1、18-5 微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势例 1 有一个 303012(m3)的车间，空气中 CO2的容积浓度为 0.12%为降低 CO2的含量，用一台风量为 1500(m3/min)的进风鼓风机通入 CO2浓度为 0.04
2、%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为 1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动 10min 后，车间中 CO2的容积浓度为多少？解 车间体积为 10800m3设鼓风机开动 t （min）后，车间空气中 CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为 108x记在 t 到 t+dt 这段时间内，车间 CO2含量的改变量为 dx，则dx=该时间段内 CO2通入量-该时间段内 CO2排出量=单位时间进风量进风 CO2的浓度时间-单位时间排风量排风 CO2浓度时间=15000.04%dt -1500 dt，108x于是有 =15000.04%
3、 -1500dtx即 = (4.32-x) 365初始条件 x(0)=108000.12%=12.96方程为可分离变量的方程，其通解为x(t)=4.32+C te365将初始条件代入上式，得 C=8.64于是在 t 时刻车间内空气中 CO2的含量为x(t)=4.32(1+2 )t365所以鼓风机打开 10min 后，车间中 CO2浓度为 =0.06%10847.6)(x例 2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在 1798 年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比若已知 t=t0时人口总数为 x0，试根据马尔萨斯模2型，确定时间 t 与人口总数 x(t)之间的函数关系
4、据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为 11.6 亿，在以后的 8 年中，年人口平均增长率为 14.8，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测 2005 年我国的人口总数解 记 t 时的人口总数为 x=x(t)，则人口的增长率为 ，据人口指数增长模型为dtx=rx(t),(r 为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1)dx并附初始条件： x(t0)=x方程是可分离变量方程，易得它的通解为 x=Cert将初始条件 x(t0)= 代入，得C=x0 于是时间 t 与人口总数 x(t)之间的函数关系为 x(t)=x0 rte )re将 t=2005, t0= 1990, x0=1
5、1.6, r=0.0148 代入，可预测出 2005 年我国的人口总数为x|t=2005=11.6e 0.0148(2005-1990) 14.5(亿)例 3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图 8-6 所示，其中电源电动势E=E0sint,(E0,为常量） ，电阻 R 和电感 L 为常量，在 t=0 时合上开关 S，其时电流为零，求此电路中电流 i 与时间 t 的函数关系 解 由电学知识，电感 L 上的感应电动势为 L ，根据回路电压定律，有dtiE=Ri+L ，dti即 sint， (1)i0初始条件为 i(0)=0方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为i(t)=C + (Rsint-
6、Lcost) tLRe20E将初始条件 i(0)=0 代入上式，得 C= 于是所求电流为20i(t)= (L + Rsint-Lcost), (t0)20te例 4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为 V0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始 t=0 时圆柱高度为 h0，求油膜半径与时间 t 的关系解 设圆柱体油料半径 r=r(t)，厚度 h=h(t)，则在任何时刻 t 有r2(t)h(t)=V0 (1)两边对 t 求导，得2r(t) h(t)+r2(t) =0，d图 8-6RLSE图 8-7r(t)h(t)
7、3据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比, ,得)(tkhdtr2kh2(t)+ =0，即 =-2k (t)0hVdt250V分离变量后成为dh=-2k dt，)(25t0两边积分得 =k t+C，或 h(t)= 代入(1)，得31hVCtVk031r（t）= （2）3100tk由初始条件 r2(0)h(0)=r2(0)h0=V0，得 r(0)= ；代入(2)得 C= 回代到0h23)(10kh(2)，最终得油膜半径与时间 t 的关系为r(t)= 31200)(3hkV例 5 一边长为 3m 的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下 x0(m)后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图
8、 8-8)已知振动的周期为 2s，水的密度为 1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律解 设物体的质量为 m，物体在时刻 t 相对于平衡位置的位移为 x，振动规律为 x=x(t)因为 x 是相对于平衡位置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用假设 x 以向下为正向由阿基米德原理，当物体位移为 x 时所受浮力 F(x)与 x 的符号相反，大小为：F(x)=-33x1000g=-9000xg, (g=9.8m/s2 为重力加速度 )由牛顿第二定律得m =-9000gx，即 m +9000gx=0 2dt2dt这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件x(0)=x0, x(
9、0)=0 其特征方程为 r2+ =0，特征根为 r1,2= i，通解为9g90x(t)=C1cos t+C2sin tmg图 8-8x04由周期 T= =2，解得 ， m= 8937(kg)mg902g90290g所以x(t)=C1cost+C2sint由初始条件，得 C1=x(0)=x0， C2= =0，所以物体的位移规律为 x(t)=x0cost)(例 6 在例 3 的电路上，若再串接一个的电容 C，且 R2- 0,L4(电路中电阻较小或电容较小)求合上开关后电路上电流的变化的一般形式解 以 Q(t)表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两端的电动势为 EC= Q；电感两端的电动势 EL
10、= L = L ；1dti2Q电阻两端的电动势 ER=Ri=R 据回路电压定律，有dtL + R + Q=E0sint，或 + + Q= sint， (3)2dt12dRtC1E0方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为r2+ r+ =0，特征根 r1 = (-R- ), r2= (-R+ )CL42LC42因为 R2- 0，所以(3)对应的齐次方程的通解为L4Q*(t)= (C1sin t+C2cos t)tLRe2)(2(1设 Q*(t)为(3)的一个特解，据公式可得Q*(t)= tr1dtetEetrtr sin2120)(应用积分公式 Cbxabxdexa )cossi(sin2
11、，einco2可得 Q*(t)=- )20rLEte1dttr)cossin(21 =- r2(-r1sint-cost)+(sint-r1cost)(1220图 8-7RLSEC5=- (2-r1r2)sint-(r1+r2)cost)(1220rLE=- (2- )sint+ cost1220CLR=- (2- )sint+ cost)(1LRC即 Q*(t)=- sin(t+), tan= (4)21210ECLR12所以方程(3)的通解为Q(t)= (C1sin t+C2cos t)tLRe2)(2(- sin(t+)21)(210LRE根据 i= ，即得电路上电流变化的一般形式为dt
12、i(t)= ( +C4cos t)LRe223)(1sinC2(1LR- cos(t+)，21)(210LRE其中由(3)确定且 212423 )(,)( LRCC习题 8-51. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点 M(x,y)处的切线与过原点的直线 OM 垂直，求此曲线方程2. 设质量为 m 的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时( t=0)速度为零求降落伞下落的速度与时间的函数关系3. 设火车在平直的轨道上以 16m/s 的速度行驶当司机发现前方约 200m 处铁轨上有异物时，立即以加速度-0.8m/s 2制动(刹车)试问：(1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？(2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比现设某型号的太阳能热水器的比例系数为 0.1试求把水从 10C 加热到 80C 需要多少时间？5. 如图是一个由电阻 R，电容 C 及直流电源 E 串联而成的电路当开关 S 闭合时，电路中有电流 i 通过，电容器逐渐充电，电容器的电压 UC逐渐升高，求电容器上电压 UC随第 5 题图RSE C6时间 t 变化的规律(提示：由电学知识知， UC= ，于是Q有 i= ，再利用回路定律 E=UC+Ri)dtQ
