机变量的函数的分布例 设 的分布律为XX 102kp0.1 0.2 0.3 0.4求 的分布律。21YX解 因为 的可能取值为 ，而且3,1， ，30.P0.2PYX， 4因而, 的分布律为Y 313kp
10、0.1 0.2 0.3 0.4二、 连续型随机变量的函数的分布设 是连续型随机变量，已知 为其概率密度，那么应当如X)(xfX何确定随机变量 的概率密度 呢？)(XgY)(xfY例 设连续型随机变量 具有概率密度 ，求随机变量)(xfX（其中 为常数且 ）的概率密度 .YkXb,kb0kY解 设 的分布函数为 ，当 ，则)(yFY()YFy()Y XybyPkXbyPFkk上式两边对 求导数得 )(1)(kfyfXY当 ，则0k()YFy1()YybybPkbyPFkk上式两边对求导数得 1()()YXfyfk于是 )(|1)(kbyfyfXY第 3 章 二维随机变量及其分布3.1 二维随机变
11、量及分布函数定义 设 为随机试验 的样本空间， , 是定义在 上的随机SEXYS变量，则称有序数组 为二维随机变量或称为二维随机向量。(,)XY定义 设 是二维随机变量，对于任意实数 ，称二元函数),(Y yx,为二维随机变量 的分布函数，或称为),(yxXPyxF ),(YX的联合分布函数。二维随机变量的分布函数的性质 （1） ；1),(0yx（2） 是变量 的不减函数，即：对于任意固定的 ，Fyx, y当 时有 ；对于任意固定的 ，当 时有 21x)(),(21Fx21.,),(2y（3） 对于任意固定的 ， ；对于任意固y0),(lim),(yxFyx定的 ， ,并且 ，x0),(lim
12、),(yxFy 0),(lim),(yxFFyx.1),(li),(Fyx二维离散型随机变量定义 如果二维随机变量 可能取的值只有有限个或可列个，),(YX则称 为二维离散型随机变量。),(YX定义 设二维随机变量 所有可能取的值为),(YX，则称 为,.)21,.;(),jiyxji ,.)21,( jipyxPjji的联合分布律。YX二维离散型随机变量 的联合分布有时也用如下的概率分布),(YX表来表示：YX .1y2jy1x2.ix. .1p12jp1. .2 j2. . . . . .1ip2i ijp. . . . . 显然， 具有以下性质：ijp（1） 1,2,）; ijj,(0（
13、2） ;ijip1二维连续型随机变量定义 设 是二维随机变量，如果存在一个非负函数 ，),(YX ),(yxf使得对于任意实数 ，都有yx,()(,)(,)yxFPXYfuvd则称 是二维连续型随机变量，函数 称为二维连续型),(YX ,f随机变量 的概率密度。二维分布密度具有以下性质：（1） ； 0),(yxf（2） ；1,df（3） ，其中 D 为 XOY 平面上的任意DdxyfYXP),(),(一个区域；（4） 如果二维连续型随机变量 的密度 连续，),(YX),(yxf的分布函数为 ，则),(YX(,)Fxy),(),(2yxf用性质的题在后面3.2 边缘分布与随机变量的独立性一、 边
14、缘分布称分量 的概率分布为 关于 的边缘分布；分量 的概率X),(YXY分布为 关于 的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分),(YX别记作 与 。(yFx)(,yfx先看离散情况： 若已知 ，则随机变量 的分布律为：,.)21,(),( jipPjji X11,ii ijijj jXxxYPXxYyp,.)2,(同样得到 关于 的分布律： ， .),( 1ijj ,),(ji记 ,所以关于 的边缘分布律为：11,ijjjiji pp。 XX. . 1x2ix。ip. . 。 。p。i关于 的边缘分布列为：YY. . 1y2jyjp。. .。 。pj。下面看连续型的情形：定理 设 是 的联合概
15、率密度，则),(yxf),(YX(,)()(,)Yffxydfyfxyd 分别是 关于 的边缘概率密度函数。),(Y, 21 jyy1X Y ip离散型随机变量的边缘分布律列表3.4 随机变量的独立性定义 设 是二维随机变量，如果对于任意 有),(YX yx,，则称随机变量 与 是相互独立,yPxyYxXP XY 2122211ijii jjppppixx21 ipp21 21 jppjp的。即用 该式可用来判断 的相互独立性。)(),(yFxyYXYX,定理 设 是二维离散型随机变量， ， 依次是, ,ijp。ijp。， 的概率分布，则 相互独立的充要条件是：对所),(YX, ,有的 ，都有
16、 .jiijp。ij。定理 设 是二维连续型随机变量， 分别),(YX )(,),(yfxyfYX是联合密度函数与边缘密度函数，则 相互独立的充要条件YX,是：对任意的实数 ，都有 。yx, ),(xfyf例 设(X,Y)的联合分布律为 试求 关于 和关于 的边缘分布，并判断 是否相互独),(YXYYX,立？解 由表中可按行加得 ，按列加得 得关于 X 的边缘分布。ipjp。X0123。ip2789471及关于 Y 的边缘分布YX0 1 2 30 2792711 02 1 0 03 7 0 0 0Y0123jp。 2789471由于 ，而 ，所以1,01XPp 264781。 。 p互不独立。
17、Y,例 设二维随机变量具有密度函数 2(),0,(,)xyCeyfxy中试求:（1）常数 ；（2） 落在如图 24 所示的三角区域 内的概率；),(YXD（3）关于 和关于 的边缘分布,并判断 是否相互独立。YX,图 2-4解（1） = dxyCedxyf )(20),(02204CedxCy所以 ;4（2） ;210)(2314),(),( edyedxyxfDYXPx（3）关于 的边缘概率密度函数为dyxffX),()(当 时， =0.0X当 时， 0x()(,)Xfxfyd xyxede20)(24故有 = ；)(fX0,2e同理可求得关于 的边缘概率密度函数为Y= .)(xfY0,2y
18、e因为对任意的实数 ，都有 ，所以 相互x, )(),(yfxyfYX,XY独立。第 4 章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、 离散型随机变量的数学期望定义 设离散型随机变量 的分布律为X1x2 nxPp p则称 其为随机变量 的数学期望，记为 1kpxX1)(kpxXE二、 连续型随机变量的数学期望定义 设连续型随机变量 的分布密度函数为 ，若积分)(xf绝对收敛，则称其为 的数学期望或均值记为 ，dxf)( X)XEfXE例 设随机变量 服从 上的均匀分布，求 X,ba)(解 由于均匀分布的密度函数为1,()0axbfxb中因而 2)()()( 2adbxfXEaba 记住：0-1
19、分布，二项分布，泊松分布的数学期望均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。三、 随机变量的函数的数学期望定理 设 为随机变量 的函数： (g 是连续函数)，YX(XgY（1） 是离散型随机变量，分布律为 ；若X ,21,kxPpk级数 绝对收敛，则有 （2）1)(kkpxg )()(gE1)(kkp是连续型随机变量，它的分布密度为 ，若积分xf绝对收敛，则有 dxfg)( )()(XgYdxf)(定理 设 是随机变量 的连续函数 ， （1） 是Z),(X),(YZ),(YX二维离散型随机变量，联合分布律为 ；2jiyxXPpjiij则有 （2） 是),()(YgEZ1),(i ijijg),(
20、二维连续型随机变量，联合分布密度为 ，则有,yxf ),()(YXgEZdyxfg),(,例 设 的概率密度函数为,()3021(,)xyxyf 中求 ),),(2YXEYEX解 ，102:yxD 91)2(613),()( 1002 dxdyxdxfD 5)3(18),()( 102022yfYE 96),()( 20DxdyxfX6133)( 103221022 dyxdyxdYXE四、 数学期望的性质1 设 是常数，则有 ccE)(2 设 是随机变量，设 是常数，则有 X )()(XcE3 设 ， 是随机变量，则有 Y)(YYX4 设 ， 是相互独立的随机变量，则有 )()(EXE4.2
21、 方 差一、 方差的概念定义 设 是随机变量， 存在，就称其为 的方差，X)(2XEX记为 即 = ，称 为标准差)(D)()(2ED二、 方差的计算1 = )(X22)(X例 设随机变量 服从 上的均匀分布，求 ,ba)(X解 由于均匀分布的密度函数为1()0axbfxb中，2)(baXE 3)(3)( 222 ababdxxfba 故 12)(3)(22XD三、 方差的性质1、设 是常数，则有 ；c )()(2XDc2、设 ， 是相互独立的随机变量，则有 ；XY )()(YDXY3、设 是相互独立的随机变量，则12,nLiiniiXDCD11)()(4.3 协方差及相关系数、矩一、 协方差
22、及相关系数的定义定义 设有二维随机变量 ，如果 存在，),(YX)()(YEXE则称 为随机变量 与 的协方差记为)()(EYXE，即,(Cov)()(称 为随机变量 与 的相关系数若)(,YDXvXYXY，称 与 不相关(,)0Cov二、 协方差与相关系数的性质1 协方差的性质(1) ；(,)ovXY),(Cv(2) -计算公式)(YEX(3) ；,2)( ovDD(4) ；),abCYXCov(5) ；),()( 2121 YXvv(6) 若 与 相互独立，则 ，即 与 不相关反之，0oY若 与 不相关， 与 不一定相互独立XYXY2 相关系数的性质(1) ；1XY(2) 若 与 相互独立
23、，则 ；0XY(3) 当 与 有线性关系时，即当 （ 为常数，XYbaXY,）时， ，0a1且 ；0XYa中(4) 的充要条件是，存在常数 使 1 ba, 1baXYP数理统计的基本概念6.1 样本和总体一、 样本 12,nXL设 为总体 的样本，则下列各量均是统计量，它们12,nL今后要经常被用到。（） , 称为样本均值。niiX1（ii） , 称为样本方差。niiS122)(S（iii） , 称为样本标准差。2（iv） , 称为样本 阶原点矩。nikikXA1k为了研究统计量的分布，我们先研究三种重要概率分布。二、 分布2定义 设 为相互独立的随机变量，它们都服从标准正12,nXL态 分布
24、，则称随机变量),0(NniiXY12服从自由度为 的 分布，记作 n2)(2分布有下列基本性质。2定理 设 ,则 ， 。)(2XnXE)(nD)(三、 分布和 分布tF定义 设 ， ， 与 独立，则称随机变量)1,0(NX)(2nYXYT服从自由度为 的 分布,记成 nt )(nt定义 设 ， ， 与 独立，则称随机变量)(12X(2YXY21nF服从自由度为（ , ）的 分布，记成 1n2 ),(21nF五、 正态总体的抽样分布Theorem 设总体 ， 为总体的样本，则),(2NX12,nXL(i) 样本均值 ，,n(ii) 中22),1(SnS(iii) 。相 互 独 立与 2X第七章
25、 参数估计7.1 点估计2、 极大似然估计第一步，写出似然函数a）对于离散型总体 ，设它的分布律为 未知，其X),;(xp中 为样本值，称nxxX,21 niinxpXxPL121 );(,)(为似然函数。b） 当总体 是连续型随机变量时，若 的概率密度为X， 未知，则似然函数为),(xf niixfL1);()(第二步 求 是参空间）,使得 达到最大，此 即为(L所求的参数 的极大似然估计。 为了计算方便，我们常对似然函数 取对数，并称 为对数似然函数。易知， 与)(L)(lnL)(L在同一 处达到极大，因此，这样做不会改变极大点。lnc）对对数似然函数 关于 求导，再令之为 0，即得)(l的最大似然估计值。例：已知总体 X服从指数分布，概率密度为
