1、八年级数学上册人教版,第13章 轴对称全章课件,13.1 轴对称,13.1.1 轴对称,一、学习目标,1、理解轴对称图形和两个图形关于某 直线对称的概念；2、了解轴对称图形的对称轴、对应点.3、了解线段垂直平分线的定义；掌握 轴对称图形的性质.,二、新课引入,二、新课引入,1、观察以上图形，看看它们有什么共同 特点？跟同学们交流一下. 答：2、在生活中,你还能找到哪些对称的例子? 答：,将上图中的每一个图形沿某条直线折叠,直线两旁的部分能完全重合.,三、研学教材,知识点一 轴对称图形,活动1,把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗
2、花，你能发现它们有什么共同的特点吗？,结论 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 _ _，这个图形就叫做轴对称图形，_就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.,互相重合,这条直线,三、研学教材,知识点一 轴对称图形,练一练,1、如图所示的每个图形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴.,是,是,是,不是,是,三、研学教材,练一练,2、下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗?如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对应点.,是,不是,是,三、研学教材,知识点二 轴对称 活动2：下面的每对图形有什么共同特点？,归纳 上图中的每一对图形沿着虚线折叠， 左边的图
3、形能与右边的图形 _ .,重合,三、研学教材,知识点二 轴对称,结论 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够_，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后_是对应点，叫做对称点.,与另一个图形重合,重合的点,三、研学教材,练一练,1、请你标出下图中的点A,B,C的对称点,三、研学教材,2、如图，在每个小正方形的边长均为l个单位长度的方格纸中，有ABC和直线MN，点A、B、C均在小正方形的顶点上在图中找一点D（D点在小正方形的顶点上)，使ABC与DBC关于直线MN对称；,D,三、研学教材,知识点三 轴对称图形和轴对称的联系,思考：（1）成轴对称的两个图形全等吗？（2
4、）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？（3）这两个图形对称吗？,结论：（1）成轴对称的两个图形 .（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴 分成两个图形，这两个图形 .（3）这两个图形 .,全等,全等,对称,三、研学教材,知识点四 线段的垂直平分线,1、观察下图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段A A，B B,C C与直线MN有什么关系？,答：AP PA,MPA=MPA= 点B与B，点C与C也有类似情况.因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的 _ ，并且 于这条线段.,=,中点,垂直,三、研学教材,知识点四 线段的垂直平分线
5、,定义：经过线段 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线.,中点,垂直,四、归纳小结,1、如果一个平面图形沿一条直线 ，直线 两旁的部分能够 _ 这个图形就 叫做 这条直线就是它的 . 2、把一个图形沿着某一条直线 ，如 果它能够与另一个图形 _ ，那么就说 这两个图形 _， 这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 对应点，叫做 _ . 3、成轴对称的两个图形和轴对称图形沿 对称轴分成两个图形都 _.,折叠,互相重合,轴对称图形,对称轴,折叠,重合,关于这条直线（成轴）对称,对称轴,对称点,全等,八年级数学上册人教版,第13章 轴对称,13.1 轴对称,13.1.2 线段垂直平分线的性质
6、,一、学习目标,1、探究线段垂直平分线的性质并学会 证明；,2、学会利用尺规作直线外一点的垂线.,二、新课引入,1、如图, MN是线段AB的垂直平分线 _ _ 且 = _ _ _ = _ _= _ _,90,BCM,AC,AB,BC,MN,ACM,二、新课引入,2、如图，垂直平分 ；垂直平分 ；垂直平分 .,BB,AA,CC,3、画一个等腰三角形，概括一下等腰三角形 的定义是什么？,如右图：有两条边相等的 三角形叫做等腰三角形。,三、研学教材,知识点一 线段的垂直平分线的性质,认真阅读课本第61页至第62页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.,1、如图，直线垂直平分线段AB，P1、P2
7、、P3是上的点，分别量一量点P1、P2、P3，到点A与点B的距离，你有什么发现？,三、研学教材,知识点一 线段的垂直平分线的性质,结论 点P1、P2、P3，到点A的距离与它们 到点B的距离分别 .即 AP1=BP1，AP2=BP2，,2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 两端点的距离 _.,几何语言表示： PCAB且AC=CB， PA_PB,相等,相等,=,三、研学教材,知识点一 线段的垂直平分线的性质,3、证明线段垂直平分线的性质.,如图，直线AB， 垂足为C，AC=CB, 点P在上. 求证：PA=PB.,三、研学教材,知识点一 线段的垂直平分线的性质,证明：AB，垂足
8、为C _ = _ =_. 在 和 中, ( ). .,ACP=BCP,AC = BC,ACP,BCP,90,ACP,BCP,ACP,BCP,PC = PC,SAS,PA = PB,三、研学教材,1、如图， ADBC， BD=DC，点C在AE的 垂直平分线上， 则AB AC CE， AB+BD DE。（填“”“”“”）.,=,=,=,练一练,三、研学教材,知识点二 线段的垂直平分线的性质的逆定理,1、线段垂直平分线的性质的逆定理与一条线段两个端点 ，在这条线段的 _ 上.,距离相等的点,垂直平分线,几何语言表示：PA=PB，PC_AB且AC_CB.,=,2、证明线段垂直平分线的性质的逆定理已知：
9、如图，PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上,三、研学教材,证明：过P作PCAB,垂足为C 在RtACP 和RtBCP中,知识点二 线段的垂直平分线的性质的逆定理, （ ） AC=BC PC是线段AB的垂直平分线 点P在线段AB的垂直平分线上.,PA = PB,PC = PC,公共边,RtACP,RtBCP,HL,三、研学教材,1、已知：如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段 BC的垂直平分线吗？,解：直线AM是线段BC的垂直平分线,AB=AC，MB=MC,根据线段垂直平分线的性质的逆定理可知直线AM是线段BC的垂直平分线,练一练,三、研学教材,2、如图，在ABC中，DE是AC的垂
10、直平分线，AE3cm，ABD的周长为13cm，求ABC的周长.,练一练,解：DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,AD=CD,AE=CE=3cm,又ABD的周长为13cm,AB+BD+AD=13cm,AB+BD+CD=13cm,ABC的周长为（AB+BD+DC）+AE+CE=13+3+3=19cm,三、研学教材,知识点三 （尺规作图）作已知直线的垂线,例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的 垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.,三、研学教材,知识点三 （尺规作图）作已知直线的垂线,作法：（1）任意取一点K，使 点K和点C在AB的 _ . （2）以点C
11、为圆心，CK长为 _ _ ，交AB于点D和E. （3）分别以点 和点 为圆心， _ 的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.,.K,异侧,半径作弧,D,E,大于线段DE长度一半,F,D,E,三、研学教材,知识点三 （尺规作图）作已知直线的垂线,为什么直线CF就是所求作的垂线，应用了什么性质？,答：因为与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，应用了线段垂直平分线的性质的逆定理。,四、归纳小结,1、线段垂直平分线上的点与这条线段 _的距离 .2、与一条线段两个端点 ，在这条线段的 .,相等,距离相等的点,垂直平分线上,两个端点,八年级数学上册人教版,第
12、13章 轴对称,13.2 画轴对称图形,13.2.1 作轴对称图形,1.会正确画出一个图形关于一条直线对称的轴对称图形。 2.会用轴对称解决实际问题。,学习目标：,（1）这些图案有什么共同特点？（2）能否根据其中的一部分画出整个图案？,自学反馈：,在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如 何由此得到相应的右脚印？,自学反馈：,请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸 纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？,由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形,自学反馈：,（1）画出的轴对称图形的形状、大小和原图形有什么 关系？,（2）画出的轴对称图形的点与原图形上的点有什么关 系？,（3）对
13、应点所连线段与对称轴有什么关系？,一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之 间有什么关系？,自学反馈：,由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称 的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分,自学反馈：,画轴对称图形,如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关 于这条直线对称的图形呢？,如下图，已知点A和直线L，试画出点A关于直线L的对称点A.,A,画轴对称图形,请一位同学说说画法.,A,O,A,如下图，已知点A和直线L，试画出点A关于直线L的对称点A.,画轴对称图形,问：画完之后，你
14、可以通过什么方法来验一下，你画的点A是否是A点关于直线的对称点.,画法： （1）过点A画直线l的垂线，与l交于点O；（2） 在垂线上取OAOA；从而得到点A的对称点A,折叠,A,O,A,你能画出三角形ABC关于直线L的对称图形吗？,画法：1、画出点A、点B和C点关于直线L的对称点A1 、 B1和C1.,.,A1,l,A,B,C,C1,B1,2、连结A1 B1、 B1 C1 、A1 C1.,画轴对称图形,画轴对称图形,如何验证画出的图形与ABC 关于直线l 对称？,先找（ ）,然后作出其（ ）,最后顺次连结（ ）构成轴对称图形 .,特殊点,对称点,对称点,画轴对称图形归纳：,P68：练习 1,检
15、测题：,一.画轴对称图形思路：把整个图形转化为多条线段，再将每条线段转化为两个端点.,二.画已知图形关于直线的轴对称图形的方法：（1）先标出特殊点;（2）逐个画出特殊点的对称点;（3）连结这些对称点.,三.注意：图形用实线，其他的线可以用虚线.,课堂小结,用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、 角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分 不能重合,补充习题,在图中分别画出点A关于两条直线的对称点 A和A.,补充习题,L,画出所示图形关于直线L的对称图形.,补充习题,如图是由三个小正方形组成的图形，请你再图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.,补充习题,参考答案,八年级数学上
16、册人教版,第13章 轴对称,13.2 画轴对称图形,13.2.2 用坐标表示轴对称,1、掌握关于x，y 轴对称的点的坐标特征； 2、掌握在平面直角坐标系中作已知图形的轴对称图形.,一、学习目标,如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗?,二、新课引入,解：西直门的坐标为（-3.5,4）.,知识点一 关于x，y 轴对称的点的坐标,在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，对称点的坐标有怎样的规律？,三、研学
17、教材, A (2,3),B(-1,2) ,C(-6,-5) , D( ,1), E(4,0), A (2,-3),B (-1,-2) ,C (-6,5) , D ( ,-1),E ( -4,0) ,E (4,0),A (-2,-3) , B (1,2), C (6,-5),D ( - ,1) ,三、研学教材,归纳 点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标是（ ， ）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（ ， ）.,x,-y,-x,y,三、研学教材,练一练,1、点A（2，-2）关于x轴对称的点的坐标是（ ，_ ）. 2、点A（-4，3）关于y 轴对称点是点B，则B点坐标是（ ， ）. 3、点P（
18、2，-3）关于x轴对称的点P的坐标是_，关于y轴对称的点P的坐标是_.,2,2,4,3,P (2，3),P (-2，-3),三、研学教材,4、点P1(-2a,a-1)在x轴上，则P1的坐标是 ，点P1关于y轴的对称点P2的坐标为 . 5、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：A（-2，6）,B（1，-2）， C（-1，3）,D（-4,-2）,E（1，0）. 解:关于x轴对称的点的坐标分别是:关于y轴对称的点的坐标分别是：,P 1(-2,0),P 2(2,0),B (1，2)，C (-1，-3)，D (-4,2)，E (1，0),A (-2，-6),A (2，6),B (-1，-2)，C
19、 (1，3)，D (4,-2)，E (-1，0),三、研学教材,知识点二 作已知图形的轴对称图形,例2 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为 A（-5,1）,B（-2,1），C（-2,5）,D（-5,4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x 轴对称的图形.,三、研学教材,解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是( , )，因此点A,B,C,D关于y轴对称的点分别为A( , ),B( , ), C( , ),D( , )，依次连接AB,BC,CD，DA，得到与四边形ABCD关于y 轴对称的四边形ABCD.,-x,y,5,1,2,1,2,5,5,4,A ,B ,C ,D ,三、研学教材,类似地，
20、请你在图作出与四边形ABCD关于x轴对称的四边形ABCD，点A、B、C、D的坐标分别是：_.,A ,B ,C ,D ,三、研学教材,解：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是( , )，因此点A,B,C,D关于x轴对称的点分别为A ( , ),B ( , ), C ( , ),D ( , )，依次连接AB,BC,CD，DA，得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形ABCD.,x,-y,-5,-1,-2,-1,-2,-5,-5,-4,A ,B ,C ,D ,A ,D ,B ,C ,三、研学教材,练一练,1、如图，ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标.,解：根据题意点B与点A
21、关于x轴对称，因此点B的坐标为（1，2）.,(1,2),三、研学教材,练一练,2、如图利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与ABC关于x轴和y轴对称的图形.,解：如图，A B C 、 A B C 分别是ABC关于x轴、y轴对称的图形.,A (-4,-1) , C (-3,-2), B (-1,1), B (1,-1), A (4,1), C (3,2),三、研学教材,1、点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标是（ ， ）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（ ，_）. 2、求作关于坐标轴对称的图形，先求出已知图形中的一些 （如多边形的顶点）的对称点的 ，然后描出并连接这些点，就可以得
22、到这个图形关于坐标轴对称的图形.,x,-y,-x,y,特殊点,坐标,四、归纳小结,八年级数学上册人教版,第13章 轴对称,13.3 等腰三角形,13.3.1 等腰三角形,A,B,C,有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的ABC。,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,剪一剪：,问题1：ABC 有什么特点？,问题2：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,折一折：,折痕所在的直线是它的对称轴
23、。,问题3：你还能发现剪出的等腰三角形具有哪些特征吗？继续猜想等腰三角形ABC有哪些性质.,B=C,BADCAD,BDACDA,BC,猜一猜：,（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。,语言叙述：,问题4：你会证明以上猜想吗？,（1）等腰三角形的两个底角相等。,等腰三角形的两个底角相等,已知：ABC中，AB=AC.,求证：B=C.,问题5：如何证明两个角相等？,如何构造两个全等的三角形？,你还有其他证明方法吗？,证一证：,性质1:,这个命题的条件和结论是什么? 用数学符号如何表达条件和结论?,(简写成“等边对等角”).,D,几何语言：, AC=AB（ 已知） B=C （
24、等边对等角）,注意：在一个三角形中,等边对等角.,性质1的作用？,（1）已知等腰三角形的一个底角是800，则其余两角为 . （2）已知等腰三角形的一个角是800，则其余两角为 . （3）已知等腰三角形的一个角是1000，则其余两角为 .,800 ,200,800 ,200,或500 ,500,400 ,400,在等腰三角形中，只要知道任一个角，就可以求出另外两个角！,顶角+底角 2 =180,用一用：,B,C,A,分类讨论,已知：ABC 中，AB=AC, AD是BAC.,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.,求证：AD是ABC的高和中线.,证一证：,性质：,（简写成“三线
25、合一” ）,2,1,4,3,1、等腰三角形顶角的平分线,平分底边并且垂直于底边.,2、等腰三角形底边上的中线,平分顶角并且垂直于底边.,3、等腰三角形底边上的高,平分顶角并且平分底边.,性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合. （简写成“三线合一” ）, AB=AC， ADBC， = ， = .,(2) AB=AC， BD=CD， ， = .,(3) AB=AC， 1= 2， ， = .,1,2,2,BD,CD,AD,BC,BD,1,BC,AD,CD,几何语言：,2,1,“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。,性质2的作用？,知一线得二线,填一
26、填：,等腰三角形,问题6：“三线合一”对于所有的三角形都适用吗？,想一想：,例1 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,1.图中有哪几个等腰三角形？,A,B,C,D,ABC ABD BDC,2.有哪些相等的角？,用一用：,方程思想,代数的方法,例2：已知:如图，点B,D,E,C在同一直线上，AB=AC ,AD=AE. 求证:BD=CE.,A,E,D,C,B,F,方法：求有关等腰三角形的问题，作顶角平分线、底边中线，底边的高是常用的辅助线,议一议：,等腰三角形 的主要特征,从角看-,从边看-,从“三线”看-,从整体看-,分类思想 方程思想,两边相
27、等,两个底角相等,顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 （三线合一）,轴对称图形,理一理,等腰三角形常用的辅助线 顶角平分线、底边中线，底边的高,1.知识方面,2.方法方面,A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置,分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！,8个,这样分类就不会漏啦！,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,找一找：,如图，在ABC中，ACBC , ACB=90,D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，BD是ABC的角平分线求证：且AE= BD ,攀一攀：,F,八年
28、级数学上册人教版,第13章 轴对称,13.3 等腰三角形,13.3.2 等边三角形1,观察下列图片，你有 什么印象？,你发现了什么？,这就是今天我们要学的,等边三角形,A,B,C,三边之间 ABACBC三角之间 ABC, 等边三角形的三个内角都相等,并且 每一个角都等于60.,等边三角形的性质, 等边三角形的三边都相等,思考题,？,一个三角形满足什么条件 就是等边三角形?, 三个角都相等的三角形是等边三角形., 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,想一想,课外活动小组在一次测量活动中,测得 APB60APBP200cm,他们 便得到了一个结论:池塘最长处不小 于200cm.他们的结论对吗
29、?,B,将两个含有板有30的三角尺如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到RtABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?,探究,ABC与ADC关于AC轴对称 ABAD ABD是等边三角形 又ACBDBCDC1/2AB,在直角三角形中,如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半.,A,在直角ABC中A30 AC2BC,下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB7.4m,A30立柱 BC 、 DE要多长?,A,B,解:DEAC, BCAC, A30 可得 2BCAB, 2DEADBC1/2 7.43.7m 又 AD1/2 AB DE1/
30、2 AD1/2 3.71.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.,要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果C90B30,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.,请你分一分,这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 ,将此图变成四个等边三角形.,提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.,考考你,小结,我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会.,八年级数学上册人教版,第13章 轴对称,13.3 等腰三角形,13.3.2 等边三角形2,(1).等边三角形的性质 1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 2.等边三
31、角形是轴对称图形，有三条对称轴 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.,1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.,(2) 等边三角形的判定:,知识回顾:,探究新知,含30 直角三角形性质探索： 在AB中，是底边上的高，探究与之间的数量有什么关系？ 分析： 是等边AB的高 AB关于直线对称,在一个直角三角形中，如果一个角是30 ，那么30 的角所对的直角边与斜边又有什么关系呢？如图右： ABC 中，A 30 ， B 0，问与有怎样的关系？由上述的探究便知：你还有其它的方法证吗？,定理：
32、在直角三角形中，如果一个锐角等30，那么，它所对的直角边等于斜边的一半。即在RtABC 中，如果B 0 A 30 那么 ,举例如下：1、在RtABC 中， 如果B 0 ， A 30 AB=4，求BC之长。解：由定理知识得BC=1/2AB而AB=4BC=2,2、在RtABC 中， 如果B 0 ， A 30 ，CD是高，（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB 解（1）由已知可求得BD= 30 于是在RtADC 与RtBDC 中用本定理得BC=2，AB=4（2）在RtADC 与RtBDC运用本定理BD=1/2BCBC=1/2AB BD=1/2BC=1/4AB
33、,3右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, A 30 ,立柱BC、DE要多长？ 解： DEAC，BCAC， A 30 由上述定理可得： BC=1/2AB，DE=1/2AD， BC=1/27.4=3.7(m) 又AD=1/2AB,= DE=1/2AD=1/23.7=1.85(m). 答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.,：1在RtABC 中， 0， B 2 ，问B 、A各是多少度？ 边AB与BC之间有什么关系？,练习,2如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱ADBC，且顶角BA 100 、BAD 、AD各是多少度
34、？,1 如图,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之长.,作业题:,2 如图,在ABC 中,AB=AC, A=120,AB的垂直平分线MN交BC于M,交AB于N,求证:CM=2BM,1 讲了一个含30的直角三角形的定理; 2 讲了三个例题; 3 做了两道练习题; 4 最后给同学们布置了两道作业题.,小结,八年级数学上册人教版,第13章 轴对称,13.4 课题学习 最短路径问题,本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转
35、化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题,学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题,课件说明,引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海
36、伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；,探索新知,
37、追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）,追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB的长度 相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,追问2 你能利用
38、轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC
39、 AC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BC,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即 AC +BC 最短,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,探索新知,追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,运用新知,练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径,运用新知,基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”,归纳小结,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？,
