1、目 录第 1 讲 比较大小 1第 2 讲 速算与巧算 4第 3 讲 比的意义和应用 7第 4 讲 按比例分配10第 5 讲 分数应用题（一）13第 6 讲 分数应用题（二）15第 7 讲 列方程解分数应用题17第 8 讲 百分数应用题19第 9 讲 单位“1”的妙用 21第 10 讲 倒推法解题23第 11 讲 对应法解题25第 12 讲 利润和利1息27第 13 讲 巧算周长29第 14 讲 智求面积32第 15 讲 鸡兔同笼35思维训练检测（一）37思维训练检测（二）49第 1 讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目： （1）比较这几个分数的大小： 、 、 、
2、、52731029375（2）试比较 和 ，那个分数大？75如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1： 已知 A =B = C = D =E (ABCDE 都不等于 0)，3214109541将 A、 、B 、C 、D 、E 按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来2的算式就变成 A =B =C =D =E 。下面我们可以运用倒数的知识来解决321109546这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于 1。那么，A 就是 的倒数，即 ；同32153理，B
3、 应是 ，C 是 ， D 是 ，E 是 。这样，我们很容易就能比较出这五个数的49145大小。因为 ,所以 DECBA.53随堂练习一： 如果 a=b = c=d (a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大?2164谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来： 、 、 、 、 。52731029375分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为 2、3、10、12、15、的最小公倍数是 6
4、0，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为： 、 、 、 、 。1506413860451860由 150148 145 140 138，可以得到： ，即1506481560413860 。23792方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二： 把下列分数按从小到大的顺序排列起来。、 、 、 、1759643107例 3：已知 A= ， B= 。试比较 A 与 B 的大小。5631分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较” ，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都
5、不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小 2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法” 。因为比 A 比 1少 ，B 比 1 少 ，而 ，所以 AB。52635632方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先3比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三： 试比较下列两个分数的大小。和45397例 4：比较 和 ，那个分数大？75分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两
6、个数，可以发现这两个数的分母都比分子的 14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？的倒数是 ， 的倒数是 ，因为 ，所以 755714514571475。方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四： 试比较 和 的大小。1927例 5：试比较下面两个分数的大小。和06分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子 2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000，即第一个分数 的分子与
7、分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数 。10627 2067方法点评 当 ab 时， ,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，bak得到的新分数比原分数小，所以 。同理，一个真分数的分子和分母都加上10627同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五： 比较 与 的大小2391拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。4、 、 、 、1983762148652、比较下面两个分数的大小。和4053、比较 和 的大小。64、比较 与 的大小。12578932091457835、比较 与 的大小。第 2 讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运
8、用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1） 9 （2）20037642043分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1） 分成一个17649 的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除5数和除数利用商不变的性质，同时除以 2003 后，计算就很简便了。（1） 9 （2）2003764 2043=（ 63+ ） 9 =（2003 2003）1 （ 2003）2043=63 9
9、 + 9 =1 （2003 2003+ 2003）172043=7+ =182041= =2 5方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）55 （2）167561687例 2：计算：（1+ ） （1+ ）（1+ ）614354514（ ）43分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设 =A 1+ =B，原来的算式可以转化成：61543514（1+A）
10、B-B A=B+AB-AB=B所以本题的结果为：1+ =514209方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二： 计算：（1+ ）（ + ）-（1+ + ）（ ）97835978352978397853例 3：计算.31212165012.504895048.50321 分析与解 这组分数的特点是：分母为 1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为 1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）
11、502=1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：+.3123121 201.9201.203例 4：计算：（1） （ ）（ ）115（2） 032032分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：= =145( ), =5( ).所以，13451513原式=（ ）（ ）=145( )5( )=1455=29133（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002 和 2003 组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便
12、计算。因为 2002=2002120022002=200210001200220022002=20021000110001所以 2002+20022002+200220022002=2002（1+10001+100010001）同理 2003+20032003+200320032003=2003（1+10001+100010001）原式= =)10(203203随堂练习四：计算：（1） （ ）（ ）91941（2） 2332777例 5：计算 2019.4321分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：=1- ， = ，. =21312
13、2019=1- + +.432019=1- 0= 219方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时, = ( ) ba1ab1随堂练习五：计算 109.321拓展训练1.、计算（1+ ） （ + ）-（1+ + ） （ ） 5454651465142、计算（ ） -（ ） 398.63 89.3、计算 23219194、计算 60745、计算（1+ ） （1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1 -） 212131508第 3 讲 比
14、的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍” 。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是 12,另一只杯子中盐与比是 15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为 1，则第一支杯子中的盐占 ，水占 ；第二只杯子中的盐占 ，水占 。两只杯子中的盐水混合后，21 51盐为 + = ，水为 + = 。所以，混合液中的盐与水的比为：5123（ + ）（ +
15、 ）5= 23=13。答：混合后，盐与水 的比为 13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一： 六年（1）班男、女人数的比是 54，六年（2）班男、女人数的比是 21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，占正方形面积的 ，三角形中阴影部分的面积占三431角形面积的 ，占正方形面积的 。圆，正方形、三角54形面积的最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，
16、我们就设正方形的面积为 12，那么圆的面积就是:12 =16；三角形314的面积为： 12 =15。所以这三个图形的面积比就是：（12 ）415 112（12 ）=16 12154159方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的 ，相当于小长方形面积的 。这7141两个长方形的面积比是多少？例 3：有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多 ，而小长方形的宽41比大长方形的宽多 。求这两个长方形的面积比。.10分析与解 大长方形的长比小长方形的长多 ，可以
17、把小长方形的长看做 4 份，41大长方形的长就是 1+4=5 份；小长方形的宽比大长方形的宽多 。可以理解成八大长.0方形的宽看做 10 份，小长方形的宽是 1+10=11 份。所以，这两个长方形的面积比为：(510) ( 411)=5544= 2522 答：大小两个长方形的面积比为 2522 。随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多 。求两个正方形的周41长比。例 4：六年（1）班男人数的 与女生人数的 相等，已知男生比女生多 5 人，这3254个班男、女生各有多少人？分析与解 根据男人数的 与女生人数的 相等，可以列出数量关系：男生人数 =女生人数 。3254假设男
18、人数的 与女生人数的 都是 1，则男生人数为 1 = ；女生人数为 1325432= 。所以，男、女生人数的比为：54（1 ）（1 ）= 23410=65每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有 30 人，女生有 25 人。随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲、乙两段，已知乙比甲短 1.2 米。这根绳子原来全长多少米？ 例 5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 15 ，若再读 45页，则已读的页数和未读的页数的比是 3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比 15”可知，把未读的页数
19、看做1 份，未读的页数看 5 份，总页数就是 1+5=6 份，已读的页数占总页数的 。若再读5145 页，则已读的页数和未读的页数的比是 3 5.即把这时已读的页数看做 3 份，未读的页数看做 5 份，总页数就是 3+5=8 份，这时已读的页数占总数的 。45 页占总页数的 - = ，这本书共有的页数是：312445（ - ）5=45=216（页）答 ：这本书共有 216 页。随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为 23，后来又修了 2000 米，这时已修的米数与未修的米数比为 32。这条路全长多少米？ 拓展训练1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是 65，两个厂西服价格比是 11
20、10.求两个厂这个月生产西服总产值的比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把 100 克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去 20 克后，加满蒸流水 ；又用去 20 克 后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为 73，如果把长减少 12 厘米，宽增加 16 厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？115、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为 101，当水面下降 20 厘米后，露出水面那部分的长度之比为 52。求木桩原来露出的部分是多少厘米？12第 4 讲 按比例分配例 1：有一块长方形的土地，测得周长为 60 米，. 长与宽
21、的比是 32.求这块地的面积。分析与解 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为 60 米，那么，长与宽的和就是：602=30(m)；它的长就是：30 =18（米） ；它的宽就是：3032=12（米。 ）至此，长方形的面积很容易求出。32602=30(m)30 =18（米）30 =18（米）321812=216（平方米）答：这块长方形土地的面积是 216 平方米。方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体的棱长总和为 220 厘米，已知长、宽、高的比为 542.这个长方体的体积是多少立方厘米？例 2：西园村挖一条水渠，全
22、长 420 米，第一、二两队所挖米数比是 34，第二、三两队所挖米数比是 67。三个队各挖了多少米？分析与解 我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队第二队第三队34=（33）（43）=91267=（62）（72）=1214这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为 91214，下面只需将 420米按比例分配就行了。9+12+14=35420 =108（米）359420 =144（米 ）12420 =168（米 ）41
23、3答：第一队挖了 108 米，第二队挖了 144 米 ，第三队挖了 168 米 。方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二： 人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为 54，第二批与第三批的人数比为 32.已知六年级共有学生 210 人，第二批有多少人？例 3： 工厂把 10000 元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是32，第三车间比第二车间多 200 元。三个车间各得多少元？分析与解 根据题意，把第一车间所得奖金看做 3 份，第二车间所得奖金数是 2份，第三车间所得将金属
24、应为 2 份多 200 元。从 10000 元奖金中先拿出 200 元给第三车间，那么剩下的 9800 元中，三个车间应得奖金的比是 322，再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的 200 元就行了。3+2+2=710000-200=9800（元）9800 =4200（元）739800 =2800（元）22800+200=3000（元）答：第一车间分得 4200 元，第二车间分得 2800 元，第三车间分得 3000元。随堂练习三： 甲、乙、丙三堆煤共 450 吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为 54，丙堆煤的重量是乙堆煤的 1.5 倍。三堆煤各重多少吨?例 4：A、B 两桶油共重 90
25、千克，若把 A 桶中油的 倒入 B 桶，则两桶油的重量1比是 12. A 、B 两桶油原来各多少千克？ 分析与解 把 A 桶油的 倒入 B 桶，两桶油的总重量没有变，还是 90 千克。因41此可以按比例分配求出现在 A 桶油的重量：90 =30（千克） 。A 桶倒出 后是 302141千克，即 30 千克占 A 桶油原有油的 ，这样可以倒推 A 桶原有油的重量。则就可求出3B 桶油的重量。90 =30（千克）2130 =40（千克）439040=50 （千克）答 ：A 桶原有油 40 千克，B 桶原有油 50 千克。方法点评 解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出 A 桶油现在的14
26、重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四： 两个书架一共放书 360 本，如果从第一个书架取出 放入第二个书架，则第一个书41架上的书与第二个书架上的书的本数比是 911.两个书架上原来各有多少本书？例 5：水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为 456.已知上周这三种水果售出数量比是 324，又知苹果共卖得 2160 元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解 根据这三种水果的单价比为 456.，以及数量比为 324，可以先计算出这三种水果的总价比（43）（52）（64）=121024=6512 由此可知，苹果的总价占售出水果总价的 。因此
27、售出水果的总价很容易求23615出。（43）（52）（64）=65122160 =8280（元）6答：这个批发部上周售出水果的总价为 8280 元。方法点评 解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。随堂练习五： 甲乙两个三角形，他们的底边之比为 23，高之比为 35.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小 30 平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练1、一个长方体，长、宽、高的比是 437.已知这个长方体的底面周长为 56 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是 23，乙数和丙数的比是 45，甲数和丙数的比是多少？3、大、小两筐苹果共 6
28、0 千克，把大筐苹果重量的 放入小筐后，大、小两筐苹果73的重量比为 23。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为 495.两天后，三种水果工卖出 780 千克，这时苹果还余 50 千克，梨还余 20 千克，橘子余下的是卖出的 。原来三41种水果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有 32 个男生、18 个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为 53，游泳队中男生人数与女生人数的比是 21，那么，田径队中女生有多少人？6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是 21，已知奶糖每千克 6 元，酥糖每千克 2 元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那
29、么，什锦糖的成本为每千克多少元？15第五讲 分数应用题（一）例 1：一池水，第一天放出 60 吨，第二天放出 65 吨，剩下的水比原来这池水的少 5 吨。原来水池有多少吨？4分析与解 这道题把原来这池水的吨数看作单位“1” ，但具体数量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1” 的 。我们可以假设第二天41少放出 5 吨水，那么剩下的水 就正好占单位“1” 的 ，两天共用去（60+65-5）吨的水，的对应分率就是（1 ） 。4（60+65-5）（1 ）=120 43=160（吨）答：原来水池有水 160 吨。随堂练习一： 一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的
30、 ，后来向甲库运进 4583吨，向乙库运进 36 吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨？例 2：五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共 96 本。已知科技书是故事书的 ，是文艺术的 ，三种图书各有多少本？3141分析与解 这道题出现了两个不同的单位“1” ，因而 ，我们需要将他转化成同一个单位“1” 。把故事书看作单位“1” ，科技书的对应分率就是 ，文艺书的对应分率31是 =34故事书的本数：96（1+ + ）314=96 2=36（本）科技书的本数：36 =12（本） 文艺书的本数：12 =48（本）314116答：故事书有 36 本，科技书有 12 本，文艺书有 48 本方法
31、二：这道题也可以把科技书的本数看作单位“1” ，故事书的对应分率就是1 =3 文艺书的对应分率就是 1 =43496（1+1 +1 ）3=968=12（本）科技书的本数12 =36（本） 故事书的本数 12 =48（本）文艺书的本数31 4答：(略 )方法点评： 在分数应用题中，如果遇到单位 “1”不同时，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。随堂练习二： 某校四、五、六年级共有学生 580 人，四年级的学生人数是五年级的 ，五年级的98人数是六年级的 。三个年级各有多少人？43拓展训练1、小明和小虎都是小集邮迷，
32、他们两人共有邮票 285 张，现在小明拿出自已邮票的 ，现在小虎拿出 15 张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。5两人原来有多少张邮票？2、某厂男职工比全厂职工总数的 还多 60 人，女职工的人数是男职工的 。这个53 31厂公有制共多少人？3、东方小学六年级有 23 人、五年级有 18 人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人数相等，五年级未获奖人数比六年级少 。两个年级共有多少人获奖？314、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的 ，乙做零件的个数21是甲丙的 ，丙做了 450 个，这批零件有多少个？315、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了 5 天
33、后，还剩下需装彩灯数量的 ，这时若再增加 200 只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准9备装彩灯多少只?17第 6 讲 分数应用题（二）例一： 人民商场运来空调和冰箱共 240 台，其中空调占 。后来有几台空调因52质量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的 。退回空调多少台？135分析与解 根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以先求出冰箱的台数;240(1- )52=240 3=144(台)根据“这时空调台数占总数的 ”，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位“1” ，35冰箱占总数的（1- ） ，这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数：135144（1- ）=
34、234（台）最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数；240-234=6（台）答：退回空调 6 台。随堂练习一： 幼儿班图书角共有连环画与漫画书 216 本，其中连环画占 。后来又卖来一些连环31画，这时连环画占图书总数的 。后来又买来多少本连环画？5923例 2：由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的 。如果从乙车间调 1275人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的 。原来甲乙两个车间各有人多少人？4分析与解 根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的 ，从乙车间调 12 人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的 ，说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙5两个车间的
35、总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位“1” ，则原来甲车间人数占两个车间总数的 ，同时把甲车间的人数是乙车间的 转化成现在甲754车间的人数占两个车间总数的 。根据题目中所说“从乙车间调 12 人到甲车间” ，5418可知甲车间现在的人数比原来的人数多 12 人，它的对应分率应是（ - ）就可547以求出辆车间的总人数，再求两车间的人数就简单了。12（ - ）547=12 361=432（人）两车间人数432 =180（人）甲车间人数75432-180=252（人）乙车间人数答：原来甲车间人数有 180 人，乙车间的人数有 252 人。方法点评; 在一些分数应用题中，题目中会
36、出现一些变化量，造成单位“1”的量无法确定，未结题增加了难度，这种情况下，我们要善于抓住其中的“不变量” ，抓住“不变量”进行分析。通常分两种情况：（1）先求出不变量，然后利用这个不变量作为“桥梁”进行解答；（2） 、一步变量作为单位“1” ，把题目得分率全部转化成以不变量作单位1”然后在寻找对应关系进行解答。随堂练习二： 修一条水渠，已修的米数是剩下的 ，如果再修 50 米，那么已修的米数就是剩下2的 。这条渠去长多少米？43拓展训练1、水果店运来苹果和梨共 360 箱，其中苹果占 。后来由有运来几箱 苹果，这127时苹果占两种水果总箱数的 。又运来苹果有多少箱？532、师徒两人合作 280
37、 个零件，徒弟做了自己人物的 ，师傅做了自己任务的 ，4354这时还剩下 64 个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件？3、甲、乙两校共有 60 人参加小学生数学竞赛，甲校参加人数的 比乙校参加人数31的 多 6 人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛?414、某次会议，昨天参加会议的代表共 2100 人，今天男代表减少 ，女代表增加10了 。今天共 2016 人出席会议，那么昨天参加会议的男代表共有多少人？205、兄弟两人各有邮票若干张，现在爸爸又买回 18 张邮票。如果全部给哥哥，那么哥哥的邮票张数是弟弟的 2 倍；如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥的 。两人87原来各有多少张邮票？19
38、第 7 讲 列方程解分数应用题专题简析：用算术方法解应用题，虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应用题，用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。用列方程的解题方法，往往能获得事半功倍的效果，这样取得成功的机会会更多一些。例 1：某工厂有职工 980 人，其中女职工的人数比男职工的 多 28 人。这个工厂52的男、女职工各多少人？分析与解 这题中有两个等量关系，男职工人数+女职工人数=980 人，女职工人数=男职工人数 +28 人。在解答分数应用题时,通
39、常设单位“1”的量为 x，这里可以52设男职工人数为 x，那么女职工人数就可以根据第二个数量关系表示为（ x+28）,再分52别把男职工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。解：设这个工厂有男职工 x 人，则女职工有（ x+28）人。 52X+ x+28=980521 X+28=980X=680980680=300 （人）答：这个工厂有男职工 680 人，女职工 300 人。方法点评：在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点：（1）一般设单位“1”的量为 X；（2）找准等量关系列方程。随堂练习一：师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟做的零件个数比师父的 少 10 个。已知师43
40、傅比徒弟多做了 50 个零件，师徒两人个做了多少个零件? 例 2：商场运来空调与彩电共 152 台，卖出彩电的 和 5 台空调空调后，剩下的1空调与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台？分析与解 由于题目中彩电台数是单位“1”那么可以设彩电台数为 x，则空调台20数为（152x）台。根据“剩下的空调与彩电台数正好相等” ，我们可以列方程来解答解：设商场运来彩电 x 台，则空调台数为（152x）台。X x=152x51=147x0=1472X=7715277=55(台)答：商场运来彩电 77 台，空调 75 台。随堂练习二： 甲乙两桶油共重 44 千克，甲桶用去它的 ，乙桶又倒入 10
41、千克后，先在两桶油的51重量相等，甲桶原有油多少千克？拓展训练1、两筐橘子，甲筐比乙筐多 21 千克，若从甲筐取出 18 千克橘子给乙筐，则甲筐重量是乙筐的 。乙筐原有橘子多少筐？742、甲乙两人共储蓄 1000 元，甲取出 240 元乙又存入 80 元，这时乙储蓄的钱数正好是甲的 。原来乙储蓄了多少元钱？33、学校田径队中，女队员人数的 等于男队员人数的 。已知男队员比女队员多31516 人，田径队中男、女队员各有多少人？4、六（1）班有学生 50 人，当男生的 和 5 个女生离开后，剩下的男、女生人数相等，那么这个班原有多少个男生？5、某校上学期男、女生共有 500 人，本学期有 的男生转
42、学，而女生又增加了 。8161这学期共有学生 490 人。求这学期男、女生的人数。21第 8 讲 百分数应用题百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位“1”的大小。因此，解答白分数应用题也需要首先弄清谁是单位“1” ，这同样是解决百分数应用题的关键。例 1：六（1）班男生人数比女生人数多 25，女生数比男生人数少百分之几？分析与解 男生比女生多 25%，就是男生比女生多女生的 25%。把女生看做单位“1”男生就是女生的 1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几，就是求女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用女生比男生少的人数
43、除以男生人数。25%（1+25%）=20% 方法点评：解决求一个数是另一个数百分之几的应用题时，关键是要区分清谁是谁的百分之几。随堂练习一： 果园里的苹果树的棵树比桃树多 ，桃树比苹果树的棵数少百分之几？32例 2： 某商店同时卖出两件商品，售价都是 60 元，但其中一件赚 20%，另一件亏本 20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本？分析与解 要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了 20%，是 60 元，是把这件商品的原价看作单位“1” ，60元的对应分率是（1+20% ）可以求出原价。另一件商品亏本 20%以后，是 60 元，是把这件商
44、品的原价看作单位“1” ，60 元的对应分率是（120%）可以求出原价。所以：60（1+20%）=50（元）60（120%）=75（元）75+50 60+60答：这个商店卖出这两件商品是亏本了。随堂练习二： 某商店同时卖出两件商品，售价都是 100 元，但其中一件赚 25% ，另一件亏本 25%。这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了？拓展训练1、商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种 电脑的价格提高 20%，乙种电脑的价格降低 10%，那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几？2、国家规定，个人存款应缴 20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了 1
45、8 元的利息税，已知银行一年定期存储的年历率为 2.25%。那么，张叔叔一年22前存入银行多少钱?3、商场购进一件商品，加上 15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定价的 20%出售。结果亏了 200 元，商场购进这件件商品花了多少钱？4、某商店进了一批茶叶，分一级品和二级品，二级品的进价比一极品便宜 20%。按优质优价的原则，一级品按 20%的利润定价，二级品按 15%的利润定价，一级品茶叶比二极品茶叶每 500 克贵 70 元。一级品茶叶的进价是每 500 克多少元？5、甲公司有 600 人，其中技术人员占 5%；乙公司有 400 人，技术人员占 20%。为了支援甲公司进行技术革
46、新，现决定从乙公司派遣若干名技术员到甲公司传授技术，同时甲公司派出同样的人数到乙公司学习技术。巧的是，这样调遣以后，现在两个公司技术人员所占百分比相同。乙公司派遣了多少名技术人员到甲公司传授技术/002023第 9 讲 单位“1”的妙用专题简析：在分数、百分数应用题中，常常碰到“1” ，例如：一本书读了 ，又读了余下的 ，3131还剩下 300 页，问这本书共有多少页？像这样的题目出现了不同的两个单位“1” ，对于同学们来说非常熟悉的，但“1”在应用题中的作用，可能同学们还不太了解，在一些复杂的分数应用题中，往往出现大小不同的单位的几个“1” ，由于单位“1”的大小不同，所代表的几分之几的数量也就不同，在解题时要特别注意，下面请同学看看单位“1”在各种题目中的妙用。例 1 一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的一片比小的一片大一倍，
