1、1第 1 章 函数与极限1.用区间表达函数 的自然定义域 .)4arcsin()3ln(xxy 5,4(),3解：应 ，得 ，得 .1,0,)3ln(x 1,x5,4(),33.已知 ,求 的表达式.12eef (f解法 1：因为 ，所以 .)1()2xxxx e(2xf解法 2：令 ，则 ，代入式 ，得ulnu2xef，即得 .()1()( 2)1ln()1ln( ufu 1)f5. 的充分必要条件是 .Axxlim0 Axfxx)(limi006. 1 , 1 , 在 处的极限情况为 不存在 .xx0li)(解：在极限 中， ，此时 ，所以 ，xx 1limlili000xxx在极限 中，
2、 ，此时 ，所以 ，0li0)(因为 的充分必要条件是 ，所以， 在 处的极限 不存在.Axfx)(m0 Axffxx)(li)(lim00 xf0x0lim1.若 存在,则 B .li)(xfA.有界; B.在 内有界; C.在任一 内有界; D.以上结论都不对.,0oU),(0U解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在 定点的情形，则是0x保证函数在 的去心邻域 内有界；0x),(0oxB 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某一去心邻域内有界 .2.设 ,当 时,观察 的变化趋势,可得 C . A.0; B. ; C.
3、; D. .efx1arctn)1()(xf )0(f 2解： ，当 时， ，从而 ， ，故lim00fx011xe21arctnx.2)(1)()( f1.以下判断正确的是 D .A. 是无穷大量; B. 是无穷小量 ; C.若当 时, 是无穷小量,则 是无穷大量;xex0x)(f )(1xfD.若 ,则当 时, 是无穷小量.Afx)(lim0 0Axf)(解：A、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是 A、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于 A 选项，例如， ，因而 是当 时的无穷大量；又有 ，因而当xelimxe1lim0xe时 不是无穷大
4、量. 对于 B 选项，例如， ，因而 是当 时的无穷小量；又有 ，因而当xxe 01lix xx时 不是无穷小量，而是无穷大量.01C 选项不正确：这是因为，如果 ，那么 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当 时亦然)，0)(f)f 0但是式 无意义.)(xfD 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程 ( )中,函数 具有极限0x)(xf的充分必要条件是 ,其中 是无穷小.AAxf)(2.试说明函数 在 上无界,并说明 不是 时的无穷大量.fcos)(xf2解：先说明函数 在 上无界：因为对 ,在 上总能找到这样的 ,使得 .xfcos)(),(0M),(xM
5、f)(例如 ,当 充分大时,就有 .)2,10 22( kkkf kMkf2再说明函数 不是 时的无穷大量：因为对 ,找不到这样的时刻 ,使得对于一切大于 的 ,都有fXXx.例如 ,对于任意大的 ,当 充分大时,总有Mxf)( )1( )cos()()( k,但 .Xk2Mxf01. 的理由是 有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小 .01sinlm0xx x1sin2. .232)(x解：因为 ，所以所求极限 .022)(limli 3232232 xxxx 232)(limxx3. .503)1(limx 50解：所求极限是有理分式函数当 时的极限，并且分子、分母多项式的次数( 的最高次)
6、相同(均为 50 次)，则知极限x值应为分子、分母 的最高次的系数之比.因分子 的最高次的系数是 ,分母 的最高次的系数是 ,所以所求极限值xx302 50是 .50324.已知 ,则 7 , 6 .51lixcbx bc解：因为当 时,分母 的极限为 0,而分子 是多项式, 故当 时,分子 的极限必存)(x)(2cbx1x)(2cbx在,又已知 是有限值,所以分子 的极限应为 0,即 ,得lim21x 0)(lim2cb.此时 ,得 ,bc xxbxcbxx 1)()(lim1li 22 521x7.61.若 、 均发散,则下列判断正确的是 D .nxyA. 一定发散; B. 一定发散; C
7、. 一定发散; D.以上结论都不对.nny ny解：A、B、C 选项都不正确，则 D 选项正确：举例如 ， 及 均发散，但 收敛.1)(,)1(nxxny0nyx又例如 ， 及 均发散，但 、 及 均收敛.nnyx)1(xn0nnn2.若 收敛, 发散,则下列判断正确的是 A .A. 一定发散; B. 一定发散; C. 一定发散; D.以上结论都不对.nny nyx解：A 选项正确(则 D 选项不正确) ，证明如下：设 ，则 ，用反证法，如果 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，nnyxznxznz有 ，即 收敛，此与 发散矛盾，故 一定发散. 证毕.nnlimlilimli yn nnyx
8、zB、C 选项都不正确：举例如 收敛， 发散，成立 收敛.0nn)1(0nyx5. ; 解： .)13(li1xx 1)2(lim)1)(12lim3)li31(li 21 xxxx xxx6. ; 解：xlim2 (lilim2xx3.22)13)(lim)1(23(lim11 xxxx7. ; 解： .)241(limnn li)4li nnn8. .)35(172li n解： . niinin12122 35lm)3(l 523)1(5l2nn1. . 解： .xsinlm0 xxslsilm002. 1 . 解：i )in(i 3. . 解： .nnx2sil xxnnn 2silsi
9、2l4. . 解：nn)1(lime 212 )()1(lim)1(li nnnn.2212 1)(limli ennn或 .222 )1(li)/(li)(li ennn n5.若 ,则 6 .6)31(limexkx解： kxxkx )31()31(lim)31(li，得 .63)1(li ekkx 6.要使函数 是无穷大,则要求 趋于值 .2tanxf ),2(2解：函数 的定义域为 .因为对任意点 ，根据两函数商的极限运t)(f ),10(RxkxD Dx0算法则，必有 是有限值，所以，使函数 是无穷大的点只可能是不属)(2tantlim)(li 0000 fxfx 2tan)(f于其
10、定义域的点，即 .将这样的点分为 3 类，来求函数在该点处的极限：),1k，求得(;),(2 ZkZkx ，所以 ；而 ；)0,2tanli)(1lim2 xfkxkx )0(,)li2kxfkx 2tanlim2tanli)(lim000 xxxf4；所以 为所求.02tanlim)(li)12()12( xxfkkx )02sincolm2tan1li()1()2 xxkkx ),21(2k2. C . A.0; B.1; C.不存在; D. .xcosli0解：因为 ，2sinli2sinli1li 000 xxxxxx，ilimilicoslim000 xxx左、右极限存在但不相等，所
11、以该极限不存在，C 选项正确.1. ;ln)1l(in解： .1)1ln(i)1ln(ilni nn2. ; 解： .)cosart(li0xx 10coslimarctcosart( 000 xxxx x3. ; 解：x3)12m 333 )21(li)12lim12(li.2332312 )1(li)(li)()(li xxxx xxx 3e4. ; 解： .x4tan)21l(i0 214tanli4tanli00 xx四利用极限存在准则证明：1. .)121(lm22 证明 因为 ,)1(22 22)( n又 ,12nn n22 11而 , ,由夹逼准则,得 . 证毕.lim2nli
12、1)2(lim21.当 时,与 等价的无穷小有 .0x axexxln),1l(,arct,s,tasi 解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证， ， ， ， ，1inl0xnli0xrcsim0x 1arctnli0xx， ， .1lim0xe1)ln(i0xx lim0ax2.设 ,则 , .cos2n解：根据等价无穷小的定义，只需验证， ， ：12cosli0x1lim0nxx5成立 .1)2(sinlmsi2lcos1lim20020 xxx成立 )1()1()(lili 200 nnnnnxnx xx(用到因式分解公式 )123 babaaba.)1()lim20 xxnnnx (其
13、中极限 用到了习题 1-6 中题 4(4)的结果 及第五节中定理 3 的推论 2)1,li m 1lim0nx3.当 时, 与 相比,哪一个是高阶无穷小? .23 32x解：根据高阶无穷小的定义，因为 ，所以，分子 是比分母 高阶的无穷小.0)(lim2li030xx 322x4.当 时,无穷小 和 是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .1x31解：因为 ，所以无穷小 和 是同阶无穷小，但不是等价无穷小.1lili 23x x131.当 时,下列哪一个无穷小是关于 的三阶无穷小 B .0xA. ; B. ( 为正常数); C. ; D. .32 a3 2301.x3tanx解：根据 阶无穷
14、小的定义，A 选项不正确：因为 .k )(1lim)(lilim23202340320xxxxB 选项正确：因为 .)(lilim33030 axaxx 1li30 axC 选项不正确：因为 . 1.li1.li0320xxC 选项不正确：因为 . 383tantanxx三利用等价无穷小的性质求下列极限：1. ( 为正整数);mx)(sil0,解： ( 为正整数).mnx)(sil0.,1,li0nxn2. ; 解： .xx30sintal3030 sintalimsital xxxx 21coslimcos)1(il 3030 xxxx3. ; 解： .1)(2e1)n(232e4. .)s
15、i)(tailim30 xxx解： (利用 2 题结果或方法).1in1tili2 3tansilm62sin3tali 300 xxxx61.设 则 是 的 A .,01sin,)(xxf )(xfA.可去间断点; B.跳跃间断点 ; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察： ， ，1sinlm)(li)(00xxffx 1)sin(lm)(li)0(00 xxffx由于 即左右极限存在且相等，所以极限 存在，因而 是 的可去间断点.)0(ff )(f故 A 选项正确，B、C、D 选项不正确.2.设 ,则 是 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断
16、点; D.振荡间断点.1cotar)(2xxf )(xf解：根据间断点的分类，考察： ，1)cotar(lili21100 xxfx，由于左右极限存在但不相等，所以 是 的跳跃间断点.)cotar(lim)(li)1(21100ffxx 1x)(f故 B 选项正确，A、C、D 选项不正确.3.设 ,则 是 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.efxarctn1)()(xf解：注意到 ， .xx100li,li 21arctnlim,21arctnli00 xxx根据间断点的分类，考察： ,2)(t1li)(li)(00 eff xxx，由于左右极限
17、存在但不相等，所以 是 的跳跃间断点.21arctn12lim)(li)0(100exff xx 0x)(f故 B 选项正确，A、C、D 选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) ;2,32xy解： 为第一类(可去) 间断点 .补充定义 则函数 在 处连续.1 1lim1x ,2)1(yy1x为第二类(无穷) 间断点.2 32xx(2) ( );,tanky ,0解： 为可去间断点.补充定义 则函数 在 处连续. 1li0xx ,1)0(yy0x为可去间断点.补充定义 则函数 在 处连续.2tam2kkx,)2
18、(ky2kx为第二类( 无穷 )间断点.)0 )0(tnli xkx (3) . 解：因为 (或 )不存在，所以 为第二类间断点(且为振荡间断点).,1cos2yx1coslim20xx1cosli20 0x1.函数 的连续区间为 ,极限 , , .63)(23xf (,3,)lim0fx21)(li3xf58)(lim2xf7解：在此 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义63)(23xxf区域为 ，可知 的连续区间即 的定义域为 .又根据函数间断点的),(,)(xf)(xf ),2(3),(概念，可知函数 没有定义的点 是其间断点.f 2,因为 是连
19、续点，所以极限 ；而在间断点 处，0x 10lim0fx ,x极限 ；极限 .5821lim)3(263li)(lim3233 xf xxx 63lim)(li232xxf4.设函数 若要使 成为在 上连续的函数,应当选择 1 .,0,aef )(fa解：若要使 在 上连续，那么 必在其分段点 处连续，即成立 ，则必有)(x)0)0(li0fx.而 ， ，故 ，此时 .lili00ffx1lim(li00xxef xaxf)(li)(li0 )0(1lifa二求下列极限：3. ; 解： .145lim1x 2)45)(1li45li11 xxxx4. ; 解： .aaxsinli axaaax
20、axax cos2ssinlmsin2colisnil 5. . 解： .)(li22x 11li2li)(lim22 xxxx三求下列极限：1. ; 解： .xe1li1lixe2. ; 解： .xxsinlm0 0sn0x3. . 解： .)arci(i2 621arcsinarcsinlim)arcsin(lim22 xxx一证明题 1.证明方程 至少有一个根介于 1 和 2 之间.135证明 设 ，对 在闭区间1,2上用零点定理：)(xf )(f因为 在闭区间1,2上连续，并且 ，所以由零点定理可得，至少存在0)7()3()5f一点 使 ，即 ，亦即方程 至少有一个根介于 1 和 2
21、之间. 证毕.2,10f 0515x2.证明方程 ,其中 ,至少有一个正根,并且它不超过 .basina ba证明 思路如下：先构造辅助函数 ，则方程 的根的问题即转化为函数 的零点的)sin()(baxFxsin)(xF问题；然后判断 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(xF的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过 ，故在闭区间 上进行考察.)(x ,0ba令 ，则 , ，以下分两种情况讨论：)sinba0)()(F)si(1ba当 ， ，则 就是函数 的零点，也就是方程 的一个根，此根1)si(baxxsin，取到区间
22、 的右端点；当 ， ，因为 在( )上连续, 从,0ba,0sinbaF)F而在 上连续，并且 ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间 内至少 )F 0ba存在一点 ，使 ，即 是方程 的一个根，此根 .)(Fxi ),0(ba由即得，方程 在 内至少有一个根. 证毕.bxasin,(a4.若在 的某个邻域内 ,且 , ,则 与 的关系是 .0x)fAfx)lm0 Bx)(li0AB解：根据函数极限的性质定理：如果 ，而 ，那么 .(第五节定理 5)x)(lim85.设 处处连续,且 ,则 15 .)(xf 5)2(f )1(3tanlim20xefx解：注意到 处处连续，则 .1
23、5)2(3)12(3tanli0 fxefx2.设 ,则当 时,以下四个结论中正确的结论是 B .3)(xfA. 与 是等价无穷小; B. 与 同阶但非等价无穷小;)(xfC. 是比 高阶的无穷小 ; D. 是比 低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为 ，6ln32l)13()2(lim32lilim000 xxxxx由 知 A 选项不正确，由 知 B 选项正确且 C 选项不正确，由 非 知 D 选项不正确.16ln6n6ln三求下列极限：1. .)1(7513linn解： )2(531limnn.)12)715()1()(2 n 21)(limnn2. .li 22n解： )1()3(
24、1n )(22.22245limn 1limn3. . 解： .)ta1si(l0xx )tasi1(l0xx 21limsincoli00 x4. . 解： .xxsinlcoi0xxsinlcoi01sil1li0x5. . 解： .322limx 322limx 332limlixx6. . 解： .)1(100)( x )1(100)(22xx 271027. .),.)3(li0 cbacbaxxx解： ，xx1limxx10)3(lim 3130)3(limxcbacbaxx xxcba，所以原式 .10 ccbxxx lnlnabceln8. . 解： .xxcot0)4tan(
25、lixxcot0)4tan(li2tan1t0)(li ex9. .xxt2sm解： ，xxtan2)(ilxcosin2)1(sili xxsinco1isin2)(ilm9，所以原式 .xxx cos1inlmsico1inl 22 02sincoilm2sinco)(li 22 xx 10e10. .1lim30x解： .li30x )1)(1)(1(li 3323 320 xxxx 23)1(li3320 xx11. .xsin4li2解： .xxsi1lim2 xxsin4lim2 1sin14lim2xx12. 解：)0( .1liann )0( .1,20,1li aann2.设
26、函数 应当怎样选择数 ,使得 在 处连续.,0,cos)ln(si)(2xbexfx b)(xf解：应有 ,而 ,所以 .(imli00ffx 1)0(lim,1)(li0bfxf 23.设函数 求的间断点,并说明间断点所属类型.01),ln()1xfx解：因为函数在 处无定义(在 有定义), 所以 是 的一个间断点.)(U1x)(f, ,)lim li)lim111 xexfx )1lim( lili1 xexx 是第二类间断点.在分段点 处, ,0 eff xxxx li)(li ,0)ln(i)(li 1000也是 的间断点,且是第一类间断点.x)(f五证明题2.设函数 在闭区间 上连续
27、,且 ,证明:在 内至少存在一点 ,使 .fbabfaf)(,)( ),(a)(f证明 设 ,对 在闭区间 上用零点定理:xg)()(g由 在闭区间 上连续,可得 在闭区间 上连续,并且 , ,)(x xx 0)(ag0)(bfg故由零点定理得,在 内至少存在一点 ,使 ,即 . 证毕.0)(fgf3.设函数 在 内连续, ,且 .证明:存在 的邻域 ,使当 属于该邻域时,f)(ba)(0ba(0Af x)(,0bxUx.Axf21)(证明 设 ,则 ,由极限的局部保号性知,存在 ,使当2)(Axfg 2)(2)(lim)(li 000 Afxfxg 0时,有 .取 ,则当 时,有 ,即 .00x,nba )(bax0)(xgAxf21)(证毕.
