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相似三角形的性质与判定专题讲义.doc

上传人:weiwoduzun 文档编号:2566093 上传时间:2018-09-22 格式:DOC 页数:12 大小:336.50KB
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1、相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一) 、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角 ,对应边 。2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于 。3、相似三角形对应周长的比等于 。4、相似三角形对应面积的比等于 。注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。(二) 、相似三角形的判定:1、判定两个三角形相似的条件:(1)平行截割: _(2)两角对应相等: (3)两边夹: (4)三边比:_2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1)先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角(2)若只能找到一对对应角相等,则再找

2、到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。(3)若找不到相等的角,就分析三边是否 3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替;平行线转比例,两端各自拉关系。二、基础练习1( 2013重庆)已知ABCDEF,若ABC 与DEF 的相似比为 3:4,则ABC 与DEF 的面积比为( )A4:3 B3:4 C16:9 D9 :162两相似三角形的最短边分别是 5cm 和 3cm,它们的面积之差为 32cm2,那么小三角形的面积为( )A10cm 2 B14cm 2 C16cm 2 D18cm 23如图,已知 ABC,AB=6,AC=4,D 为 AB

3、 边上一点,且 AD=2,E 为 AC 边上一点(不与 A、C 重合),若ADE 与 ABC 相似,则 AE=( )A2 B 34C3 或 4D3 或4( 2008毕节地区)已知ABC 的三条长分别为 2cm,5cm,6cm ,现将要利用长度为 30cm 和 60cm 的细木条各一根,做一个三角形木架与ABC 相似,要求以其中一根作为这个三角形木架的一边,将另一根截成两段(允许有余料,接头及损耗忽略不计)作为这个三角形木架的另外两边,那么这个三角形木架的三边长度分别为( )A10cm,25cm,30cmB10cm,30cm,36cm 或 10cm,12cm,30cmC10cm,30cm,36c

4、mD10cm,25cm,30cm 或 12cm,30cm,36cm5( 2010淄博)在一块长为 8、宽为 的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角32形的顶点都在矩形的边上其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 6如图,D、E 分别是 AC,AB 上的点,ADE B,AGBC 于点 G,AFDE 于点 F.若AD3,AB5 ,求:(1) ;AGAF(2)ADE 与ABC 的周长之比;三、 重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2 、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。典型例题 1、

5、( 2012铁岭)已知:在直角梯形 ABCD 中,ADBC,C=90,AB=AD=25,BC=32连接 BD,AEBD,垂足为 E(1)求证:ABEDBC;(2)求线段 AE 的长变式训练:1、(2012株洲)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线 MN 对折,使 A、C 重合,直线 MN 交 AC 于 O(1)求证:COMCBA; (2)求线段 OM 的长度ABCDEFG2、(2012长沙)如图,已知正方形 ABCD 中,BE 平分DBC 且交 CD 边于点 E,将BCE 绕点 C 顺时针旋转到DCF 的位置,并延长 BE 交 DF 于点 G(1)求证:DG= DF;21(2

6、)求证:BDGDEG;(3)若 EGBG=4,求 BE 的长典型例题 2(2013巴中)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AEBC,垂足为 E,连接DE,F 为线段 DE 上一点,且AFE=B(1)求证:ADFDEC;(2)若 AB=8,AD= , AF= ,求 AE 的长364变式训练:1 、 (2009 甘孜州)已知如图,ABCD 中,DBC=45,DEBC 于 E,BFCD 于 F,DE、BF相交于 H,BF、AD 的延长线相交于 G(1)求证:AB=BH;(2)若 GA=10,HE=2求 AB 的值2、(2013南充)如图,等腰梯形 ABCD 中,ADBC, AD=3,B

7、C=7,B=60 ,P 为 BC 边上一点(不与 B,C 重合),过点 P 作APE=B ,PE 交 CD 于 E(1)求证:APBPEC;(2)若 CE=3,求 BP 的长综合提高1、(2012义乌)在锐角ABC 中,AB=4,BC=5,ACB=45,将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转,得到A1BC1(1)如图 1,当点 C1 在线段 CA 的延长线上时,求CC 1A1 的度数;(2)如图 2,连接 AA1,CC 1若ABA 1 的面积为 4,求CBC 1 的面积;(3)如图 3,点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中,点P

8、的对应点是点 P1,求线段 EP1 长度的最大值与最小值2、( 2013衢州) 【提出问题】(1)如图 1,在等边 ABC 中,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM,以 AM 为边作等边AMN,连结 CN求证:ABC=ACN【类比探究】(2)如图 2,在等边 ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其它条件不变, (1)中结论ABC=ACN 还成立吗?请说明理由【拓展延伸】(3)如图 3,在等腰 ABC 中,BA=BC ,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM,以 AM 为边作等腰AMN,使顶角AMN=ABC 连

9、结 CN试探究ABC 与ACN 的数量关系,并说明理由3、 (2012成都)如图,ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90,DEF 的顶点 E与ABC 的斜边 BC 的中点重合将DEF 绕点 E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段 AB 相交于点 P,线段 EF与射线 CA 相交于点 Q(1)如图,当点 Q 在线段 AC 上,且 AP=AQ 时,求证:BPECQE;(2)如图,当点 Q 在线段 CA 的延长线上时,求证:BPECEQ ;并求当 BP= ,CQ= 时,P 、Qa29两点间的距离 (用含 a 的代数式表示)专题二:等积式、等比式的证明对应线段成比例除了用

10、来计算线段长度外,它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。处理这类问题的口诀是:遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替。等积问题证明第一步:化等比,定相似遇到等积问题时,首先把等积化为等比的形式,然后考虑证明两个三角形相似。例 1、( 2011闸北区一模)如图,ABC 是直角三角形,ACB=90,CDAB 于点 D,E 是 AC 的中点,ED的延长线与 CB 的延长线交于点 F求证: CDB变式练习:(1997吉林)已知:如图,ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作 CFAB ,延长 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F、

11、求证:BP 2=PEPF等积证明第二步:不相似,莫生气,等线等比来代替。若在化等比,定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明,此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件,用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分,再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。例 2:如图, ABCD 中,E 为边 AD 延长线上的一点,BE 交 CD 于 F。试说明:CDBC=AEFC 的理由。例 3、如图,P 是 ABCD 的边 DC 的延长线上的一点,连接 AP 交 DB、BC 于 M、N,求证:AM2=MNNPAB CEDFDA BPCNM变式练习:1、如图,在正方形 ABCD

12、中,F 是 BC 上一点,EAAF 交 CD 延长线于点 E,连接 EF 交 AD 于G。 (1)求证:ABFADE(2)求证:BFFC=DGEC 2、如图,在 RtABC 中,ACB=90边 AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E,交 AB 于点 F,BGAB交 EF 于的 G。求证:CF 是 EF 与 FG 的比例中项。3、 如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB,M 是 CD 上的点, DHBM 于 H,DH、AC 的延长线交于 E。求证:(1)AEDCBM; (2)AECM=ACCD 4、 (2012徐汇区一模)如图,梯形 ABCD 中,AB CD,AD=BC,点 E

13、在边 AD 上,BE 与 AC相交于点 O,且ABE=BCA求证:(1)BAEBOA; (2)BOBE=BCAE 综合提高FEAC BGBDGACEF1、 (2011上海)如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=DC,过点 D 作 DEBC,垂足为 E,并延长 DE 至F,使 EF=DE连接 BF、CF 、AC(1)求证:四边形 ABFC 是平行四边形;(2)如果 DE2=BECE,求证:四边形 ABFC 是矩形2、 (2012天水)如图所示的一张矩形纸片 ABCD(ADAB),将纸片折叠一次,使点 A 与 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,交 AC

14、 于点 O,分别连接 AF 和 CE(1)求证:四边形 AFCE 是菱形;(2)过 E 点作 AD 的垂线 EP 交 AC 于点 P,求证:2AE 2=ACAP;(3)若 AE=10cm,ABF 的面积为 24cm2,求ABF 的周长3、梯形 ABCD 中,ABDC,E 是 AB 的中点,直线 DE 分别与对角线 AC,直线 BC 相交于 M 和 N求证: MDNE=MEND专题三:相似三角形中的面积问题NA BECDM学习目标:结合相似三角形的性质及三角形的面积公式,解决相似三角形的面积问题一、求三角形面积常用方法1、面积公式 2、等高或等底法 3、相似三角形:二、例题及变式练习例 1:如图

15、,DEBC, ,则ADE 与ABC 的相似比是 _,面积之比是_. 例 2、已知如图,梯形 ABCD 中,ABCD,COD 与 AOB 的周长比为 1:2 ,则 CD:AB= , SCOB :S COD = 例 3、如图,将面积为 a2 的正方形与面积为 b2 的正方形(ba)放在一起,则ABC 的面积是 例 4、 (2011 广西北海)如图,ABC 的面积为 63,D 是 BC 上的一点,且 BDCD21,DEAC交 AB 于点 E,延长 DE 到 F,使 FEED21,则CDF 的面积为 变式一:如图, D、E 、F 是ABC 的各边的中点,设ABC 的面积为 S,求DEF 的面积.S1

16、S2ADB且CBEDA变式二:(1)如图,DEFGBC, 且 AD=DF=FB, 设ABC 被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3, 求 S1:S2:S3 .(2)如图,DEFGBC, 设ABC 被分成的三部分的面积 分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 求 AD:DF:FBGFCBEDAAEDCGFB变式三 :如图,DEBC ,DFAC, SABC =a , 则四边形 DFCE 的面积为_. 变式四: 如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=2:3, 则 SAPE :SCPD =_.变式五:如图,平行四边形 ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 SBPE =4, 求平行四

17、边形 ABCD的面积. PD CB EA变式六:如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线 ,且 AE=EF=FC, 求 SDMN: S ACD 12ADB且D CBEAF CBEDAF CBEDAND CFBEA变式七:如图, ABC 中,ADBC, 联结 CD 交 AB 于点 E,且,且 AE:EB=1:3,过点 E 作 EF BC ,交 AC 于点 F,变式八:如图,点 D 和 E 分别在ABC 的边 AB、 AC 上,若 SADE =4 ,SBCE =24,求 SBDED ECBA变式九:如图,点 D 是ABC 边 BC 延长线上一点,过点 C 作 CEAB,作DEAC,联结 AE,

18、S ABC =9 ,SCDE =4, 求 SACE三、拓展练习1、(09 中考链接).在ABC 内任取一点 P,过点 P 作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所得的三个小三角形的面积分别为 S1,S2,S3, 且 S1=4 ,S2=9 ,S3=49,求 SABC .SAEFBC,2和求SADEFDECBADECBAS3S2S1QFGHEPCBDA2、如图,通过ABC 内部一点 Q 引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平行四边形部分的面积为 S1,S 2,S 3,求ABC 的面积3、在ABC 中,D 为 BC 边上的中点,E 为 AC 边上任意一点 ,BE 交 AD 于点 O,请探究:12AOBDSEC如 图 (),当 时 根据以上规律,你能求四、总结:1.直接法:根据三角形的面积公式解题2.等积法:等底等高的两三角形面积相等.3.等比法:将面积比转化为线段比.等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比.等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.1(3),4AOBDSEC如 图 当 时 1,AOBDSAECn当 时 的 值 吗 ?1,3AOBDSEC如 图 (2),当 时 AO ED CB AO ED CBAO ED CBAOED CB

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