1、充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。物理模型的直观解释：如图 1-2-1 电路图，当开关 A 闭合时，灯泡 B 亮，而当灯泡 B 亮时，开关 A 却不一定是闭合的；即要使灯泡 B 亮，只要开关 A 闭合着一个条件就够了，我们就称“ 开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的充分条件。一
2、般地， “若 p，则 q”是一个真命题，是指由 p通过推理可以得出 q，即由p可推出 q，记作 ，那么，就称条件 是结论 q的充分条件（sufficient condition） 。“若 ，则 p”是一个真命题，是指由 通过推理可以得出 p，即由 q可推出p，记作 q，那么，就称 q是 p的充分条件（sufficient condition） 。例如： 21x，那么， “ 1x”是“ 2”成立的充分条件；24a，那么， “a”是“ 24”成立的充分条件； 三边对应相等的两个三角形全等：“ 三边对应相等” 是“两个三角形全等 ”的充分条件；“ 1m”是函数 22(3)myx为幂函数的充分条件；警
3、示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。例如，当 4x时， 216成立，但是，当 4x时， 216也可以成立，即 x时， 2也成立，所以，是 2成立的充分条件， 4也是 16成立的充分条件。【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：图 1-1BAC示例：若 1x，则 2，可以改写成： 21x；是充分条件；（1）个位数字是 0 的自然数能被 5 整除；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为 R的函数 ()
4、fx为奇函数，则 (0)f解：（1）个位数字是 0 的自然数 这个自然数能被 5 整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等 这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等 这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为 R的函数 ()fx为奇函数 (0)f；是充分条件。点拨:本例还是练习命题的条件和结论，同时判断此命题的真假，由命题的真假可以判断条件是否为充分条件，当命题为真时，条件是充分条件；当命题为假时，条件不是充分条件。针对性练习：下列各题中，哪些 p是 q的充分条件：（1） p： 0,n且 1， ： 1n；（2） ： 5xy， ： 2370xy；（3） p： 0a
5、b， q： ab；（4） ：直线 1l平面 ， 2l平 面 ， q： 1l 2。解：（1） 是 的充分条件；（2） p是 的充分条件；（3） p不是 q的充分条件；（4） p不是 q的充分条件；点拨：可以用两种方法判断：（一）判断命题的真假，如（4）是命题如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行，是假命题；（二）由 pq：（1）因为 1n且 0,所以 1n，即 1；（2）由 5xy得： x代入 237yx得：22(5)37(5)10xx=右边；（3）观察 2()abab，式子的正负是由 ab和 两个式子的符号确定的，不能由一个式子 的符号确定。二、必要条件如图1
6、-2 电路图，当开关A 闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关 A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。一般地， “若 p，则 q”是一个真命题，是指由 p通过推理可以得出 q，即由p可推出 q，记作“ ”那么，结论 q是条件 的必要条件（necessary condition） 。“若 ，则 p”是一个真命题，是指由 通过推理可以得出 p，即由 q可推出p，记作“ q”，那么，就称 p是 q的必要条件（necessary condition） 。警示：由必要条件的定义可以看出，必要条件与充分
7、条件是一个真命题的两种说法：真命题的条件是充分条件，真命题的结论是条件的必要条件，即如果此结论不成立，那么条件也就不成立。假命题的条件不是命题结论成立的充分条件，但是有可能是必要条件，例如，命题：“ 若 p： 23x，则 q： 3x”是假命题， p不是 q的充分条件；由 q，所以 是 的必要条件。【例】已知命题“ 若 ： 1m，则 ： 20xm无实数根”，试判断p是 的什么条件？ q是 p的什么条件？解： 是 的充分条件，不是必要条件， q是 p的必要条件，不是充分条件。点拨：方法（一）方程 20xm无实数根，所以 14m，所以当1m时，方程 2x无实数根， p是 q的充分条件， q是 p的必
8、要条件，又因为由 4不能推出 1，所以由 不能推出 ， 不是 的充分条件，BA C图 1-2p不是 q的必要条件。方法（二）命题“ p： 1m， q： 20xm无实数根”等价于“ ： 1， ： 4”，因为 1(,)(,)4，所以命题“若 p：m，则 q： ”为真命题，命题 “若 q： ，则 ： 1m”是假命题，由命题的真假来判断充分条件和必要条件。针对性练习：判断下列各命题中， p是 q的什么条件？ q是 p的什么条件？（1） p： 0,xy， ： 0xy；（2） ： 4， ： ；（3） ： 2m， q：直线 (2)3mxy与直线 30xmy互相垂直；（4） p： 3x或 ， ：解：（1） 是
9、 的充分条件，不是必要条件， q是 p必要条件，不是充分条件；（2） p是 q的必要条件，不是充分条件， 是 充分条件，不是必要条件；（3） 是 的充分条件，不是必要条件， q是 p必要条件，不是充分条件；（4） 是 的必要条件，不是充分条件， 是 充分条件，不是必要条件；点拨：（1） （2）根据不等式的性质可以判断；（3） （4）验证法和直接推导相结合。三、充要条件利用下列电路图，我么可以形象的理解充分条件、必要条件、充要条件：如图 1-3 的四个电路图甲、乙、丙、丁，开关为 A，C ，灯泡为 B，将“开关的闭合”作为条件， “灯泡亮”作为结论B甲BA C乙B丙BAC丁图 1-3图乙中，开关
10、 A 闭合时，灯泡 B 不一定亮，即由开关 A 闭合，不能推出灯泡 B 亮，但是当灯泡 B 亮时，开关 A 一定是闭合的，即由灯泡 B 亮，一定能推知开关 A 闭合，我们称“ 开关 A 闭合”是“ 灯泡 B 亮 ”的必要不充分条件；图丁中， “开关 A 闭合”不能推知“灯泡 B 亮”，即由开关 A 闭合，不能推出灯泡 B 亮，而当灯泡 B 亮时，也不能确定开关 A 是否闭合，即由灯泡 B 亮，也不能推知开关 A 闭合，所以，我们称“ 开关 A 闭合”是 “灯泡 B 亮”的既不充分也不必要条件。图甲，请同学们画出开关 A，C ， ，使得当开关 A 闭合时，灯泡 B 亮，而当灯泡 B 亮时，开关
11、A 不一定闭合，即由开关 A 闭合，能推知灯泡 B 亮，由灯泡B 亮，推知开关 A 不一定是闭合，此时称“开关 A 闭合”是“ 灯泡 B 亮”的充分也不必要条件；图丙，请同学们画出开关 A，使得开关 A 闭合，则灯泡 B 亮；灯泡 B 亮时，开关 A 闭合，即“ 开关 A 闭合”是“ 灯泡 B 亮”的充分必要条件，简称为充要条件。再如，已知 p：数列 na是等差数列， q：对任意的 *nN，有1nad（常数） 。我们知道，由 p，且 p，所以 既是 q的充分条件，又是 q的必要条件；我们就称 是 的充分必要条件，简称充要条件。我们还可以发现， 既是 p的充分条件，又是 必要条件，所以 也是 p
12、的充要条件。一般地，如果既有 q，又有 p，就记作：q此时，我们说， p是 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）,显然，如果 是 q的充要条件，那么 也是 p的充要条件。概括地说，如果 ，那么 p与 互为充要条件。引申与思考：（1）命题成立的条件一共可以分为四种条件：充分不必要条件，即 pq但是 p；必要不充分条件： qp但是 q；充要条件： pq且 p；既不充分也不必要的条件：即 pq且 p。（2）充要条件的意义是： 是 q的充要条件就是“有 ，则 必成立；无 ，则 必不成立” ，简记为“有之必有果，无之则无果 ”。（3）判断四
13、种条件的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二步，尝试用条件推结论（证明充分性） ，再尝试用结论（作为条件）去推条件（证明必要性） 。其中列举反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，得出条件是结论的什么条件。（4）图甲，将两个开关 A，C 并联后与灯泡 B 串联；图丙，【例】判断下列条件， p是 q的什么条件？（1） AB中，是 的中点， p： 90， q： AMBC（2） p：若函数 2yaxb过原点， ： ,aRb （3） ： b， q：直线 与圆 22()()xy相切 （4）已知 ,c为在同一平面内的非零向量。 p： acA， q： bc 解：（1） （2）的 p是
14、 的充要条件；（3） 是 q的充分不必要条件；（4 ） p是 q的必要不充分条件，点拨：（1） （2）需要判断充分性和必要性，分两步来证明。（3）当 ,ab时，直线 2yx与圆 22()()ayb也相切；（4）需要熟练的向量知识，因为 cos,cos,abaAA，所以 cos,s,a AA ，所以只要 ,b在 a上的投影相等，不一定有 bc，例如 c，而 ,bc，仍有 c。当 时， ,a与 ,相等， ，所以有 A。针对性练习：下列命题中：（） ABC中， DAB，垂足为， p： 2CDAB， q：90，则 p是 q的充要条件；（2） “ab”是“ 2”的必要条件；（3） “ab”是“ 2c”的充要条件；（4） “ ”是“ b”的充要条件；真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4解：点拨：命题（1）为平面几何题， （4）是不等式的性质，从充分性和必要性两个方面易验证。 （2）掌握了不等式的性质可以判断；熟练了实数的运算结果也可以判断，例如， 21()1， 20()01，所以是既不充分也不必要条件；（3） 2abc，例如， 2c时，有 2acb，反之，2c，因为由 2ab得： 0，所以 0，是必要不充分条件。
