1、1相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。（2）相似三角形的周长比等于相似比。（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB：y=4
2、/3 x+b 交 x 轴于点 A（-3，0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BCAB 交 x 轴于点 C（1）试证明：ABCAOB；（2）求ABC 的周长例 2：如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（-1，0）和点（1，4）交 y 轴于点 B（1）求一次函数解析式和 B 点坐标（2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB 垂直，且交 X 轴正半轴于点 P，求点 P 的坐标（3）点 M（0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点 N（b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN直线 AB 时，求 a：b 的值2例 3：（2000陕西）如图，在矩形 ABCD 中，EF 是 BD 的垂直平分线
3、，已知 BD=20，EF=15，求矩形 ABCD 的周长例 4：（2010攀枝花）如图所示，在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F点 E 是 AB 的中点，连接 EF（1）求证：EFBC；（2）若ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积例题(1)两个相似三角形的面积比为 ，与它们对应高之比 之间的关系为_21:s21:h(2)如图，已知 DEBC， CD 和 BE 相交于 O，若 ，则 AD:DB=_69COBASB BBBC D E EAAO (2)题图 (3)题图CE FOBAD(4)题图BGFEDAC(5)题图CA
4、D DCBBA3(3)如图，已知 ABCD,BO:OC=1:4, 点 E、F 分别是 OC，OD 的中点，则 EF:AB 的值为 (4)如图，已知 DEFGBC, 且 AD:FD:FB=1:2:3,则 )(S:FBCGDFGE四 边 形四 边 形SABCA.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 ABCD的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若 AC= ,则正方形移动的距离 AA是 2(6)梯形 ABCD 中，ADBC， （ADBC） ，AC、BD 交于点 O,若 ,则AOD 与BOC 的
5、周长ABCDOABS256之比为_。例题 2.如图，在ABC 中，DEBC，且 SADE :S 四边形 BCED1:2，BC2 。求 DE 的长。6例题 4. 如图，矩形 EFGH 内接于ABC，ADBC 于点 D，交 EH 于点 M，BC20，AM8，SABC 100 2。求矩形 EFGH 的面积。AB CD EAB CDEFM HGOB CDA4相似三角形中的辅助线：在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：作平行线 1例题：如图，D 是ABC 的 BC 边上
6、的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的中点，求：BE：EF 的值.练习：如图，D 是ABC 的 BC 边上的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的中点, 连结 BE 并延长交 AC 于 F, 求 AF：CF 的值.（答案 2：3）例题 1：如图，在ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使ADAE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F，求证： （证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB 于 G）（该题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用.由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例.）CB5例题 2：如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 B
7、D=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：ABDF=ACEF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.例题 3：在ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于 F。求证：EFBC=ACDF 例题 4：如图，ABC 中，AD 是 BC 边上中线，E 是 AC 上一点，连接ED 且交 AB 的延长线于 F 点.求证：AE：EC=AF：BF.分析：注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的
8、 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中.6PAB C D例题 8：如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边中点，点F 在 AD 边上，且 AF：FD=1：2，EF 交 AC 于 G，求 AG：GC 的值A 组1.两个相似三角形的面积比为 4：9，那么它们周长的比为_.2若 x：y：z=3：5：7，3x2y4z9 则 xyz 的值为_. 3.如图，APD90，APPBBCCD，则下列结论成立的是（ ） A .PABPCA B.PABPDA C .ABCDBA D.ABCDCA第 3 题4.如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，1B，AEEC4，BC10，AB12，则ADE的周长为_ 6.7.如图，C 为线段 AB 上的一点，ACM、CBN 都是等边三角形，若 AC3，BC2，则MCD 与BND 的面积比为 。7如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于 O 点，S AOD :SCOB 1:9，则 SDOC :SBOC A BCDMN第 6 题ADE1B C第 4 题7
