1、宁师中学 2013 年暑期希望之星夏令营 专题四 数列 组稿人廖东明考点 1等差数列中的基本量问题优先考虑利用等差数列的性质，然后考虑利用基本量（ ） 1,ad【例 1】 （2013 浙江理 18）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且dn10成等比数列 （1）求 ；（2）若 ，求123,5a,na0|na解：（1）由题意得 ，又 ，所以即231()5，所以 ，解得 或 所以2()(0dd24d1d4， 或 ， naN46nN（2）设数列 的前 项和为 ，当 时， ， ，所以anS0na(1)nS21令 得 0当 时， ；123|naa 21n当 时， 2n| 1S210综上， 123|naa
2、2,10,2.n变式 1-1 已知等差数列 ，则在区间 上该数列有多少项？0,6, 456（答案： ）5变式 1-2 已知数列 满足 ，在区间 上，该数列有多少项能na14n,被 整除？并求它们的和 （答案：第 项，和为 ）,7,820变式 1-3（2012山东）在等差数列 中， （ ） 对于任意na9nN，将数列 中落入区间 内项的个数记为 ，求数列 的前 项的mNn2(9,)mmbm和 （答案： ， ）S21mb1(0)8S变式 1-4（2013 全国卷 I 理 7）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，nanS12， ，则 （ ） （C）0m13A B C D456考点 2等差数列的常见判断
3、方法（1）定义法（ ， ，证明用） ；（2）等差中项法（1nadN， ，证明用） ；（3）通项公式法（ ） ；（4）前 项和2na naABn公式法（ ） S【例 2】数列 的前 项的和为 ,对于任意的自然数 ，nnS0 （1）求证：数列 是等差数列，并求通项公式；（ 2）设 ，求24n a 3nab和 1nTb（答案：（1）递推，可得 ，进而 ；（2）11()(2)0nnaa1na）3nnT变式 2-1 已知 成等差数列，求证： 也成等差数列1,abc,bcba变式 2-2 已知数列 的前 项和满足 （ 为正整数） ，令n 1()2nnS，求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式2nb （
4、提示：递推，可得 ； ）112()nna2na考点 3等差数列的常见性质的应用【例 3】 （1）等差数列 的前 项和为 ，前 项的和为 ，则它的前 项nm30103m的和为_（2）等差数列 的前 项和为 ，若 ， （ ， ） ，anSmSn,nN则 _mnS（3）一个等差数列的前 项的和为 ，前 项中偶数项的和与奇数项的和之比为1235412，则公差 _:7（4）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 ，偶数项的和为 ，则该数列的项数3_；中间一项等于 _（5）已知两个等差数列 、 的前 项和分别为 ，且 ，求nabn,nST21n9ab（答案：（1） ，整体法，性质方法，函数方法，特殊法；（2）
5、 ；10 ()mnS（3） ；（ 4） ， ；（5） ）5d7n4a370变式 3-1（2013 广东理 12）在等差数列 中，已知 ，则na3810a_ （答案： ，因为 ）57a573382()572(38)变式 3-2（2013 年辽宁卷理 4）下面是关于公差 的等差数列 的四个命题：dn：数列 是递增数列； ：数列 是递增数列；1pna2pn：数列 是递增数列； ：数列 是递增数列3 4a其中命题正确的是（ ） （D ）A B C D12,34,23,14,p解：当 时， 关于 递增； ，只有当0d1nadn2()ndan时才递增（活用反例：如 ） ； ，当 是递增aa1d（或用反例：
6、如 ） ； 关于 递增故选 Dn 134nd变式 3-3（2013 年高考安徽（文） 设 为等差数列 的前 项和, ,Sn8374,2Sa则 = （ ） （A）9aA B C D262变式 3-4（2013 安徽文）若 2、 、 、 、9 成等差数列,则 _ （答案：abcc）72变式 3-5（2013 年上海（文科 2）在等差数列 中, ,则na12340a_.（答案：15）23a变式 3-6 设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则nanS1516S中最大的项为（ ） （C）1512,SA B C D6a7a8a9a考点 4等比数列中的基本量问题优先考虑利用等差数列的性质，然后考虑利用
7、基本量（ ）1,q【 例 4】 （ 1） 设 数 列 n的 前 n 项 的 和 为 ns， 且 13,2nS， 求 （ 2） 一 个 等 比 数 列 的 首 项 为 ， 它 的 前 项 的 几 何 平 均 数 为 ， 若 在 前logSa512 5项 中 抽 去 一 项 后 的 几 何 平 均 数 为 问 ： 抽 去 的 是 第 几 项 ？4（ 答 案 ： （ 1） 6； （ 2） 提 示 ： 设 抽 去 ， ， ， ）k521a 15ka解：（1）因为 ，所以 ，所以数列 是以13nnS4nSnS为公比的等比数列，所以 ，所以 ,4Saq 34 3242logl6变式 4-1（2013 北京
8、卷（文 11）若等比数列 满足 ,则公比n 50,=_;前 项 =_.（答案：2, ）n12变式 4-2（2013 年高考广东卷（文）设数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,则na_.（答案： ）1234|aa5变式 4-3（2013 江西文 2）某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(nN*)等于_.（答案： ）6变式 4-4（2013 年高考辽宁卷（文 14.）已知等比数列 是递增数列, 是 的前nanSa项和,若 是方程 的两个根,则 _.（答案： ）n13a， 540x6S3考点 5等比数列的常见判断方法1定
9、义法（ ， ， ， ） ；2等比中项法1nqaNq10（ ， ） ； 3通项公式法（ ） ；4前 项和公式法（22n0na， ）1()aqS,【例 5】 （2013 年陕西理 17）设 是公比为 的等比数列 （1）推导 的前 项nqna和公式；（2）设 ，证明数列 不是等比数列11a解：（1）略；（2）假设 是等比数列，则对任意的 ，kN，所以 ，即2()()kkkaa2122kkka因为 ，所以 因111qqq 101kq为 ，所以 ，解得 ，这与已知 矛盾，所以假设不成立故数00列 不是等比数列n变式 5-1（2013 福建理 9）已知等比数列 的公比为 ，记naq， （ ） ，(1)(1
10、)2(1)nmnmnbaa (1)(1)2(1)mnmnca ,N则以下结论一定正确的是（ ） （C）A数列 为等差数列，公差为 B数列 为等比数列，公比为bqb2mqC数列 为等比数列，公比为 D数列 为等比数列，公比为nc2nc解：因为等比数列 的公比为 ，所以 （ ） ，所以数na(1)mniaq1,23,i列 为等比数列，公比为 ；数列 为等比数列，公差为 ，选 Cnbmqnc变式 5-2 若 成等比数列，求证： 也成等比数列,bc22,bc变式 5-3 若 成等比数列， 均不为零，求证：,abdad成等比数列,acd考点 6等比数列常见性质的应用【例 6】已知各项为正的等比数列 n中
11、， 4与 1的等比中项为 2，则712的最小值为（ ） （B）A16 B8 C 2D4【解析】因为 ，即 ，所以 则241()a4198a9a，当且仅当 ，即2997122aqq29q，时取等号，选 B.4q变式 6-1 中，前 n 项和为 ,已知 ，则 （ ）nnS7863S， 98a（A）A. B. C. D.818155变式 6-2 数的等比数列 中， 则 （ na321,sa23637aa） （C）A4 B6 C8 D 84变式 6-3 已知数列 n为等比数列， 74， 865，则 10的值为（ ） （D）A 7 B 5 C D 7 变式 6-4 已知数列 为等比数列，且 ，则 的值为
12、na2137a)cos(12a_.（答案： ）12考点 7数列通项公式的求法1观察归纳证明法；2公式法：等差数列 ，等比数列()nmd； 3利用 和 时 ；4累加法：若 ，nmaq1aSn1naS1()naf则 ；5累乘法：若 ，则 ；6构造法转化1()kf1()nf1()nkaf法（将递推式作递推或取倒数或取对数或分解因式或换元等需要作的变形，然后利用待定系数法探索构造等差数列或等比数列进行求解） 【例 7】 （2013 年大纲卷）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且nanS23a成等比数列，求 的通项公式124,Sna解：设 的公差为 ，由 得 ，解得 或 nad23S2a20a23由 成
13、等比数列得 又 ，124, 141d， ，故 若 ，则2d2S22()()4)2，所以 ，此时 ，不合题意若 ，则00n，解得 或 ，所以数列 的通项公式为 或(6)(3)dna3na1na变式 7-1（2013 全国卷 I 理 14）若数列 的前 项和为 ，则数列na213nS的通项公式是 _ （答案：等比数列， ）nna ()a变式 7-2 已知数列 满足 ， ，求 （答案：n121nna，累加法，注意结论 ）1()2516na2(1)6变式 7-3 若数列 满足 ，且 ，求 （答案： ）na17na17na(1)27n变式 7-4 若数列 满足 （ ） ，且 ，证明这个数列的通cd0,1
14、b项公式是 1()nbcda变式 7-5 若数列 满足 ，且 ，求 （答案：na12nna12na）17263n变式 7-6 ， ， （ ， ） ，求 （答案：2()xf11()nxfNnx）1nx变式 7-7 若数列 满足 ， ，求 （答案：na1123()(2)nnaa）()2na变式 7-8 已知数列 满足 ， ， ， .(1)证明：n12213nnN数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式；（3）若数列 满足1nnab， ，证明： 是等差数列12144()nnbbba Nb（答案：（2） ；（ 3）利用递推，可以证明 ）210nn变式 7-9 已知数列 满足 ， （ ） 求 （答案：
15、n11na提示： 是公差为 的等差数列 ）13na1n变式 7-10 已知数列 满足 ，且当 ， 时，有 ，a15N112nna求 （答案： 提示：可以得到 ）na4n14na变式 7-11 已知数列 满足 ， （ ） ，求 （答案：na1213nnaNna提示：对递推式两边取倒数， 是等差数列）35nan变式 7-12 已知数列 满足 ， ，求 （答案： 提示：n121ana12n取对数可得 ）1lg2na变式 7-13 已知数列 满足 ， （ ， ） ，n11()nnN求 （答案： 提示：构造等比数列 ，可得n14()3nn()na）13变式 7-14 设数列 中， ， ，求 （答案：na
16、11(412)6nnna na提示：换元，设 ，可得 ）12nna2b3()b考点 8数列求和1直接利用公式、性质求和；2化归法（把所求问题转化为等差数列或等比数列的求和） ；3其它特殊方法：裂项求和法；倒序相加法；分组分解法；错位相减法；并项求和法【例 8】 （2013 年江西理 17）正项数列 的前 项和 满足:nanS(1)求数列 的通项公式 ；(2)令 ，22(1)()0nnSSa21()nnba数列 的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有 bT*N564nT解(1)解:由 ,得 . 22(1)()0nnS2(1)()0S由于 是正项数列,所以 . a,于是 时, . 1S221nn
17、a n 综上,数列 的通项 . n2(2)由于 ，所以 . 2a2()nnb2216()n22 211 1 63435)()nT n. 215()()64n【例 9】 （2013 山东理 20）设等差数列 的前 项和为 ，且 ，nanS42S （1）求数列 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，且2nanabnT（ 为常数） 令 （ ） 求数列 的前 项和 TncbNncR解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 由 ， 得n1d42S1na解得 ， ，因此114684,(2)2(1).adnand 1a2d（ ） nN（2）由题意知 ，所以当 时，nT1n1nnbT12n，故 ， ，所以
18、1n2cb1()4nN，120()()4R，两式相减得3(14nn 12313()()()4n 1()(34nn，所以数列 的前 项和 4nnc19nnR【例 10】设数列 的首项 ，前 项和 满足关系式：a1S（ ， ） （1）求证：数列 为等比数列；13(2)3nntSt02,3 na（2）设数列 的公比为 ，作数列 ，使 ， （ ） ，()ftnb1()nbf2,34求数列 的通项公式 ；（3）求nbnb和 （答案：（1） ，12345 212nn1nat；（ 2） ；（3） ）, ()n24(3)9变式 8-1（2013 广东卷理 19）设数列 的前 项和为 已知 ，nanS1a， （
19、1）求 的值；（2）求数列 的通项公式；2123nSaN（3）证明：对一切正整数 ，有 （答案：（1） ；（2）n1274naa 4；（3）放缩和裂项， ， ）2na()3变式 8-2（2013 年高考湖南理 15）设 为数列 的前 项和，nSn， ，则（1） _；（2）(1)2nnSN3a_ （答案：（1） ；（2 ） ）20 1610()3解：（1） ，解得 当 时，1()Sa14n，当 为偶数时 ，当 为奇数时，()2nnnSn2nS，从而 ， ，又 ，所以12143416324116S，而 20S32316Sa（2）由（1）得 ， 19S 2410 102S当 （ ）为奇数时， ，即
20、，所以n1nn2nn，所2410SS以 ）1 2410 10()3变式 8-3（2013 年江西卷（文） 正项数列a n满足 .(1)求数列a n的220nna通项公式 an；(2)令 ,求数列b n的前 n 项和 Tn （答案： ；（2）(1)nnbaa） 2nT变式 8-4（2013 年高考大纲卷（文 7）已知数列 满足 则na12430,3na的前 10 项和等于（ ）（C ）naA B C D-1063-1039-10-10+考点 9双数列问题【例 11】已知数列 是等差数列， 是等比数列，且 ， ，nanb12ab45 （1）求数列 和 的通项公式；（2）数列 满足 ，12323ab
21、 ncnab求数列 的前 项和 ncS（答案：（1） ， ， ， ；（2）q6d13n64）nnS4T7(6)变式 9-1 已知数列 、 满足 ， ，它们的公共项不改变原abna1nb有的顺序组成新的数列记为 ，求数列 的通项公式 （答案： ）ncc1nc变式 9-2 已知等差数列 与等比数列 均为递增数列，满足集合，则数列 的通项公式是_ （答案：345345,ab1,2345n ）(2)nn考点 10数学思想方法在数列中的应用1函数与方程思想（函数思想主要体现为：单调性、最值、周期性等） ；2数形结合思想；3转化与化归思想；4分类讨论思想；5整体法（整体运算）【例 12】 （2013 天津
22、理 19）已知首项为 的等比数列 不是递减数列，其前 项和32nan为 （ ） ，且 、 、 成等差数列 （1）求数列 的通项公式；nSN3Sa54Sa（2）设 （ ） ，求数列 的最大项的值与最小项的值1nnTSNnT解：（1）设等比数列 的公比为 ，因为 、 、 成等差数列，naq3Sa54Sa所以 ，所以 ，于是 又 不是53a45S542531qn递减数列且 ，所以 ，故 的通项公式为 1212qn()nn3()2（2）由（1）知,()1,2nnnS为 奇 数 ，为 偶 数 当 为奇数时， 随 的增大而减小，所以 ， ，nn 132nS1nS，故 123nS13506nS当 为偶数时，
23、 随 的增大而增大，所以 ，所以n 24nS综上，对于 ，总有 21403nS712N71526nS所以数列 的最大项的值为 ，最小项的值为 nT561变式 10-1（2013 全国卷 II 理 16）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，nan10，则 的最小值为 _ （答案： 时 取得最小值 ）152SnS7S49解：由已知 解得 ， ，所以10540,25.ad132d当 时， 当 时21()nSa3n90nS19x，当且仅当 时取得等号故取2(0)3x06x310()xx23和 进行计算 可得出最小值67nS考点 11数列与其他分支交汇如与不等式等结合【例 13】 （2013 江苏 14）
24、在正项等比数列 中， ， ，则满足na512673a的最大正整数 的值为_ （答案： ）1212nnaa 2解：设公比为 ，则 ， 由 ， 可得 ，解q0q5670q得 ，所以 ，所以数列 的前 项和为 而q56nnna5nS，所以(1)2121()naa即 由 即n 52(1)2n5n(1)2n可求得正整数 的最大值为 ，当 时， 因此正整(1)52nn123n85132数 的最大值为 变式 11-1（2013 广东文）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足nanS且 构成等比数列.(1) 证明: ；(2)214,nSanN2514,a2145a求数列 的通项公式；(3) 证明:对一切正
25、整数 ,有 .n n12312n（答案：（1） ；（2） ；（3）裂项、放缩 ）2145ana变式 11-2 已知正项等比数列a 满足： ，若存在两项 使得765=a,nma，则 的最小值为（ ） （A）14mnanA. B. C. D. 不存在235256考点 12数列中的创新问题1新定义型；2找规律（其载体形式：数字型、数阵型、数表型、图形关联型） ；3探索型（探索存在性、恒成立等） 【例 14】 （2013 湖北卷理 18）已知等比数列 满足：na， （1）求数列 的通项公式；（ 2）是否存在正整数 ，2|0a1235a m使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由12m解：（1）
26、设等比数列 的公比为 ，则由已知可得 解得nq3125,|0.aq或 故 ，或 15,3.aq1,.153na 15()nna（2）若 ，则 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比1n 1()nn351数列，从而 199()030mmna若 ，则 ，故数列 是首项为 ，公比为 的15()n 1()5nnna15等比数列，从而 ，故 1,2,0().mnkNa1mn综上，对任何正整数 ，总有 故不存在正整数 ，使得1mna121maa【例 15】 （2013 年湖北理 14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 第 个三角形数为 记第 个 边形数1,360, n2(1)nnk为
27、 （ ） （笔者注：多边形数是可以排成正多边形的整数，如六边形数 ）以下(,)Nnk列出了部分 多边形数中第 个数的表达式：三角形数 ，正方形21(,3)N数 ，五边形数 ，六边形数 2(,4)n5nn，可以推测 的表达式，由此计算2(,6)n(,)Nnk_ （答案： ）104N10解： （ ） ，其中数列 是以 为首项， 为公差的等差2,)kanb3ka12数列，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 kb2(,4)10Nnn变式 12-1 数列 的前 项和为 ， ，数列 中是否存在三项，nnS3na它们可以构成等差数列？（不存在提示：假设存在 , ，得到,sprspr ）12psrs
28、变式 12-2 已知数列 满足 ，是否存在互不相等的正整数 ，使na32n,msn成等差数列，且 成等比数列？,msn1,msn（答案：不存在，提示： ，假设存在得到 ）32mns变式 12-3 设数列 满足 ，是否存在正整数 ，使得 （nb12nt,t12,mb， ）成等差数列？若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由3N（答案：存在， ；或 ；或 关键：2,7t3,5t.4）41mt考点 13.周期数列【例 16】在数列 na中，已知 122,7,na等于 1()naN的个位数，则2013a的值是（ ） （C）A8 B6 C4 D2 【解析】 ，所以 的个位数是 4， ，所以所以 的个
29、位数12743 84a是 8， ，所以 的个位数是 2， ，所以 的个位数是 6， 的个位数45a8166a7是 2， 的个位数是 2， 的个位数是 4， 的个位数是 8， 的个位数是 2，所以从第a90a1三项起， 的个位数成周期排列，周期数为 6， ，所以 的个位数n 35013和 的个位数一样为 4，选 C.3变式 13-1 已知数列 满足 ， ， （ ） ，则n43n410n2naN_； _ （答案： ， ）209a2014a10变式 13-2 已知数列 满足 ， ， ，则 a261n201a_ （答案： ）63变式 13-3 数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，n 2(cosin)3nnS则 _ （答案：以 为周期， ）30S31035(9)4702kS变式 13-4 已知函数 ，设数列 满足 （ ，且 ） ，()xfna1a1， 为数列 的前 项和 （1）若 ，求 ；（2）求证：数1()nnafna34,列 为周期数列；（3）探究：是否存在满足 的 ，使 ？ 401S（答案：（1） ， ， ；（2）可以证明 （ ）：2343a4naN(3)不存在提示： ，而由01125()S12341a解得 ， （ ） ）42a5()(0,)4gaa
