1、1.1 命题学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一 命题的概念思考 1 给出下列语句：若直线 a b，则直线 a 和直线 b 无公共点；367；偶函数的图像关于 y 轴对称；5 能被 4 整除.请你找出上述语句的特点.答案 上述语句有两个特点：都是陈述句；能够判断真假.梳理 (1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类真命题：判断为真的语句叫作真命题；假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二 命题的形式思考 1 你能把“内错角相等”写成“若，则”的形式吗？答案 若两个角为内
2、错角，则这两个角相等.思考 2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案 是命题，是假命题.梳理 命题的形式：“若 p，则 q”，其中命题的条件是 p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三 四种命题的概念思考 给出以下四个命题：(1)当 x2 时， x23 x20；(2)若 x23 x20，则 x2；(3)若 x2，则 x23 x20；(4)若 x23 x20，则 x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条
3、件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四 四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案 互逆、互否、互为逆
4、否.思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.梳理 (1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一 命题的概念例 1 下列语句：(1) 是无限循环小数；(2) x23 x20；(3)当 x4 时，2 x0；(4)垂直于同一条直线的2两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作 ABC A B C；(7)二次函数的图像太美了！(8)4 是集
5、合1，2，3中的元素.其中是命题的是_.(填序号)答案 (1)(3)(5)(8)解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量 x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).反思与感悟 一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.其流程图如图：跟踪训练 1 下列语句中，是命题的为_.红豆生
6、南国；作射线 AB；中国领土不可侵犯！当 x1 时， x23 x20.答案 解析 和都不是陈述句，根据命题定义可知是命题.类型二 四种命题及其相互关系命题角度 1 四种命题的概念例 2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若 mnb，则 A B.解 (1)逆命题：若方程 mx2 x n0 有实数根，则 mn0 且 n0，则 m n0，真命题.逆否命题：若 m n0，则 m0 且 n0，假命题.(4)逆命题：在 ABC 中，若 A B，则 ab，真命题.否命题：在 ABC 中，若 a b，则 A B，真命题.逆否命题：在 ABC 中，若 A B，则 a b，真命题.反
7、思与感悟 四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练 2 命题“若函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数，则 loga20， a1)在其定义域内不是减函数B.若 loga20，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内不是减函数C.若 loga20， a1)在其定义域内是减函数D.若 loga20，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数答案 B解析 直接根据逆否
8、命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数” ，而应写成不是减函数.命题角度 2 四种命题的相互关系例 3 若命题 p：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的否命题为 q，命题 q 的逆命题为r，则 r 与 p 的逆命题的关系是( )A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题答案 B解析 已知命题 p：若 x y0，则 x， y 互为相反数.命题 p 的否命题 q 为：若 x y0，则 x， y 不互为相反数，命题 q 的逆命题 r 为：若 x， y 不互为相反数，则 x y0， r 是 p 的逆否命题， r 是 p 的逆命
9、题的否命题，故选 B.反思与感悟 (1)判断四种命题之间四种关系的两种方法利用四种命题的定义判断；巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练 3 有下列四个命题：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的否命题；一个实数不是正数就是负数；“若 x3，则 x2 x60”的否命题；“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是_.答案 1解析 “
10、若 x y0，则 x， y 不是相反数” ，是真命题.实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.“若 x3，则 x2 x60” ，解不等式 x2 x60 可得2 x3，而 x43 不是不等式的解，故是假命题.“相等的角是同位角” ，是假命题.类型三 等价命题的应用例 4 判断命题“已知 a， x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假.解 方法一 原命题的逆否命题：已知 a， x 为实数，若 a0 的解集为 R，则a0 的解集为 R，且抛物线y x2(2 a1) x a22 的开口向上，所以 (2 a1) 24( a22
11、)4 a7b，则 ac2bc2(a， b， cR)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.0 B.2C.3 D.4答案 B解析 命题“若 ab，则 ac2bc2(a， b， cR)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若 ac2bc2，则 ab(a， b， cR)”是真命题，则其否命题是真命题.故选 B.5.给出以下命题：“若 x2 y20，则 x、 y 不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题.其中为真命题的是_.答案 解析 否命题是“若 x2 y20，则 x， y 全为零” ，真命题.逆命题是“若两
12、个多边形相似，则这两个多边形为正多边形” ，假命题. 14 m，当 m0 时， 0， x2 x m0 有实根，即原命题为真.逆否命题为真.1.可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若 p，则 q”的形式.含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件 p 和结论 q；(2)写出条件 p 的否定和结论 q 的否定；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来
13、判断，这也是反证法的理论基础.40 分钟课时作业一、选择题1.下列语句中，不能成为命题的是( )A.512B.x0C.已知 a、 b 是平面向量，若 a b，则 ab0D.三角形的三条中线交于一点答案 B解析 A 是假命题，C、D 是真命题，B 中含变量 x，未指定 x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温 30时我就开空调”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当 a4 时，方程 x24 x a0 有实根”是假命题答案 D解析 对于 A，改写成“若 p，则 q”的
14、形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等” ；B 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选 D.3.已知命题“若 ab0，则 a0 或 b0” ，则下列结论正确的是( )A.真命题，否命题：“若 ab0，则 a0 或 b0”B.真命题，否命题：“若 ab0，则 a0 且 b0”C.假命题，否命题：“若 ab0，则 a0 或 b0”D.假命题，否命题：“若 ab0，则 a0 且 b0”答案 B解析 “若 a0 且 b0，则 ab0”是真命题，又“若 a0 且 b0，则 ab0”是“若 ab0，则 a0 或
15、 b0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若 ab0，则 a0且 b0”.4.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若 x2 016，则 x0”的逆命题B.命题“若 xy0，则 x0 或 y0”的逆否命题C.命题“若 x2 x20，则 x1”D.命题“若 x21，则 x1”的逆否命题答案 B解析 A 选项， “若 x2 016，则 x0”的逆命题为“若 x0，则 x2 016”是假命题；B 选项，“若 xy0，则 x0 或 y0”的逆否命题为“若 x0 且 y0，则 xy0”是真命题；C 选项，由 x2 x20，得 x1 或 x2，故 C 是假命题；D 选项， “若 x21，则
16、 x1”是假命题，故其逆否命题是假命题.5.若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，则 q 与 r 的关系是( )A.互逆命题 B.互否命题C.互为逆否命题 D.以上都不正确答案 A6.已知命题“若 a， b， c 成等比数列，则 b2 ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 命题“若 a， b， c 成等比数列，则 b2 ac”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若 b2 ac，则 a， b， c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选 B.7.下列命题：(1)若“ a20 的解集为 R
17、”的逆否命题；(4)“若 x(x0)为有理3数，则 x 为无理数”.其中正确的命题是( )A.(3)(4) B.(1)(3)C.(1)(2) D.(2)(4)答案 A解析 对于(1)，逆命题是“若 a0，则方程 x22 x k0 有实数根；若 x y8，则 x2 或 y6；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若 xy0，则 x， y 中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是_.答案 解析 44( k)44 k0，是真命题.其逆否命题为真，故是真命题.逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.否命题：“若 xy0，则 x， y 都不为零”是真命题.三、解答题12.判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22 bx b2 b0 有实根”的逆否命题的真假.解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可.方程判别式为 4 b24( b2 b)4 b，因为 b1，所以 40，
