1、1第 8 练 导 数明考情导数的考查频率较高，以“一大一小”的格局呈现，小题难度多为中低档.知考向1.导数的几何意义.2.导数与函数的单调性.3.导数与函数的极值、最值.考点一 导数的几何意义要点重组 (1) f( x0)表示函数 f(x)在 x x0处的瞬时变化率.(2)f( x0)的几何意义是曲线 y f(x)在点 P(x0， y0)处切线的斜率.1.设点 P 是曲线 y x3 x 上的任意一点，在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则角 的323取值范围是( )A. B.23， ( 2， 23C. D. 0， 2) 23， ) 0， 2) 56， )答案 C解析 y3 x2 ，3tan ，30
2、 或 . 2 2322.函数 f(x)e xcos x 的图象在点(0， f(0)处的切线方程是( )A.x y10 B.x y10C.x y10 D.x y10答案 C解析 f(0)e 0cos 01，因为 f( x)e xcos xe xsin x.所以 f(0)1，所以切线方程为 y1 x0，即 x y10，故选 C.3.(2017包头一模)已知函数 f(x) x3 ax1 的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2，7)，则 a 等于( )A.1 B.1 C.2 D.3答案 B解析 函数 f(x) x3 ax1 的导数为 f( x)3 x2 a， f(1)3 a，而 f(1) a2，所
3、以切线方程为 y a2(3 a)(x1).因为切线方程经过点(2，7)，所以 7 a2(3 a)(21)，解得 a1.4.(2017天津)已知 aR，设函数 f(x) axln x 的图象在点(1， f(1)处的切线为 l，则l 在 y 轴上的截距为_.答案 1解析 f( x) a ， f(1) a1.1x又 f(1) a，切线 l 的斜率为 a1，且过点(1， a)，切线 l 的方程为 y a( a1)( x1).令 x0，得 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.5.曲线 f(x) xln x 在点 P(1，0)处的切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积是_.答案 12解析 f( x)1
4、ln x，且 f(1)1，切线 l 的斜率 k1，切线方程为 y x1，令 x0，得 y1；令 y0，得 x1，交点坐标分别为 A(0，1)， B(1，0)，则| OA|1，| OB|1， S ABO 11 .12 12考点二 导数与函数的单调性要点重组 对于在( a， b)内可导的函数 f(x)，若 f( x)在( a， b)的任意子区间内都不恒等3于 0，则(1)f( x)0( x( a， b)f(x)在( a， b)上为增函数.(2)f( x)0( x( a， b)f(x)在( a， b)上为减函数.6.函数 f(x) x2ln x 的单调递减区间为( )12A.(，1) B.(0，1)
5、C.(1，) D.(0，)答案 B解析 f(x)的定义域是(0，)，f( x) x .1x x2 1x令 f( x)0，解得 0 x1.故函数 f(x)在(0，1)上单调递减.7.若函数 f(x)2 x33 mx26 x 在区间(2，)上为增函数，则实数 m 的取值范围为( )A.(，2) B.(，2C. D.( ，52) ( ， 52答案 D解析 f( x)6 x26 mx6，当 x(2，)时， f( x)0 恒成立，即 x2 mx10 恒成立， m x 恒成立.1x令 g(x) x ， g( x)1 ，1x 1x2当 x2 时， g( x)0，即 g(x)在(2，)上单调递增， m2 ，故
6、选 D.12 528.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)1，其导函数 f( x)满足 f( x) k1，则下列结论中一定错误的是( )A.f B.f (1k) 1k (1k) 1k 1C.f D.f (1k 1) 1k 1 ( 1k 1) kk 1答案 C解析 导函数 f( x)满足 f( x) k1， f( x) k0， k10， 0，可构造1k 1函数 g(x) f(x) kx，4可得 g( x)0，故 g(x)在 R 上为增函数， f(0)1， g(0)1， g g(0)，(1k 1) f 1， f ，选项 C 错误，故选 C.(1k 1) kk 1 ( 1k 1) 1k 1
7、9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x)f(x)恒成立，若 x1 f(x1)B. f(x2)0，所fxex f xex fxexe2x f x fxex以 g(x)单调递增，当 x1 f(x1).10.设函数 f( x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数， f(1)0，当 x0 时， xf( x) f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )A.(，1)(0，1)B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0)D.(0，1)(1，)答案 A解析 因为 f(x)(xR)为奇函数， f(1)0，所以 f(1) f(1)0.当 x0 时，令g(x) ，则 g(x)为偶函数，且
8、 g(1) g(1)0.则当 x0 时， g( x) fxx fxx0，故 g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数.所以在xf x fxx2(0，)上，当 0 x1 时， g(x) g(1)0 0 f(x)0；在(，0)上，当fxxx1 时， g(x) g(1)0 0 f(x)0.综上，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围fxx是(，1)(0，1)，故选 A.考点三 导数与函数的极值、最值5方法技巧 (1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.特别提醒 (1) f( x0)0 是函数 y f(x)在 x
9、x0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数 f(x)在 a， b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.11.(2017永州二模)函数 f(x) aexsin x 在 x0 处有极值，则 a 的值为( )A.1 B.0 C.1 D.e答案 C解析 f( x) aexcos x，若函数 f(x) aexsin x 在 x0 处有极值，则 f(0) a10，解得 a1.经检验 a1 符合题意.12.若函数 f(x) (12 a)x2ln x(a0)在区间 内有极大值，则 a 的取值范围ax22 (12， 1)是( )A. B.(1，) C.(1，2) D.(2，)(1e， )答案 C解析 f(
10、x) ax(12 a) (a 0， x0).2x ax2 2a 1x 2x若 f(x)在 内有极大值，(12， 1)则 f( x)在 内先大于 0，再小于 0，(12， 1)即Error! 解得 1 a2.13.已知函数 f(x) axln x，当 x(0，e(e 为自然常数)时，函数 f(x)的最小值为 3，则 a 的值为( )A.e B.e2 C.2e D.2e2答案 B解析 函数 f(x)的定义域为(0，)，函数 f(x)的导数 f( x) .ax 1x当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，e上单调递减， f(x)min f(e)0，与题意不符.当 a0 时， f( x)0 的
11、根为 .1a当 0 e 时， f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，1a (0， 1a (1a， e6 f(x)min f 1ln 3，解得 ae 2.(1a) 1a当 e 时， f( x)0， f(x)在(0，e上单调递减，1a f(x)min f(e)0，与题意不符.综上所述， ae 2.故选 B.14.设函数 f(x) x32e x2 mxln x，记 g(x) ，若函数 g(x)至少存在一个零点，则fxx实数 m 的取值范围是_.答案 ( ，1e e2解析 由题意知 m 有解， x3 2ex2 ln xx令 h(x) x22e x (x0)，ln xx则 h( x)2( xe) ，1
12、 ln xx2当 0 xe 时， h( x)0，当 xe 时， h( x)0， h(x)max h(e) e 2，1e m e 2.1e15.已知函数 f(x) x33 ax(aR)，函数 g(x)ln x，若在区间1，2上 f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数 a 的取值范围是_.答案 ( ，13)解析 由题意知，3 a x2 在1，2上恒成立，ln xx记 h(x) x2 ，ln xx则 h( x) ，2x3 ln x 1x21 x2， h( x)0， h(x)在1，2上单调递增， h(x)min h(1)1，73 a1，即 a .131.已知 f(x)ln x，
13、g(x) x2 mx (m0 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f( x)( x2)e x0，解得 x2.3.(2017绵阳模拟)已知函数 f(x) x3 mx24 x3 在区间1，2上是增函数，则实数13 1210m 的取值范围为( )A.4 m5 B.2 m4 C. m2 D. m4答案 D解析 函数 f(x) x3 mx24 x3，13 12可得 f( x) x2 mx4，函数 f(x) x3 mx24 x3 在区间1，2上是增函数，可得13 12x2 mx40 在区间1，2上恒成立，可得 m x ， x 2 4，当且仅当 x2 时取等号，可得 m4.4x 4x x4x4.若函数
14、 f(x)( x1)e x，则下列命题正确的是( )A.对任意 m ，都存在 xR，使得 f(x) ，方程 f(x) m 总有两个实根1e2答案 B解析 f( x)( x2)e x，当 x2 时， f( x)0， f(x)为增函数；当 x2 时， f( x)0， f(x)为减函数. f(2) 为 f(x)的最小值，即 f(x)1e2 (xR)，故 B 正确.1e25.(2017鹰潭一模)函数 f(x)是定义在区间(0，)上的可导函数，其导函数为 f( x)，且满足 xf( x)2 f(x)0，则不等式 的解集为( )x 2 018fx 2 0185 5f5x 2 018A.x|x2 013 B.x|x2 013C.x|2 013 x0 D.x|2 018 x2 013答案 D解析 构造函数 g(x) x2f(x)，则 g( x) x2f(x) xf( x).当 x0 时，2 f(x) xf( x)0， g( x)0， g(x)在(0，)上单调递增.
