1、第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案1第八章 热传导方程的傅里叶解第一节 热传导方程和扩散方程的建立8.1.1 热传导方程的建立推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用表示介质内空间坐标为的一点在 t时刻的温度。若沿 x方向有一定的温度差，(,)uxyzt在 x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直 x方向的单位面积的热量 q与温度的沿 x方向的空间变化率成正比，即（8-1.1）xuqkq称
2、为热流密度， k称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有， ，xuqkyuqkzuqk或 ku即热流密度矢量 与温度梯度 成正比。qu下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。第一步，定变量。研究介质 x位置处在 t时刻的温度 。(,)uxt第二步，取局部。在介质内部隔离出从 x到 一段微元长度，在 t到 时间t内温度的变化 。(,)(,ututxxx1Q2第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为 A，质量密度为 ，比热为 c，热传导第八章 热
3、传导方程的傅里叶解 小结及习题答案2系数为 k。第四步，找规律。隔离出来的微元长度在 t到 时间内吸收的热量为：t（8-1.2）QcmucAxu在 t到 时间内，同过 x位置处的横截面的热量为：t（8-1.3）1xxqtkt在 t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：t（8-1.4）2xxQAtuAt如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热(,)Fxt源在微元内产生的热量为：（8-1.5）(,)3FxtA第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。 123Q即 (,)xxcAxukAtkutFxtA,xxctt
4、得到： (,)txkFtuc令，kac(,)(,)xtftc则得到热传导方程为（8-1.6）(,)2txuft当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为（8-1.7）2txa第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案38.1.2 扩散方程的建立扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。8.1.3 热传导问题的定解条件与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布 (,)0ux其边界条件有三种：第一边界条件：已知细杆端点的温度 或者 。(,)0t(,)lt第二边界条件：已知通过端点的热量，
5、即已知端点的 。例如：当介质 x=0 端和外界xu绝热，此时 。(,)0xut第三边界条件：例如，已知端点 x=l 与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为 ，与其接触的介质的温度为 ，有牛顿实验定律知道：(,)ult ()1t在单位时间内由端点 x=l 流入介质的热量为 (,)1QhltA由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点 x=l 流出热量为：(,)kut由 ，就可以得出第三边界条件为Q(,)(,)()1xkulthltt其中，k 为热传导系数，h 为热交换系数。第二节 混合问题的傅里叶解8.2.1 混合问题的解对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次
6、边界条件下的混合问题。即： 20(,0)(82.1),(,. .3txltuatl第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案4令 )(),(tTxXtu将此代入泛定方程（8-2.1） ，得到两个常微分方程：（8-2.4）()()20Ttat（8-2.5）xX第二步，将 原来的边界条件转化为 的边界条件。(,)uxt ()将此 代入边界条件，得 的边界条件：XTx， （8-2.6）0)()(lX第三步,求解本征值问题通过讨论分析得出只有 时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此， 时解 0（8-2.5）式得.()cosinXxAxBx将
7、这个通解代入边界条件（8-2.6） ，就有即0;cosin0.ll;sin0.Al于是，即 .0sinll,321得到本征值：2ln,n相应的本征函数是： xlxXnsi)(第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :n)(tTn.2()()atlnTtCe得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案5.2()(,)sinatlnnuxtCexl,321得到方程的一般解为（8-2.7）2()1(,)sinatlnuxtexl第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，
8、将上面的一般解代入初始条)(xnC件，并利用本征函数 的正交性得到系数为sinml（8-2.8）02()sidlnxCl公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。第三节 初值问题的傅里叶解8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为 20(,0)(83.1). 2txtuatx解：令 )(),(tTXtu代入泛定方程（8-3.1） ，得到两个常微分方程：（8-3.3）()()20Ttat（8-3.4）xX解式（8-3.3）得到：（8-3.5）2()atTtCe由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将
9、趋于无穷大，这与物理事实0不符，因此， ，令 。 （8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，02记为（8-3.6）2()atTte解式（8-3.4）得到：第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案6()cos()sinXxAxBx于是得到热传导的一系列解为（8-3.7）2(,)()s()siatute 由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-,uxt3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-()3.7）对 从 到 进行积分。即（8-3.8）2(,)()cos()sindatuxteAxBx把初始条件代入上式
10、得到：（8-3.9）()()s()si其中傅里叶系数：（8-3.10）()()cos1d2A（8-3.11）inB把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：（8-3.12）21(,)()cos()d2atuxtex利用 ，得出2dxe 22 ()411cos()dxat atexe因此， 可以写为(,)uxt（8-3.12）2()41(,)d2xatuxteat8.3.2热传导傅里叶解的物理意义细杆上 位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为： 2()41(,)d2xatuxteat解（8-3.12）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。第八章 热传导方程
11、的傅里叶解 小结及习题答案7第四节 一端有界的热传导问题8.4.1 左端有界热传导定解问题的解 20(,0)(84.1) 2. .3txtuatt方法 1：直接用分离变量法求解。解：令 )(),(tTxXtu将此代入泛定方程（8-4.1） ，得到两个常微分方程：（8-4.4）()()20Ttat（8-4.5）xX将此代入边界条件（8-4.2） ，得到：（8-4.6）()0解式（8-4.4）得到：（8-4.7）2()atTtCe由公式（8-4.7）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实0不符，因此， ，令 。 （8-4.4）和（8-4.5）的解为与 有关系的一系列解，02记
12、为（8-4.8）2()atTte解式（8-4.5）得到： ()cos()sinXxAxBx把边界条件（8-4.6）代入上式得到： ，因此()0sixx于是得到热传导的一系列解为（8-4.9）2(,)()cos()sinatuxteAB第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案8由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8- (,)uxt4.9）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-4.9）对 从 到 进行积分。即（8-4.10）2(,)()sindatuxtBex把初始条件代入上式得到：（8-4.11）()()si得出：（8-4.1
13、2）()()sin01dB把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：（8-4.13）201(,)()cos()cos()2atuxtexx 利用 ，得出de 22 ()411cos()dxat atexe 22 ()4()xat at 因此， 可以写为(,)uxt（8-4.14）22()()4401(,)-d2xxatatteat第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案9方法 2：把半无界拓展为无界如何拓展？先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。由第三节可知，无界热传导问题的解为 2()41(,)d2xatuxteat在 点，有：0x 241(0,)()d2at
14、uteat242(,)()atxttt当 为奇函数时， 满足第一类齐次边界条件。()x0,ut当 为偶函数时， 满足第二类齐次边界条件。()x所以：（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为： 200(,0) ()txttuattx则其解为 2 2() ()04 4011(,)dd2x xat atuxteeat t 把第二项积分变量和区间变为 0- ，则 2 2() ()4 40 011(,)dd2x xat atuxteeat t （2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案10200(,0) ()
15、txttuattx则其解为 2 2() ()04 4011(,)dd2x xat atuxteeat t 把第二项积分变量和区间变为 0- ，则 2 2() ()4 40 011(,)dd2x xat atuxteeat t 第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案11非齐次偏微分方程的求解齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用分离变量法已经进行了分析说明。对于非齐次方程的解法在这里详加分
16、析说明。例如：强迫振动的定解问题： 21200(,),0)(0.1)(,2, 3txxlttuaftltuxl该弦的振动位移可以认为是由三部分干扰引起的：第一部分是由初始位移 和初始()x速度 引起的振动；第二部分是由边界条件 干扰引起的振动；第三部分是()x(),12t由强迫力 干扰引起的振动。因此，求解上述问题强迫振动问题，可以转化为求解下,ft面三个定解问题：I: 200(,)(1.),(,2)3txlttuatxlII:21200(,)(.1),(0),23txxlttuatutlIII:200(,),)(.1),(02.3.txlttuaftltxl设方程 I的解为 ，方程 II的解
17、为 ，方程 III的解为 ，则原定解问题的解为IuIuIu以上三个定解问题解的和，即第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案12(,)IIIuxtu方程 I直接用分离变量法求解；方程 II为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。下面研究方程 III的解法。基本解法一 将未知解展开为本征函数法该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法） 。基本解法二 非齐次方程齐次化找出特解 (,)vxt200(,)
18、,0)(3.1),(2txlttuaftxltl令 ，保持原有的齐次边界条件不变，使得 满足：(,)(,),uxwvxt (,)wxt20)(0,)(,)(,()t ttalxvxvxl则 满足常微分方程的边值问题：(,)t20(,)0,),(txlvaftxlt该方法的关键在于找出特解 ，适用于 比较简单的情形。,)vt(,)fxt第七章习题第 11题、第 14题为非齐次方程，其中的自由项比较简单，可以用该方法求解。第七章第 11题：2sinh(0,)(1)(0,),) 2.3txtuabxltll分析：由于方程（1）的非齐次项知识 x的函数，就可以把特解函数也取为只是 x的函数，即令第八章
19、 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案13(,)(,)uxtwtvx其中 满足：v()sinh(),2405bxxavl（4）式的解两次积分很容易求出来。求出 后，再求 的定解问题：()vx(,)wxt2(,0)(0,)(,()txttwaltvwxvxl基本方法三 冲量定理法该方法的基本思路是将强迫振动问题转化为无穷多个自由振动的叠加，而每一个自由振动的初始位移和初始速度为前一个自由振动产生的位移和速度。 200(,),0)(3.1),(2txlttuaftxltl思路：将非齐次项 （单位质量所受的力或者强迫力引起的加速度）分解成无穷(,)fxt多个前后相继的瞬时力的叠加。 时刻的力 不会影
20、响 时刻之前的振动情况，(,)fx独自干扰产生的弦的振动位移 满足：(,)fx(,)vt2(0,)(,)0()txtvatvlfxl求解上述 的定解问题，然后对 按时间叠加后，持续强迫力 所产生的振(,)x,vt (,)fxt动位移为： (,)(,;)0dtux对于热传导问题的非齐次方程，处理方法相同。第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案14第八章习题解答第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案15第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案16第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案17第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案18第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案19第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案20第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案21第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案22第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案23第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案24第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案25第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案26第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案27第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案28第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案29第八章 热传导方程的傅里叶解 小结及习题答案30
