1、0直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点 P0( )，倾斜角为 的直线 的参数方程是,yxl（t 为参数） t 的几何意义：t 表示有向线段 的数量，P( ) sincoty P0yx,P0P=t P 0P =t 为直线上任意一点.(2)若 P1、P 2 是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t 2，则 P1P2=t2t 1 P 1P2= t 2t 1(3) 若 P1、 P2、P 3 是
2、直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t 2、t 3则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3 ,P 0P3=(4)若 P0 为 P1P2 的中点，则 t1t 20，t 1t20 时，点 P 在点 P0 的上方；当 t0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0 时，点 P 在点 P0 的右侧；当 t0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0,设这个二次方程的两个根为 t1、t 2,由韦达定理得 t1t 2 , t1t2 ，由 M 为线段 AB 的中8545点，根据 t 的几何意义，得| PM| 6中点 M 所对应的参数为 t M= ,将此值代入直线的标准参数方程*，1M 点的坐标为 4362yx
3、即 M（ ， ）143ABMP (2,0) xy06(3) |AB|t 2t 1 22114)(tt7385点拨：利用直线 的标准参数方程中参数 t 的几何意义，在解决诸如直线 上l l两点间的距离、直线 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.l例 7：已知直线 经过点 P（1,3 ）,倾斜角为 ，l 3(1)求直线 与直线 ： 的交点 Q 与 P 点的距离| PQ|；2xy(2)求直线 和圆 16 的两个交点 A，B 与 P 点的距离之积.l2解：(1)直线 经过点 P（1,3 ）,倾斜角为 ,直线 的标准参数方3l程为 ，即 （t 为参数）代入
4、直线 ：sin3co1tyxyx21得 整理，解得 t=4+22 03)3()( t 3t=4+2 即为直线 与直线 的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几ll何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2 .(2) 把直线 的标准参数方程为 （t 为参数）代入圆的方程lyx23116，得 ,整理得：t 28t+12=0，2yx 6)()21(tt=8 2-4120,设此二次方程的两个根为 t1、t 2 则 t1t2=12根据参数 t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆 16 的两个交点yxA, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| P
5、A| PB|= |t1 t2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例 8：设抛物线过两点 A(1,6)和 B(1,2)，对称轴与 轴平行，开口向右，x直线 y=2 +7 被抛物线截得的线段长是 4 ，求抛物线方程.x 10解：由题意，得抛物线的对称轴方程为 y=2.设抛物线顶点坐标为（ ，2）a方程为(y2) 2=2P(x ) (P0) a点 B(1,2) 在抛物线上，(22) 2=2P(1 )aP=8P 代入 得(y2) 2=2P 2P+16 ax将直
6、线方程 y=2 +7 化为标准的参数方程 tg =2, 为锐角，x7cos = , sin = 得 （t 为参数） 512yx521直线与抛物线相交于 A，B, 将代入并化简得：0 ，由 = 0,可设方程的两根为752142tPt 3)6(42Pt1、t 2，又|AB|=t 2t 1 42211)(tt0=(4 )2 化简，得(6P) 2=100354)(0 P=16 或 P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2) 2=32 48x点拨：(1)（对称性） 由两点 A(1,6)和 B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB 的值求得 P）.(2)
7、利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例 9：已知椭圆 ，AB 是通过左焦点 F1 的弦，F 2 为右焦点，134)(2yx求| F 2A| F2B|的最大值.解：由椭圆方程知 2，b= ,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的a参数方程为 （t 为参数） 代入椭圆方程整理得sincoyx（3sin 2 ） t26 t cos 9=0 ，=36cos 2 36（3sin 2 ）0此方程的解为 t1、t 2，分别为 A、B 两点对应的参数，由韦达定理 t1t 2= t1 t22sin
8、3co62sin9根据参数 t 的几何意义，t 1、t 2 分别为过点 F1 的直线和椭圆的两个交点A, B 所对应的参数值，| F 1A|t 1| |F1B|t 2|AB|=t 2t 1 224)(tsi| F1A|F1B|t 1|t2|=|t1t2|由椭圆的第一定义| F 1A| F 2A|2 4， | F 1B|+| F2B|=2 4aa| F2A| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|F1B|=16-4t 2t 1+|t 1t2|=16-4 +2sin32si9=16- sin398当 sin2 1 时，| F 2A| F2B|有最大值42
9、5点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点 F1(0,0),F2(2,0),显然 F1坐标简单，因此选择过 F1的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A| F2B| 转化为| F1A|F1B|.例 10：（黄冈习题册：P155,第 23 题）（2）除书中解法外，补充解法二.解法二：设过点 P( ,0)的直线 的参数方程为 (t 为参数alsincotyax，且 ) (1),0(2直线 与圆 5 相交于 B,C 将直线 的方程(1)代入圆的方程l2yxl得 t2+2 t cos + 250，=(2 cos )2-4( 25)0.aa即 2 sin2
10、+50 (2)tBt C=2 cos tB tC= 25直线 与抛物线 y2= +7 相交于 A,D 将直线 的方程(1)代入抛物线的lxl方程得(sin 2 )t2t cos 70 ， = cos 2 -4(sin2 )(- 7)0a即 1+(4 +27) sin2 0 (3)atAt D= tB tC= 2sincosina又|AB|=|CD| 线段 AD 与线段 BC 的中点重合，即tAt D=tBt C = -2 cos 即-2 = ， icoa2sin1 ,且 00 时，l l与 C 相交有两个交点；l2、当 0 时，方程 =0 的两个根分别记为 t1、t 2，把 t1、t 2 分别
11、代入 的)(tf l参数方程即可求的 与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标.l3、定点 P0( )是弦 AB 中点 t1+t2=0,yx4、 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|t 1t 2|；P 0AP0B= t1t2；弦 AB 中点 Ml点对应的参数为 ；| P 0M |=21t基础知识测试 2：7、 直线 (t 为参数 )与椭圆 交于 A、B 两点，则|AB|等于( ) t yx 82yxA 2 B C 2 D 34368、直线 （t 为参数）与二次曲线 A、B 两点，则|AB|等于( ) sinco0tyxA |t1+t2| B |t1|t 2| C |t1t 2| D 21t9、 直线 (t 为参数 )与圆 有两个交点 A、B，若 P 点的坐t2 yxyx标为(2,-1),则|PA|PB|= 10、过点 P(6, )的直线 (t 为参数)与抛物线 y2=2 相交于 A、B 两点，7t 726yx则点 P 到 A,B 距离之积为 . 参数方程 1 答案1、D 2、D 3、D 4、A 5、D6、 （1） （2） （3） 或actgyx24tyxsin2coyxsin2coyx7、D 8、 抛物线 x2 （y-2）上包含1x1 的一段弧1直线的参数方程答案101、 2、D 3、C 4、 5、B 6、4 7、 Btyx73612t38、 C 9、4 10、 45
