1、2005 级 高等数学（I） （A）所有的答案都要写在答题纸上，写在试卷上无效一 填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 若 , 则 _。1,0()()lnxfgx()fg2 的拐点为 _。4(6f3 设 ， 为可微函数，则 _。()lnfxyfe)f dy4 已知 ，当 时， 比 是_2340si,(tdgx 0x()fxg无穷小（填 高阶、低阶、同阶） 。5 极限 _。20arcinlim(1)xx6 设 ，则 _。0)|,(0)Ftd()Fx7 心形线 弧长为 _（用积分表示出来即可） 。2(cos8 积分 _。12sin)xx9 设 在 处的 阶 Taylor 公式是 ()lnfx0
2、1xn，则 当 时 系数0(1)(),1nknkaxox 3_。n10 已知 则极限 _。2(),1xf12lim()nnkf二 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 已知 ，求极限 。()5()ff25()lixfx2 找出函数 的间断点，并且指出间断点的类型。|1sin()xf三 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 若 ， 求 。2l()arctxy2dyx2 若圆 与 均过（0，0）点，且在（0，0）点有相22()()xaybr2yx同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。四 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 求 的单调区间和极值。21()lnfx2 曲线 与直线 在 处相切，
3、其中 ，求 使得yyaxb(,ln)c24c， ， 所围区域的面积最小。lyxab2,4五 计算（每小题 6 分,共 12 分）1 。2rcsind2 已知 ，试用 A 表示定积分 。20os()xA20sinco(1)xd六 证明 （每小题 6 分,共 12 分）1 若数列 ，证明 数列 极限存在。312nxdxnx2 设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，()f0,(0,3)(0)1(2)3,()1fff试证明存在 使得 。3f七 附加题（10 分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考下面证明中可直接用“若 存在，则 一定存在”这一事实。设(0)fc(0)fc在 点附近有定义
4、，()fxc1 若 存在，则 。(0)f0()()()limhfffc2 若 和 都存在，则 。c(fffc3 举例说明 当 存在时， 可以不存在。)()c4 举例说明当 存在时， 可以不存在。(fc0f参考答案一 填空1 ； 2 ； 3 ln,12x (4,162)；()()llfxfxdyfeedx4 同阶；5 ； 6 ；7 ；13421,xx220(1cos)inad8 ； 9 ； 10 。/2()1n1ln二 1 解 225()5()()(2limli 5(2)3xxf fxf2 解 函数 的间断点是全体整数，|1()sin()f，所以 是跳跃间断点；1(0,0ff0x，所以 是可去间
5、断点；其他间断点是第二类间断点。1lim)x1x三 计算 1 解 ；223,4dytxt2 解 由于 在圆上，因此 ， 在（0，0）点有相同的一阶(0,)22abr2yx和二阶导数分别为 ， 圆的方程两边对 x 求导得(0,)(0,)|,0dyxaab(0,)2()1“|2,ybxaybr于是圆的方程为 4四 计算 1 解 ，22ln(l)()01,xf xore，因此 在 上单调下降，()0,fxf,因此 在 单调上升，2,(,)e()x21,e因此 上单调下降。()fxf)是极小值点，极小值为 0； 是极大值点，极大值为 12xe24()fe2 解 设切点为 ，则切线的方程为 (,ln)(
6、24)cc1lnyxc42 6() ln2xscxd6 0,3c“()09s因此 时面积最小，最小值点为 3c,l3五 解 1221arsin()arcsin1cil|dxxdx2 解 220000sino1sin1sin1cos()42uxx duddux分部积分可得 ()A六 1 证明 由于被积函数为正的连续函数，因此 单调增加，又nx32311212nnxdx由单调有界必有极限原理，数列 极限存在。nx2 证明 设 在 上最大值和最小值分别为 ，于是()fx0,2 ,Mm1(0)(2)13mff由连续函数的性质，存在 使得 。 在 满足罗尔定理的,fx,3条件，于是存在 使得 。(,)(
7、)f七 1 证明 由于 存在，则 一定存在。令0fc0)c，(;),fxF则 0 000()()(limlimlim()li()0)h hhhfcfcFffc2 证明 又若 都存在则 在 点右连续，于是f)fx00()()()()lili ()hhccff fc 3 例如 ， 存在，但 不存在。,1xf()f(0)f4 例如 ， 存在，但 不存在。2sin,0(),fxx()f()f（B 卷）所有的答案都要写在答题纸上，写在试卷上无效一 填空题（每小题 3 分，共 30 分）1 设 则 _2(),()xfxg()()fgfx2 设函数 为可微函数， ，则 _。tanydy3 函数 的拐点为_2
8、1yx4 已知 ，当 时 比 是_230()ln(),(sixftdgx 0x()fxg无穷小（填 高阶、低阶、同阶） 。5 已知 ，则 _。(1)2f0(1)(lim2hff6 积分 = _42sin)xxd7 设 在 处的 阶 Taylor 公式是 ，则 ()xfe1n0(1)(),1nknkaxox_.na8 曲线 弧长为 _（用积分表示出来即可） 。si,02yx9 广义积分 _。lned10 已知 ，则极限 _。()xf 12lim()nnkf二 计算 （每小题 7 分，共 14 分）1 求极限 。1cos0il()xx2 找函数 的间断点，并且指出间断点的类型。1()artnxfe
9、三 计算 （每小题 7 分，共 14 分）1 求 曲线 在 处的切线方程。sico2ty62 已知 确定隐函数 ，求 。sin()x()yx2dy四 计算 （每小题 7 分，共 14 分）1 2 22(ta1)xed 204五计算（每小题 7 分，共 14 分）1 已知 函数 ，确定 使得 在 区间上满足 Lagrange3,1(),xfab,ab()fx0,3中值定理的条件。2 求 的极值点和极值243()fx六 计算或证明（每小题 7 分，共 14 分） 1 求 曲线 所围平面区域的面积。2233xya2 如果函数 在 内可导，且当 时， （M 是常数） ，证()f,)(,)xa|()|fx明 2lim0x一 填空题（每小题 3 分，共 30 分）1 ； 2 3 （0， 0） ； 4 同阶； 5 1； 4x2(tan)secfxd6 2 ； 7 ； 8 ； 9 1!201osx
