1、1二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定方法一、知识要点二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断 符号a,b 同号在左;异号在右.（3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b 2-4ac0；1 个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac0（5）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，可确定 a-b+c 的符号
2、（6）由对称轴公式 x= ，可确定 2a+b 的符号二、基础练习 1、 （2011重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A、a0 B、b0 C、c0 D、a+b+c02、 （2011雅安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列结果b 24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；a-b+c0，则正确的结论是（ ）A、 B、 C、 D、3、 （2011孝感）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1） ，下列结论：ac0；a+b=0；4a
3、c-b2=4a；a+b+c0其中正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4、 （2011山西）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是（ ）A、ac0B、方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x 2=3 C、2a-b=0 D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小5、 （2011泸州）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象如图所示，有下列结论：abc0，b 2-4ac0，a-b+c0，4a-2b+c0，其中正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、46、 （2011兰州）如图所示的二
4、次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac0；（2）c1；（3）2a-b0；（4）a+b+c0你认为其中错误的有（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个7、 （2011昆明）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A、b 2-4ac0 B、abc0 C、 - -1 D、a-b+c0a8、 （2011鸡西）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：b 2-4ac0 a0 b0 c0 9a+3b+c0，则其中结论正确的个数是（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5
5、 个9、 （2011防城港）已知二次函数 y=ax2的图象开口向上，则直线 y=ax-1 经过的象限是（ ）A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限10、 （2010昭通）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A、a0，b0，c0，b 2-4ac0 B、a0，b0，c0，b 2-4ac0C、a0，b0，c0，b 2-4ac0D、a0，b0，c0，b 2-4ac011、 （2010梧州）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A、ac0 B、a-b+c0 C、b=-4a D、关
6、于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x 2=5212、 （2010文山州）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a，b，c 满足（ ）A、a0，b0，c0，b2-4ac0B、a0，b0，c0，b2-4ac0C、a0，b0，c0，b2-4ac0D、a0，b0，c0，b2-4ac013、 （2010铁岭）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 4 个结论，其中正确的结论是（ ）A、abc0 B、ba+c C、2a-b=0 D、b 2-4ac014、 （2010钦州）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示， 则下列结论
7、：ac0；a-b+c0；当 x0 时，y0；方程ax2+bx+c=0（a0）有两个大于-1 的实数根其中错误的结论有（ ）A、 B、 C、 D、15、 （2010黔南州）如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象， 在下列选项中错误的是（ ）A、ac0 B、x1 时，y 随 x 的增大而增大 C、a+b+c0 D、方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3 16、 （2010荆门）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A、ab0 B、ac0 C、当 x2 时，函数值随 x 增大而增大；当 x2 时，函数值随 x 增大而减小 D、二次函数
8、 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根17、 （2010福州）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A、a0 B、c0 C、b 2-4ac0 D、a+b+c0 18、 （2010鄂州）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论a，b 异号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=4 时，x 的取值只能为 0，结论正确的个数有（ ）个A、1 B、2 C、3 D、419、 （2010百色）二次函数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：对称轴为 x=2；当
9、 y0 时，x0 或 x4；函数解析式为 y=-x（x-4） ；当 x0时，y 随 x 的增大而增大其中正确的结论有（ ）A、 B、 C、 D、三、能力练习1.（2010广安）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；ba+c；2a+b=0；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确的结论有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2.如图，抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是 x=1，下列结论：b0；（a+c）2b ；2a+b-c0；3b2c其中正确的结论有 （填上正确结论的序号） 23解：抛物线的开口方向向上，a0，对称轴为 x=$-
10、fracb2a$=1，得2a+b=0，2a=-b，a、b 异号，即 b0，正确；抛物线与轴的交点在 y 轴负半轴，c0，2a+b-c=-c0，正确；当 x=1 时，y=a+b+c0，当 x=-1 时，y=a-b+c0，2a-2b+2c0，-b-2b+2c0，3b2c，正确；a+b+c0，a-b+c0，（a+b+c） （a-b+c）0，即（a+c）2-b20，错误正确答案：3.（2011广西）已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2a+b0；a+bm（am+b） （m1 的实数） ；（a+c） 2b 2；a1其中正确的项是（ ）A、 B、 C、 D、解
11、：抛物线的开口向上，a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，c0，对称轴为 x= 0，a、b 异号，即 b0，又c0，abc0，故本选项正确；对称轴为 x= 0，a0，- 1，-b2a，2a+b0；故本选项错误；当 x=1 时，y 1=a+b+c；当 x=m 时，y 2=m（am+b）+c，当 m1，y 2y 1；当 m1，y 2y 1，所以不能确定；故本选项错误；当 x=1 时，a+b+c=0；当 x=-1 时，a-b+c0；（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c） 2-b2=0，（a+c） 2=b2故本选项错误当 x=-1 时，a-b+c=2；当 x=1 时，a+b+c=0，a
12、+c=1，a=1+（-c）1，即 a1；故本选项正确；综上所述，正确的是故选 A4.（2010天津）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解：根据图示知，二次函数与 x 轴有两个交点，所以=b 2-4ac0；故本选项正确；根据图示知，该函数图象的开口向上，a0；又对称轴 x=-=1， 0，b0；又该函数图象交于 y 轴的负半轴，c0；abc0；故本选项正确；对称轴 x=- =1，b=-2a ，可将抛物线的解析式化为：y=ax 2-2ax+c（a0） ；
13、由函数的图象知：当 x=-2 时，y0；即 4a-（-4a）+c=8a+c0，故本选项正确；也可以：当 x=4 时，从图像上看 y0，此时 16a+4b+c0,而从对称性看出- =1，解得 b=-2a，代b2a入上式得 8a+c0；根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0） ；当 x=-1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故本选项正确；所以这四个结论都正确故答案为：45.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列结论正确序号是 （只填序号）abc0，c=-3a，b 2-4ac0，a+bm（am+b）（m1 的实数）
14、解：正确，与 y 轴交于负半轴，所以 c0，开口向上，a0，又对称轴在 y 轴右侧，- 0，b0，abc0正确，ax 2+bx+c=0（a0）的两根为 x1=-1，x 2=3，根据根与系数的关系， =3（-1）=-3，即 c=-3a4正确，函数图象与 x 轴有两个点，b 2-4ac0；正确，由函数图象可知，对称轴为 x=1，此时 y 取最小值为：a+b+c；当 x=m 时，y 值为：am 2+bm+c；am 2+bm+ca+b+c，（m1 的实数），a+bm（am+b）故结论正确序号是 6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：a+b+c=0；4a+b=0；abc0；4ac
15、-b 20；当 x2 时，总有 4a+2bax 2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）解：由图象可知：当 x=1 时 y0，a+b+c0由图象可知：对称轴 x=- =2，4a+b=0，正确；由抛物线与 x 轴有两个交点可以推出 b2-4ac0，正确；由抛物线的开口方向向下可推出 a0 因为对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=- 0，又因为 a0，b0；由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，c0，故 abc0，错误；由抛物线与 x 轴有两个交点可以推出 b2-4ac04ac-b 20 正确；对称轴为 x=2，当 x=2 时，总有 y=ax2+bx+c=4a+2b+c0，4a+2b
16、ax 2+bx 正确故答案为：7.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如下图所示，有下列 5 个结论：abc0；a-b+c0；2a+b=0；b 2-4ac0a+b+cm（am+b）+c，（m1 的实数），其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解：由图象可知：开口向下，与 Y 轴交点在 X 轴的上方，对称轴是x=1，c0，a0，- =1，2a+b=0，b0，（1）abc0（正确），（3）2a+b=0（正确），（2）当 x=-1 时，y=ax 2+bx+c=a-b+c，由图象可知当 x=-1 时 y0，即 a-b+c0，（2）a-b+c0（不正确），（4）由图象知
17、与 X 轴有两个交点，b 2-4ac0，即（4）b 2-4ac0（正确），m1，当 x=1 时，y 1=ax2+bx+c=a+b+c，当 x=m 时，y 2=ax2+bx+c=am2+bm+c=m（am+b）+c，由图象知 y1y 2，即（5）a+b+cm（am+b）+c（正确），综合上述：（1）（3）（4）（5）正确 有 4 个正确8.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（x 1，0），-3x 1-2，对称轴为 x=-1给出四个结论：abc0；2a+b=0；b 24ac；a-bm（ma+b）（m-1 的实数）；3b+2c0其中正确的结论有（ ）A2 个 B3 个
18、C4 个 D5 个解：由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，c0，对称轴为 x= =-1，得 2a=b，a、b 同号，即b0，abc0；故本选项正确；对称轴为 x= =-1，得 2a=b，2a+b=4a，且 a0，2a+b0；故本选项错误；5从图象知，该函数与 x 轴有两个不同的交点，所以根的判别式=b 2-4ac0，即b24ac；故本选项正确；图象开口向下，与 y 轴交于正半轴，对称轴为 x=-1，能得到：a0，c0，- =-1，b=2a，a-b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m+2）a，假设 a-bm（am+b），（m1 的实数）即-am（m+2）a，所
19、以（m+1） 20，满足题意，所以假设成立，故本选项正确；-3x 1-2，根据二次函数图象的对称性，知当 x=1 时，y0；又由知，2a=b，a+b+c0； b+b+c0，即 3b+2c0；故本选项错误综上所述，共有 3 个正确的故选 B9.已知：如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=-1，与 x 轴交于 A、B 两点，交 y轴于点 C，且 OB=OC，则下列结论正确的个数是（ ）b=2a a-b+c-1 0b 2-4ac4 ac+1=bA1 个 B2 个 C3 个 D4 个解：抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=-1，- =-1，整理得 b=2a，故正确；由抛物线
20、与 y 轴相交于点 C，就可知道 C 点的坐标为（0，c），又因 OC=OB，所以 B（-c，0），把它代入 y=ax2+bx+c，即 ac2-bc+c=0，两边同时除以 c，即得到 ac-b+1=0，所以 ac+1=bb=2a，ac+1=b，a= ，0c1，0a1，0b2，a-b+c-1当x=-1 时，y=ax 2+bx+c=a-b+c-1，故正确；函数图象与 x 轴有两个交点，得到 b2-4ac0，0b 24，4ac0，b 2-4ac4故正确；故选 D10.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（-1，2），且与 x 轴交点的横坐标为 x1、x 2，其中-2x 1-1
21、，0x 21，下列结论：abc0；4a-2b+c0；2a-b0；b 2+8a4ac，正确的结论是解：由图知：抛物线的开口向下，则 a0；抛物线的对称轴 x=- -1，且 c0；对称轴 x=- 0，a0，b0；又c0，abc0，故本选项正确；由图可得：当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+c0，故本选项正确；已知 x=- -1，且 a0，所以 2a-b0，故本选项错误；由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即： 2，由于 a0，所以 4ac-b28a，即 b2+8a4ac，故本选项正确；因此正确的结论是；故答案是：11.（2006武汉）（人教版）已知抛物线 y=ax2
22、+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且 0x 11，下列结论：9a-3b+c0；ba；3a+c0其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3解：y=ax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点为（x 1，0），且 0x 11，x=-3 时，y=9a-63b+c0；对称轴是 x=-1，则 =-1，b=2aa0，ba；再取 x=1 时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c0、正确故选 C12.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，ABAO，下列几个结论：（1）a
23、bc0；（2）b2a；（3）a-b=-1；（4）4a-2b+10其中正确的个数是（ ）A4 B3 C2 D1：解：（1）该抛物线的开口向上，a0；又该抛物线的对称轴 x=-0，b0；而该抛物线与 y 轴交于正半轴，故 c0，abc0；故本选项错误；（2）由（1）知，a0，- 0，b-2a；故本选项错误；（3）OA=OC=1，由图象知：C（0，1），A（-1，0），把 C（0，1）代入 y=ax2+bx+c得：c=1，把 A（-1，0）代入 y=ax2+bx+c 得：a-b=-1，故本选项正确；（4）由（3）知，点 A 的坐标是（-1，0）又ABAO，当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+10
24、；故本选项正确综上所述，正确的个数是 2 个故选 C13.如图所示，二次函数 y=ax +bx+c（a0）的图象经过点（-1，2） ，且与 x 轴交点的横坐标为 x1、x 2，其中-2x 1-1、0x 21下列结论：4a-2b+c0，2a-b0，a-1，b +8a4ac 中，正确的结论是 2解：由图知：抛物线的开口向下，则 a0；抛物线的对称轴 x=- -1，且 c0；由图可得：当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+c0，故正确；已知 x=- -1，且 a0，所以 2a-b0，故正确；已知抛物线经过（-1，2） ，即 a-b+c=2（1） ，由图知：当 x=1 时，y0，即a+b+c0（2）
25、 ，由知：4a-2b+c0（3） ；联立（1） （2） ，得：a+c1；联立（1） （3）得：2a-c-4；故 3a-3，即 a-1；所以正确；由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即：2，由于 a0，所以 4ac-b28a，即 b2+8a4ac，故正确；因此正确的结论是14.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：abc0；a+b+c=2；a；b1其中正确的结论是（ ）ABCD解：抛物线的开口向上，a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，c0，对称轴为 x= 0，a、b 同号，即 b0，abc0，故本选项错误；当 x=1 时，函数值为 2
26、，a+b+c=2；故本选项正确；对称轴 x= -1，解得： a，b1，a ，故本选项错误；当 x=-1 时，函数值0，即 a-b+c0，（1）又 a+b+c=2，将 a+c=2-b 代入（1），2-2b0，b1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是；故选 D15.（2003武汉）已知：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c0，以下结论：a+b0；a+c0；-a+b+c0；b 2-2ac5a 2，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解：（1）因为抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（-1，0），所以原式可化为 a-b+c=0-
27、，又因为 4a+2b+c0-，所以-得：3a+3b0，即a+b0；（2）+2 得，6a+3c0，即 2a+c0，7a+c-a，a0，-a0，故 a+c0；（3）因为 4a+2b+c0，可以看作y=ax2+bx+c（a0）当 x=2 时的值大于 0，草图为：可见 c0，a-b+c=0，-a+b-c=0，两边同时加 2c 得-a+b-c+2c=2c，整理得-a+b+c=2c0，即-a+b+c0；（4）过（-1，0），代入得 a-b+c=0，c=b-a，再代入 4a+2b+c=3b+3a0，即 b-ab0，a0，c=b-a0，又将 c=b-a 代入 b2-2ac=b2-2a（b-a）=b 2-2ab
28、+2a2，b 2-2ab=b（b-2a），b-a，b-2a-3a，并且 b 是正数，原式大于 3a2综上可知正确的个数有 4 个故选 D16.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（-3，0），对称轴为 x=-1给出四个结论：b 24ac；b=-2a；a-b+c=0；b5a其中正确结论是 解：图象与 x 轴有交点，对称轴为 x= =-1，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，又二次函数的图象是抛物线，与 x 轴有两个交点，b 2-4ac0，即 b24ac，正确；抛物线的开口向下，a0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0，对称轴为 x= =-1，2a=b，2a+b=4a，a0，错误；x=-1 时 y 有最大值，由图象可知 y0，错误；把 x=1，x=-3 代入解析式得 a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得 5a-b=-c0，即5ab故正确的为
