1、1“空间向量”双基过关检测一、选择题1在空间直角坐标系中，点 P(m,0,0)到点 P1(4,1,2)的距离为 ，则 m的值为( )30A9 或 1 B9 或1C5 或5 D2 或 3解析：选 B 由题意| PP1| ，30即 ， m 4 2 1 2 2 2 30( m4) 225，解得 m9 或 m1.故选 B.2已知 a( 1,0,2)， b(6,2 1,2 )，若 a b，则 与 的值可以是( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2解析：选 A a b， b ka，即(6,2 1,2 ) k( 1,0,2)，Error! 解得Error!或Error!3已知 a(2,1，3)
2、， b(1,2,3)， c(7,6， )，若 a， b， c三向量共面，则 ( )A9 B9C3 D3解析：选 B 由题意知 c xa yb，即(7,6， ) x(2,1，3) y(1,2,3)，Error! 解得 9.4(2017揭阳期末)已知 a(2,3，4)， b(4，3，2)， b x2 a，则12x( )A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：选 B 由 b x2 a，得 x4 a2 b(8,12，16)(8，6，4)12(0,6，20)5在空间四边形 ABCD中， ( )AB CD AC DB AD BC A1 B0C1 D不确定解析：选 B 如
3、图，令 a，AB 2 b， c，AC AD 则 AB CD AC DB AD BC a(c b) b(a c) c(b a) ac ab ba bc cb ca0.6.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M为 A1C1与B1D1的交点若 a， b， c，则下列向量中与AB AD AA1 相等的向量是( )BM A a b c B. a b c12 12 12 12C a b c D. a b c12 12 12 12解析：选 A ( ) c (b a) a b c.BM BB1 B1M AA1 12 AD AB 12 12 127.如图，在大小为 45的二面角 A EFD中
4、，四边形ABFE， CDEF都是边长为 1的正方形，则 B， D两点间的距离是( )A. B.3 2C1 D. 3 2解析：选 D ，BD BF FE ED | |2| |2| |2| |22 2 2 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED 111 3 ，故| | .2 2 BD 3 28(2017东营质检)已知 A(1,0,0)， B(0，1,1)， 与 的夹角为OA OB OB 120，则 的值为( )A B.66 66C D66 6解析：选 C 因为 (1， ， )，所以 cos 120OA OB ，得 .经检验 不合题意，舍去， . 1 2 22 12 66 66
5、66二、填空题39已知点 A(1,2,1)， B(1,3,4)， D(1,1,1)，若 2 ，则| |的值是AP PB PD _解析：设 P(x， y， z)， ( x1， y2， z1)AP (1 x,3 y,4 z)，由 2 得点 P坐标为 ，PB AP PB ( 13， 83， 3)又 D(1,1,1)，| | .PD 773答案：77310.如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， O为 AC的中点用 ，AB ， 表示 ，则 _.AD AA1 OC1 OC1 解析： ( )，OC 12AC 12 AB AD ( ) .OC1 OC OC1 12 AB AD AA1 12AB
6、12AD AA1 答案： 12AB 12AD AA1 11.如图所示，已知空间四边形 OABC， OB OC，且 AOB AOC，则 cos ， 的值为_3 OA BC 解析：设 a， b， c，OA OB OC 由已知条件，得 a， b a， c ，且| b| c|，3 a(c b) ac ab |a|c| |a|b|0，OA BC 12 12cos ， 0.OA BC 答案：012(2017北京西城模拟)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，若动点 P在线段 BD1上运动，则 的取值范围是DC AP _解析：由题意，设 ，其中 0,1，BP BD1 ( ) 2 2 DC
7、AP AB AB AB BD1 AB AB BD1 AB 4( ) (1 ) 21 0,1因此 的取值范围是AB AD1 AB AB DC AP 0,1答案：0,1三、解答题13已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，AA12， A1AB A1AD120.(1)求线段 AC1的长；(2)求异面直线 AC1与 A1D所成角的余弦值；(3)求证： AA1 BD.解：(1)如图，设 a， b， c，AB AD AA1 则| a| b|1，| c|2， ab0，ca cb21cos 1201. AC1 AC CC1 AB AD AA1 a b c，| | a b
8、 c|AC1 a b c 2 |a|2 |b|2 |c|2 2 ab bc ca .12 12 22 2 0 1 1 2线段 AC1的长为 .2(2)设异面直线 AC1与 A1D所成的角为 .则 cos |cos ， | .AC1 A1D a b c， b c，AC1 A1D ( a b c)(b c) ab ac b2 c2011 22 22，AC1 A1D | | A1D b c 2 b2 2bc c2 .12 2 1 22 7cos .| 2|27 147故异面直线 AC1与 A1D所成角的余弦值为 .147(3)证明： c， b a，AA1 BD 5 c(b a) cb ca(1)(1
9、)0.AA1 BD ， AA1 BD. AA1 BD 14.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中， D， E分别是 AB， BB1的中点，AA1 AC CB AB.22(1)证明： BC1平面 A1CD；(2)求二面角 DA1CE的正弦值解：(1)证明：连接 AC1交 A1C于点 F，则 F为 AC1的中点又 D是 AB的中点，连接 DF，则 BC1 DF.因为 DF平面 A1CD， BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 AC CB AB，得 AC BC.22以 C为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的CA 空间直角坐标系 Cxyz.设 CA2，则 D(1,1,0)， E(0,2,1)， A1(2,0,2)， (1,1,0)，CD (0,2,1)， (2,0,2)CE CA1 设 n( x1， y1， z1)是平面 A1CD的法向量，则 即Error!可取 n(1，1，1)同理，设 m( x2， y2， z2)是平面 A1CE的法向量，则 即Error!可取 m(2,1，2)从而 cos n， m ，nm|n|m| 2 1 233 33故 sin n， m .63二面角 DA1CE的正弦值为 .63
