1、1第一章 导数及其应用一， 导数的概念1已知 的值是（ ）xffxf )2(lim,1)(0则A. B. 2 C. D. 2441变式 1： （ ）为则设 hfffh3li,30A 2 C3 D1变式 2： （ ）000,limxffxfx设 在 可 导 则 等 于A B C Df 0f 04xf导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以
2、及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,k 对 xI 时恒成立 f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)
3、min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知， （2）中的问题等价于 h(x)= g(x)f(x) 0 在 x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此 k+70，即 k7,+).(3)根据题意可知， （3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1） ，利用导数的方法可求得 x-3,3时, g(x)min=21.由 120k21 得 k141,即 k141,+).说明：这里的 x1,x2 是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解
4、答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“ x”恒成立，还是“ x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜二、相关类型题：一 、 型；“()afx10形如 型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“(),“()afxf在 上恒成立，则 在 xD 上恒成立，则()fDmax();f()f”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.min);x例 1 ：已知二次函数 ，若 时，恒有 ，求实数 a 的取值范围.2()fxa0,1x|()|1fx解： ， ；即 ；|1f2a当 时，不等式显然成
5、立， aR.0x当 时，由 得： ，而21xax221xxmin21()0x. . 又 ， ，综上得 a 的范围是ma2(),0a。 2,0a二 、 型12“()()“fxfx例 2 已知函数 ，若对 ，都有 成立，sin5xR12“()()“fxfx则 的最小值为_.1|x解 对任意 xR，不等式 恒成立，12()()fxfx 分别是 的最小值和最大值.12(),f对于函数 ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期.sinyx又函数 的周期为 4， 的最小值为 2.()()25f12|x三 、. 型112(“ff例 3： (2005 湖北)在 这四个函数中，当22,log,co
6、syxxyx时，使 恒成立的函数的个数是( )120x121()“(“xfffA.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 的函数，1212()“(“xfxff应是凸函数的性质，画草图即知 符合题意；2logyx四 、. 型12()“0“fxf例 4 已知函数 定义域为 ， ，若 ， 时，都有()f1,()f,1,mn0n，若 对所有 ， 恒成立，求实数 取()“0“fmfn2xtaxat值范围.解：任取 ，则 ，由已知12121212()()()ffff x，又 ， f，即 在 上为增函数.12()0fxf120x12()0fxf(), ， ，恒有 ；()f,f
7、要使 对所有 ， 恒成立，即要 恒成21xta1,x,1a21ta立，故 恒成立，令 ，只须 且 ，20t2()gt()0g()解得 或 或 。t2评注： 形如不等式 或 恒成立，实际上是函数的12()“0“fxf12()“fxf单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五 、. 型：“()“fxg例 5： 已知 ， ，若当 时， )恒成1l()2x(lg2)xt0,1x(fxg立，求实数 t 的取值范围.解： 在 恒成立，即 在 恒成立()fxg0,1t,在 上的最大值小于或等于零.12t,111令 ， ，()12Fxxt14()2xF0,1 ，即 在0,1上单调
8、递减，F(0)是最大值.0() ，即 。()1fxt1t六 、 型2“()“gx例 6：已知函数 ，若对任意 ，都3249,()2xcfxg12,x有 ，求 的范围.12()fxc解：因为对任意的 ，都有 成立，12,x12()fx ， ，令 得 x3 或 x-main()()fxg2()3f()0fx,11； 得 ； 在 为增函数，在 为减函数.03x,1, ， . ， 。(),(2)6ffma()f82c24七 、 （ 为常数）型；1“|“xt例 7 ：已知函数 ，则对任意 （ ）都有43()2fx12,t12t恒成立，当且仅当 =_， =_时取等号.12|()|_fxf解：因为 恒成立，
9、12maxin|()|()|fxff由 ，易求得 ，43(),fxmax327()16f， 。min521612|()|fxf例 8 ：已知函数 满足：(1)定义域为 ；(2) 方程 至少有两个实根y,()0fx和 ；(3)过 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.1()fx(1)证明 |；|01(2)证明：对任意 ，都有 .12,x12|()|fxf证明 (1)略；(2)由条件(2) 知 ，()0ff不妨设 ，由(3)知 ，12x12121|()|fxfxx又 12 2|()|()|()|()|fff fff；12212|()|xxfx1|x八 、 型1“|()|“ff例 9： 已知函
10、数 ，对于 时总有3()fxab12123,(0,)xx成立，求实数 的范围.1212|()|fxfx解 由 ，得 ，3(ab2()3fxa当 时， ， ，0,)x1f1212|()|ffx ， 12(|ff0aa评注 由导数的几何意义知道，函数 图像上任意两点 连线的斜()yfx12(,)(,)PxyQ率 的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话) 的范围，利用这212(ykx个结论，可以解决形如 |或 (m0)型的1212|()|ffxmx1212()|ffxmx不等式恒成立问题.考前寄语：先易后难,先熟后生；一慢一快：审题要慢,做题要快；不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；我易人易我不大意,我难人难我不畏难；12考试不怕题不会,就怕会题做不对；基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
