1、有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。函数 y = )(xf在 x 0点可导是 )(xf在 x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果 limxy不存在，称函数在 x 0点不可导；若 0limxy存在，则称此极限值为函数在该点的导数。2y = )(xf在 x 0点可导有以下三个条件：y = 在 x 点处及其附近有意义；左极限 0lixy及其右极限 0lixx都存在； 0limxy= 0lix，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。3导函数 y = )(f与原来的函数 y = )(xf有相同的定义域
2、 (a，b)4 “函数在一点处的导数”、 “导函数” 、 “导数” 三个概念既有联系又有区别：函数在一点处的导数 y 0= )(f是一个常数，不是变量函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的函数 y = )(xf在区间(a ， b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b) 内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 y 0= )(xf根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数 y = 的导函数 y = )(xf函数 y = )(xf在点 x 0处的导数 y 0= 就是导函数 y = )(xf在点 x = x 0处的函数值，即 = )(f| 0x5导数与连续的关
3、系：若函数 y = )(xf在 x 0处可导，则此函数在 x 0处连续，但逆命题不成立，即函数 y = f在 x 处连续，未必在 x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件因而可导性比连续性要求更高下面用两个例题说明这个问题例 1 求证：若函数在点 x 0处可导，则函数 )(xf在点 x 0处连续证明：函数 )(f在点 x 处可导，在点 x 0处有：0limx )(f 0 = 0limxy= 0lix( ) = limxy 0lix= )(0xf0 = 0， 0lix)(f= 0，即函数 )(f在点 x 0处连续例 2 求证：函数 )(xf= | x |在点 x
4、= 0 处连续，但在 x 0处不可导证明： = 0； 0limx| x | = li| x | = lim| x | = 0 ； 0limx)(f= f= | x |在点 x 0= 0 处连续 又函数 )(f= | x |在点 x 0= 0 及其附近有意义； xy= f0= ff)(= x= |=0.1,xx； 0limxy=1 ， 0lixy=1，即 0limxy不存在，所以 )(xf= | x |在点 x= 0 处不可导综上所述，函数 )(f= | x |在点 x 0= 0 处连续，但在在 x 0处不可导综上，函数 y = 在点 x 处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是： )(xf在点 x 0处有定义，不一定在 x 0处连续；但 )(xf在点 x 0处连续，一定在点 x 0处有定义，即 )(f在点 x 处有定义是 f在点 x 处连续的必要而不充分的条件。 )(f在点 x 0处连续，则 )(f在点 x 0处一定有极限，且 0limx)(f= 0x；但 )(xf在点 x 0处有极限，不一定在点 x 0处连续，即 )(xf在点 x 0处连续是在点 x 处有极限的充分而不必要的条件。)(f在点 x 0处连续是 )(xf在点 x 0处可导的必要而不充分的条件。
