1、定积分及其应用定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起1曲边梯形的面积设函数 在区间 上非负且连续，由直线 、 、 轴和曲线)(xfy,baaxbx及曲线 所围成的图形称为曲边梯形（图 5-1） ，其中曲线 称为)(f )(fy曲边图 5-1 图 5-2 下面我们讨论曲边梯形面积的求法 我们知道，矩形的高是不变的，它的面
2、积很容易计算而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法如果我们将 上任一点 处的函数值 看作,bax)(xf为曲边梯形在 处的高，则曲边梯形的高是变化的但因 是 区间上的连续x )(fy,ba函数，所以在一个相当小的区间上， 的值变化不大因此，如果把区间 划分为)(xf ,许多小区间，在每个小区间上用某一点 处的值 来定义同一个小区间上的窄曲边梯形)(f的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图 5-2） 直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，
3、这时所有,ba窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1）将区间 划分为 个小区间，即在区间 内任意插入 个分点：,ban,ba1n，xxn1210这 个小区间分别为n，,1210 nx其长度依次记为11201 , nnxx（2）过每个分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分成 个小曲边梯形，小曲x边梯形的面积记为 ，在每个小区间 上任取一点),(niA ,1ii，用以 为底、 为高的窄矩形近似代替第 个小曲边梯形)(1iiix1iix)(ifi，则 ， 这样得到的 个小矩形面积之和显,2niiif)(,2nn然是所求曲边梯形面积 的近似
4、值，即Aininnii xfxfxfxf 1211 )()()()( （3） 记 ，则当 时，每个小区间的长度也趋于,ma21n0零此时和式 的极限便是所求曲边梯形面积的精确值即inixf1)(inixfA10)(lm2变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间 的连续函数，即 ，计算在时间间t )(tv隔 内物体所经过的路程 ,bas因为物体作变速直线运动，速度 随时间 而不断变化，故不能用匀速直线运动公)(tvt式： 来计算，然而物体运动的速度函数 是连续变化的，在很小的一段时间vts)(tv内，速度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间
5、隔 上运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理,ba具体步骤如下：（）在时间间隔 中任意插入 个分点,1n，btttan20这 个分点将区间 分成 个小区间1n,b，,1210nttt它们的长度依次为，11201, nnttttt 相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为 ),2(is（2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔 上任取一个时1it刻 ，以 时刻的速度 来代替 上各个时刻的速度，得到)(1iitti)(iv,1it时间段上路程 的近似值，即,i is，),2()nitvii 那么这 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 的近似值，即n S，in
6、intvtvtvts 121 )()()()( （3）记 ，则当 时，每个小区间的长度也趋于零此,max21ntt0时和式 的极限便是所求路程 的精确值即initf1)(s.initv10)(lm上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇 到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲” 或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量这个方法的过程我们可简单描述为“分割代替求和取极限”采用这种
7、方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数 实施相同结构的数学运)(xf算和数 的极限事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的inixf1)(解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义二、定积分的定义定义 设函数 在区间 上有界，在 中任意插入 个分点)(xf,ba,ba1n，xxn1210把区间 分成 个小区间,ban，,1210nxx各个小区间的长度依次为11201 , nnxx在第 个小区间 上任取一点 ，作函数值 与小区间长度i,ii ),(i)(if的乘积 ，并作出
8、和式ix)2()nxfiiinixf1)(（1） 记 ，如果不论对 进行怎样的分法，也不论在小区间,max21nx ,ba上的点 怎样的取法，只要当 时，和（1）总趋于确定的极限 ，这时我,1iii0I们称此极限为函数 在区间 上的定积分（简称积分） ，记作 ，即)(xf, dxfba )(iniba xfIdxf 10 )(lm)(（）其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做积分变量， 叫做积分)(xf dxf)(xa下限， 叫做积分上限， 叫做积分区间，和 通常称为 的积分和b,bainif1)()(xf如果函数 在区间 上的定积分存在，我们也称 在 上可积)(xf, f,ba注意 当
9、 的极限存在时，其极限 仅与被积函数 及积分区间inif1I)(xf有关，如果既不改变被积函数 也不改变积分区间 ，不论把积分变量 改,ba)(xf ,bax成其它任何字母，如 或 ，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变就是tuduftfdfbababa )()()(这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关下面我们给出两个函数 在区间 上可积的充分条件)(xf,ba定理 设 在区间 上连续，则 在区间 上可积)(f,)(xf,ba定理 设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在区间 上x )(xf,ba可积利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表
10、示如下：曲边梯形的面积 是函数 在区间 上的定积分，即A)(xf,baaini dxfxf 10)(lm变速直线运动的路程 是速度 在时间间隔 上的定积分，即s)(tv,b来源:aini dtvx 10)(l三、定积分的几何意义（1）当 时，定积分 表示由直线 、 、 轴和曲线)(xf xfba )(xbx所围成的曲边梯形的面积；)(fy（2）当 时，由直线 、 轴和曲线0)(xf bx、所围成的曲边梯形位于 轴的下方，按照定义，这时定积分 的值应为)(xfyx dxfba )(负，因此 表示上述曲边梯形面积的负值；dfba （3）若在区间 上， 既取得正值又取得负值时，对应的曲边梯形的某些部
11、,)(xf分在 轴的上方，某些部分在 轴的下方，这时定积分 表示由直线 、x dxfba )(ax、 轴和曲线 围成的曲边梯形各部分面积的代数和，即曲边梯形位于 b)(xfy轴上方的面积减去位于 轴下方的面积（图 5-3） 图 5-3例 利用定义求定积分 的值1 02d解 为了便于计算，我们把区间 分成 等分，其分点为 ，,n)1,2(nixi这样每个小区间 的长度 ；取 为小区间的右端点，即令,1iix ),21(iii，于是有和式)2,(nixi， nnn iixxf nnininiii 1261)2(61(3 2321221当 时，有 ，对上式右端取极限，根据定积分的定义，有031216
12、limli1 01202 nxdxnni四、定积分的性质根据定积分的定义， 只有当 时才有意义，当 或 时，baxf )(baba是没有意义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：dxfba )(（1）当 时， ；即 b0)( badxf 0)( adxf（2）当 时， b 即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号以下假定各性质所列出的定积分都是存在的性质 两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即bababa dxgxfdxgf )()()(证 由定积分的定义，有ni iiiba xfxf10 )(lm)( niiiniii gf1010 )(l)
13、(lbabadxxf 该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的性质 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即（ 为常数） babadxfkdxf )()(k读者可自己证明性质（积分的可加性） 设 为任意的三个数，则函数 在区间c、 )(xf上的定积分有如下关系： ,bcabccaba dxfxfdxf )()()(证 当 时，因为函数在 上可积，所以无论对 怎样划分，和式的极ca, ,ba限总是不变的，因此在划分区间时，可以使 永远是一个分点，那么 上的积分和等于c,上的积分和加上 上的积分和，即,ca,bc, )()()(bciicaia xfxfxf 令 ，上式两端取极限得0 bcca
14、ba dxfxfdxf )()()(同理，当 时，cbaacbc fff )()()(移项得 cacba dxfxdxxdxf )()(即 bcaba fff )()()(性质 如果在区间 上， ，则 ,1xxaa 读者自己证明性质 如果在区间 上， ，则 ,ba0)(xfbadxf 0)(证 因为 ，所以 ，又由于 ，0)(xf ,21nii ),21(nii因此 ，令 ，则1inif,max21nx0)(li)(10 ibafdf推论 如果在区间 上， ，则,xgfdbaba )()(性质 设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则Mmxf,)()()( bMbba证 因为 ，由性
15、质 5 的推论，得xf)( bababa dxxfdm )(所以 ()()( xfabmb性质（定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间)(xf,b上至少存在一点 ，使下式成立：,，)()( abfdxfba这个公式也叫做积分中值公式证 因为 在 上连续，所以它有最小值 与最大值 ，由性质 6 有)(xf, mM，)()()( abdxfabmb各项都除以 ，得 )(abxfab )(1这表明， 是介于函数 的最大值与最小值之间的数，根据闭区间dxfab )(1上连续函数的介值定理，在 上至少存在一点 ，使得,，即 dxfabf )(1)( )()( abfdxfba性质的几
16、何意义是：如果 ，那么以 为曲边，以0为底的曲边梯形的面积等于 以 上某一点 的函数值 为,a,b)(f高，以 为底的矩形的面积人们称 b为函数 在区间 上的平均值（图 5-4） 图dxfa )(1)(f,a5-4第二节 微积分基本定理在第一节中，我们举了一个利用定义来计算定积分的例子，从中可以看出，就是对于比较简单的函数，从定义出发计算定积分也是比较麻烦的，而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的因此寻求一种较为简单的计算定积分的方法是非常重要和有意义的定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例入手探求定积分计算的思路和方法一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系
17、从第一节的引例中我们知道，如果变速直线运动的速度函数 为已知，我们可以利)(tv用定积分来表示它在时间间隔 内所经过的路程，即 ,babads 另一方面，若已知物体运动方程 ，则它在时间间隔 内所经过的路程为)(ts,)(asb由此可见，位置函数 与速度函数 之间有如下关系)(ts)(tv，baasd )(因为 ，即位置函数 是速度函数 的原函数，所以上式表明：速度函)(tvs )(tstv数 在区间 上的定积分等于 的原函数 在区间 上的增量)(tv,bav)(s,b撇开上述问题的具体意义，抽象出所得到的定积分与被积函数原函数之间的关系，我们就得到了在数学上普遍适用的定积分的计算方法，这就是
18、我们将要学习的牛顿莱布尼茨公式二、可变上限的定积分设函数 在闭区间 上连续， 为 上的一点，那么 在区间 上)(xf,bax,ba)(xf,xa可积分，且有积分 与之对应，显然这个积分值是随着 而变化的因此dxfa 是上限 的函数，我们称之为可变上限的定积分或积分上限的函数，记作 ，dxfa )( )(x即（ ） dxfxa )()(b积分变量与积分上限用同一字母表示容易造成理解上的误会，因为积分值与积分变量的符号无关，所以我们用 代替积分变量 ，于是，上式可写成txadtf )()(可变上限积分的几何意义是：若函数 在区间 上连续且 ，则积分上,b0)(xf限函数 就是在 上曲线 下的曲边梯
19、形的面积（图 5-5） )(x,xa)(xf可变上限积分具有如下性质：定理 若函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在)(f,bxadtf )()(上具有导数，且它的导数为 ,ba)()()( xfdtfxa证 设给 以增量 （ ） ，则 在 处的函数值为 x,b、 ，tfxa )()(由此得函数 的增量 )(xdtftfxxaxa )()()( dtfdtf xxxa )再应用积分中值定理，有 ，其中 在 与 之间，)(用 除上式两端，得x)(fx由于 在区间 上连续，而 时，即 ，)(xf,ba0x图 5-5因此 ，从而令 ，对上式两端取极限，便)(lim0xffx0x得 ，定理得证 )
20、(f该定理告诉我们：如果 在 上连续，则它的原函数一定存在，并且它的一个)(xf,ba原函数可以表示成为 )()(xadtf这个定理的重要意义一是肯定了连续函数的原函数一定存在，二是初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此我们就有可能通过原函数来计算定积分三、牛顿莱布尼茨公式定理 2 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则)(xF)(xf,ba)( Fdba证 由定理知， 是 在 上的一个原函数，由题设知 )()(xtfxf,也是 在 上的一个原函数，因为两个原函数只差一个常数，所以)(xF)(f,b，CxFdtfxa)()( 在上式中令 ，并注意到 ，得 ，代入上式，得a
21、x0 a，)()( xtfxa再令 ，并把积分变量 换为 ，便得bxt)()( aFbdfba定理 2 中的公式叫做牛顿莱布尼茨公式，它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系，是计算定积分的基本公式，也称作微积分基本公式为了方便起见，以后把 记为 或 ，于是该公式也可以)(aFbbax)(baF|)(或 babaxFdf|)()( bdxf)( 根据定理 2，我们有如下结论：连续函数的定积分等于被积函数的任一个原函数在积分区间上的增量从而把求连续函数的定积分问题转化为求不定积分的问题例 计算 1 2xd解 由于 是 的一个原函数，所以arctn24)1arctn(rtrta11 2 xxd例 2
22、 计算 d 0cos解 dxxx 0 02|cos|cs2d 22 0 )(osinsi220xx例 计算 1 2xd解 当 时， 的 一个原函数是 ，现在积分区间是 ，所以有0|lnx1,221l|ln1 22dx例 计算正弦曲线 在 上与 轴所围的平面图形的面积（图 5-6） xysi,0x解 该图形也可看成是一个曲边梯形，其面积为 0sindA由于 是 的一个原函数，所以 xcosin 2)1(cos00 x注意 牛顿莱布尼茨公式适用的条件是被积函数 连续，如果对有间断点的函xf数 的积分用此公式就会出现错误，即使 连续但 是分段函数，其定积分也)(xf )(f)(不能直接利用牛顿莱布尼
23、茨公式，而应当依 的不同表达式按段分成几个积分之和，x再分别利用牛顿莱布尼茨公式计算图 5-6例 设 ，2102)(xxf求 的值df2 0)(解 这里被积函数是分段函数，我们须将积分区间分成与此相对应的区间，因此有 dxxxf 2 11 022 0)()(1036935例 求 21 cos0limxdte解 由定积分的补充定义，易知所求的极限式是一个 型的未定式，我们应用洛比达0法则来计算，先求分子函数的导数，有 xtxt dedecos 11 cos 22 )(cos 2x)in(2csx2si因此来源:exxdtex21silmli2cos01 cos0 第三节 定积分的计算由牛顿莱布尼
24、茨公式，定积分的计算问题可以转化为计算被积函数的原函数增量的问题，而原函数的求法我们在上一章中已经得到了很好的解决，所以我们可以利用已知的方 法求出原函数，然后再代入积分上下限，从而求得所要求的积分从这个意义上讲，定积分的计算问题基本上解决了但是为了定积分的计算更简洁明快，我们还是将定积分的计算方法列出与不定积分的换元积分法和分部积分法相对应的是定积分的换元积分法和分部积分法一定积分的换元积分法定理 设函数 在区间 上连续，函数 满足)(xf,ba)(tx（1） 在区间 上单值且具有连续导数 ；)(t,（2） 当 在 上变化时， 的值在 上变化，且有 ，)(tx,baa)(，则有来源:b)(d
25、ttfdxfba )()(（） 证 首先，根据定理的条件，公式（）两端的定积分都是存在的设 是 的一个原函数，)(Ff因此有 )()( abdxfba由复合函数的求导公式知， 是 的一个原函数，所以tFt )()()()()( aFbFtf 因此有 dtfdxba )(公式（1）称为换元积分公式应用换元公式（1）时，我们应注意两点：第一，用 把原来变量 代换成新变)(txx量 时，积分限也要换成相对于 的积分限，即“换元必换限”；第二，求出右端被积函数t t的一个原函数 后，不必再把 换成原来变量 的函数，只)(tf )()(F)(t要把新变量 的积分上下限代入 ，然后相减即可t例 1 计算
26、)0( 02adxa解法 1 不使用换元积分公式计算先求不定积分 设 ，dxa2tasin则 ，于是有tdaxcos tatdax)2cos1(cos222Ctt)in(2xaxa22rcsi根据牛顿莱布尼茨公式，有dxa 02 axax022rcsin241解法 2 使用换元积分法计算设 ，则 ，且当)20(sit tdcos时， ；当 时， ，于是有0xtax2t dtadtda 2 02 0 02 )cos1(cos22024sinatta例 2 求 .)( 1 02adx解 设 ，则 ，且当 时， ；当 时，txn)4(tda2sec0xtax，又 ，于是有4t tasec2dtadx
27、 04 022sec1404 0tnlsect)21l(例 3 计算 1xd解 设 ，则 ， ，当 时， ；当 时， ，于t2ttd1xt4x2t是 2 12 14 1 ttxd 21)ln(t)ln3(3l例 4 计算 2 05sicoxd解 设 ，则 ，且当 时， ，当 时， ，于tt 0x1t2x0t是61 sinco01050 152 05 tdttxd此例中，如果我们不明显地写出新变量 ，那么定积分的上下限就不要变化，现在用这种方法计算如下： 2 052 05 )(cossinco xdxd616cs0例 5 设 在区间 上连续，证明：xf,a（） 如果 是 上的奇函数，则 ；0)(
28、 adxf（） 如果 是 上的偶函数，则 xf, aadxf 0 )(2证 因为 ，对其右边第一个积分作代换 ， aaa xfdxf 00 )()()( t则 aaaa dxftftff 0 00 0 )()()()(于是 a dxxdxf 0 0 （）如果 是奇函数，那么 ，即)(ff ax（）如果 是偶函数，那么 ，即xf )(2)(xfffaaddx 0 利用此结论，可简化一些对称区间 上的定积分的计算，如,， 0sin2 1xd564|204 04 xdx例 6 证明 ；2 02 0 )(cos)(iff证 作变换 ，则 ，当 时，tx ttxdtcos)2sin(,0x； 时， ，于
29、是有2txt 20200 22 0 )(cos)(cos)(cos)(sin dxfdtfdtfdxf二、定积分的分部积分法定理 若 、 在 上有连续导数 、 ，则uv,ba)(xuvbabadxuvxdvu （2）或 （3）证 由乘积的导数公式有 ,等式两边分别求在 上的定积分，并注vu ,ba意到 有 移项就得babauvdx )( babadx ，vdxv |写成微分形式就是 证毕babau 例 7 计算 ex 1ln解 设 ， ，则 ， ，由分部积分公式ul)2(xdvdxu12v41lnl 12 1 eex eee 有时分部积分法和定积分的换元积分还可结合使用例 8 计算 dxe1
30、0解 先用换元法，令 ，则 ， ，且当 时， ， t2txtd0xt时， ，于是有 1xtdtexe1 010 2再用分部积分法计算上式右端的积分，设 ， ，则 ， ，于tudtevtutev是 1)(1 0101 0 edttedt t因此 21 0xe例 9 求 为大于 1 的正整数） nxdIn( cos2 0解 xdxdnn sicocs 120-2 0 i)1(cosi 2 0221nxnn cos)( 0xdnnn)(s12 02 即nnnIII)1()(2移项，得 2nnII这个公式叫做积分 关于下标 的递推公式由于nI， 2 d 0x1 dcos2 01xI所以有 为为nnxI
31、nn 21431(5 dcos2 0 第四节 定积分的近似计算在前面的讨论中我们知道，计算定积分需要求出被积函数的原函数，而确实存在这样的函数，它的原函数不能表现成有限形式.另外，也有函数是由图形或图表给出的情形，这些函数的定积分显然难以应用牛顿莱布尼茨公式，本节介绍的近似计算方法可以很好地解决这些问题.因为 的几何意义是由直线 、 、 轴和 所围badxf )( axbx)0()xfy成的曲边梯形的面积，因此，只要设法求出这个曲边梯形的面积，就解决了定积分的计算问题.下面的讨论就从这个想法入手.常用的近似计算方法包括矩形法、梯形法和抛物线法，我们这里只介绍前两种.一、矩形法矩形法就是将曲边梯
32、形分割成若干个小的窄曲边梯形，将每一个小的窄曲边梯形用小的窄矩形去近似，通过求这些小的窄矩形面积得到定积分的近似值（图 5-7）.矩形法的具体步骤如下：（1）用分点 将区间 划分成 等份，每个小区间的bxxan,1210 ,an长度为 （ 2）用 表示函数 在分点 处的函数值. ny,10 )(xf nx,10（3）如果取每一个小区间左端点的函数值作为小窄矩形的高，则有近似计算公式： ydxf nba 110 )(. )(110nyyab（1）如果取每一个小区间的右端点作为小窄矩形的高，则有近似计算公式： xyxydxf nba 21 )(. )(21nyab（2）运用以上近似公式时，显然是分
33、的越细越好.图 5-7 图 5-8二、 梯形法梯形法就是用梯形去近似地代替小窄曲边梯形（图 5-8） ，从而得到近似计算公式的方法.梯形法的计算公式为： xyxyxydxf nba )(21)(21)(21)( 20 . 11nna（3）例 河床的横断面如图 5-9 所示，设河宽 10 米，每隔一米测出河深，为了计算最大排水量，需要计算它的横截面积，试根据表中所给出的测试数据，用两种方法计算横断面的面积.解 从所给数据知道，区间被分成了 10 等分，每等分长为 ，10x（1）矩形法：由公式（1） ，有 )(091yyabA 3.2. ）米 2(7.1在本例中，显然用公式（2）与此结果相同.（2
34、）梯形法：由公式（3）来源:9210)(210yyabA 3.17.4.)( . ）米 27.13x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y0 1.0 1.2 1.4 1.7 2.0 1.9 1.7 1.5 1.3 0图 5-9第五节 定积分的应用在引入定积分的概念时，我们曾举过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程两个例子，其实在几何上、物理上类似的问题很多，它们都可归结为求某个事物的总 量的问题，解决这类问题的思想是定积分的思想，采用的方法就是微元法（也称元素法） ，以下介绍这种方法.一、定积分的微元法在利用定积分解决实际问题时，经常采用所谓的微元法，实际上，定积分的定义中就体现了这
35、种方法.设总量 是与自变量 、函数 相关的量，其计算步骤如下：Ux)(f（） 将所求量 在对应区间 上分割为部分量 之和.,baiU用一组分点 bxxn1210把区间 分成 个小区间，整体量 相应地被分为 个部分量 ，而,banU),21(ni.niiU1（）计算部分量 的近似值. ),21(ni在第 个小区间上，求出部分量 的近似表达式i iU.),21()nxfiii （）求和，得到 的近似值 inini xfU11)(（）取极限 dfxfbaini 10)()(lm上述四个步骤中，第二步是将 表达成定积分的关键，有了这一步，定积分的被积表达式实际上已经被找到.用以上思想方法解决实际问题，
36、就是所谓的微元法或元素法利用微元法的步骤为：（） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 为积分变量，并确定它的变化区间x；,ba（）把区间 分成 个小区间，任取其中的一个小区间 ，求出相应于,ban ,dx此小区间的部分量 的近似值，如果 能近似地表示为 上的一个连续函数在 处UUbax的值 与 的乘积，就把 称为量 的微元，记作 ，即)(xfddxf)( U；xf)(（）以所求量的微元 为被积表达式，在 上作定积分，得xf)( ,babadxfU )(这就是所求量 的积分表达式.下面我们用微元法来解决一些实 际问题.二、平面图形的面积直角坐标情形在求曲边梯形的面积时，我们知道由直线 、 、
37、轴和axbx所围成的曲边梯形的面积是 ，其中被积表达式)0()xfy dfA )(就是直角坐标系下的面积元素.df(此方法可以推广，如果一个平面图形由连续曲线 、 及直线 、)(xfy)(gax所围成，并且在 上 （如图 5-10） ，那么此图形的面积为 bx,ba)(xgfbadxfA )(例 计算由两条曲线 和 围成的图形的面积.2xy解 两条曲线围成的图形如图 5-11 所示，为了具体定出定积分的上下限，先求出这两条曲线的交点 和 ，从而所求面积的图形在 和 之间.)0,(1, 0x1图 5-11图 5-10取横坐标 为积分变量，其变化区间为 ，取 上的任一小区间 ，在x1,0, ,dx
38、这小区间上窄条的面积近似于高为 、底为 的窄矩形的面积，从而得到面积的近2xd似表达式为 xdA)(2这就是面积微元，以 为被积表达式，在 上作定积分，便得所求面积为x)(21,01 0 0322xd由于曲线 在曲线 的上方，所以由公式xy2xybadxgfA )(也可直接求得该图形的面积. 例 2 计算抛物线 与直线 所围成的图形的面积.xy24xy解 这个图形如图 5-12 所示为了定出这图形所在范围，先求出所给抛物线和直线的交点解方程组,42xy得交点 和(8，4)，从而知道这图形在直线 及 之间. )2,(2y4现在，选取纵坐标 为积分变量，它的变化区间为 (读者可以思考一下，取横y
39、,坐标 为积分变量，有什么不方便的地方)相应于 上任小区间 的窄x ,dy条面积 近似于高为 、底为 的窄矩形的面积，从而得到面积元素dy21)4(ydyA)以 为被积表达式，在闭区间 作定积分，便得所求的面积为yy)214(4,2= = 18.dy42)1( 4236y例 求椭圆 的面积.byax图 5-13图 5-12解 如图 5-13 所示，因为椭圆关于两个坐标轴都是对称的，所以它的面积为,dxyAa 0)(4利用圆的参数方程为tbysinco应用定积分换元法，令 , ，则 ，当 由变到 时， 由taxtdaxsinxat变到，所以2 0 20 2 sin4)sin(i4 tdabdta
40、tbAt1si 0一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时，如果 满足)(tyx)(tx， 在 （或 ）上具有连续导数， 连续，则由、a)(b)()(t, ty曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为 )()(dttdxfAba极坐标的情形有些平面图形的边界曲线用极坐标表示比较简单，下面推导极坐标系下的面积计算公式.设曲线方程为 ， 在区间 上连续，且 ，我们称由)(r,0)(、 、 围成的图形为曲边扇形，如图 5-14 所示，下面用微元法来计)(r算曲边扇形的面积.取 为积分变量， 的变化区间为 ，相应于任一小区间 的窄曲边扇,d形的面积可用半径为 、中心角为 的圆扇形的
41、面积来近似代替，从而得到这窄)(rd曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素为 ，以 为A2)(12)(1被积表达式，在闭区间 上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为, 2)(1dA图 5-14 图 5-15例 求心脏线 所围成图形的面积.)0(cos1(ar解 心脏线所围成的图形如图 5-15 所示，该图形对称于极轴，因此所围成的面积是极轴以上部分面积的两倍.对于极轴以上的图形， 的变化区间为 ，相应于 上任一,0,0小区间 的窄曲边扇形的面积近似于半径为 、中心角为 的圆扇形,d )cos1(ad的面积，从而得到面积元素为，ddA2)cs(21于是为2 02 002223 sin41i3)
42、cos1( )cos()aadda 例 求双纽线 所围成的平面图形的面积.)(cosr解 该曲线围成的图形如图 5-16 所示.因为 ，所以 的变化区02r间为 、 ，又由于图形关于两个坐标轴对称，故只考虑4,5,3第 图 5-16一象限的面积，于是全部图形的面积为 图 5-16 4 0224 02coscos1 adadaA三、体积1平行截面面积为已知的立体体积设有一立体，如图 5-17，其垂直于 轴的截面的面积是已知的连续函数 ，且立体x )(xA位于 、 两点处垂直于 轴的两个平面之间，求此立体的体积.axb取 为积分变量，其变化区间为 ，相应于 上任一小区间 的小薄,ba,ba,d片的体积近似等于底面积为 、高为 的扁柱体的体积，从而得到所求的体积元素为)(xAd，xV)(于是所求立体的体积为 .bax )(来源:图 5-17 图 5-18例
