1、研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数 中，比例系数 k 有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数 图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足为 M、N（如图 1 所示），则矩形 PMON 的面积 S=PMPN=|y|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，它们与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数。从而有 。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。应用一：比较面积大小例 1、如图 2，在函数 （x0）的图象上有三点 A、B、C。过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线。过
2、每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 ，则（ ）。A、 B、C、 D、解：根据反比例函数中 k 的几何意义可知 。所以 。故选D。应用二：求面积例 2、若函数 与函数 的图象相交于 A、C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC的面积为（ ）。A、1 B、2 C、k D、分析：如图 3，若先求出 A、C 两点的坐标，再求ABC 的面积，则解题过程复杂烦琐。若能利用反比例函数中 k 的几何意义来解，则快刀斩乱麻。解：由反比例函数图象关于原点成中心对称知 O 为 AC 中点。根据反比例函数中 k 的几何意义，有： 。又ABO 与BOC 是等底等高的三角形， 。故选 A。应用三：确定解析式例 3、如图 4，反比例函数 与一次函数 的图象相交于 A 点，过 A 点作 ABx轴于点 B。已知 ，直线 与 x 轴相交于点 C。求反比例函数与一次函数的解析式。解：由反比例函数 中 k 的几何意义知 ，故 。又反比例函数图象的一支在第二象限，所以 。从而可知，两个函数的解析式分别为 和 。
