1、双曲线 教材解读一、知识精讲1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值” 丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支） ；二要注意“常数” 的条件，即常数 2a |F1F2|时，其轨迹不存在。2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）两种双曲线的异同：相同点：形状、大小相同，都有a0， b0，c 2=a +b 2；不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在 x 轴上 标准方程中 x 2项的系数为正；双曲线的焦点在 y 轴上 标准方程中 y
2、 2项的系数为正。（4）与椭圆标准方程的不同：双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“”号；双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线 12byax和 12bxa来说，如果 x 2项为正的，则焦点在 x 轴上；x 2项的分母是 a；如果 y 项为正的，则焦点在 y 轴上；y 项的分母是 a 2，a 不一定大于 b，这和椭圆有明显的不同。双曲线有两个顶点，离心率 e1；而椭圆有四个顶点，离心率 e0，b0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：渐近线方程为 mxny0 的双曲线的方程为
3、：m 2x n 2y （ 0且为常数） 。与双曲线 2ax by1（a0，b0）有共同渐近线的双曲线方程可设为2ax by （ 0且为常数） 。（4）实轴与虚轴相等（即 a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为 y=x，离心率 e= 。二、方法点拨 1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应注意：（1）动点是否满足双曲线的准确定义。 （2）条件“2a3 时，有 k30,k+30，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=4 是可以的，这不在 k3 里故应该选 A2、双曲线的几何性质的考查双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目出现上升趋势。例 2(陕西卷
4、)已知双曲线 =1(a )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心x2a2 y22 2 3率为A.2 B. C. D.3263 233解法 1：双曲线21xya(a )的两条渐近线的夹角为 ，则 tan6，所23以 a2=6，双曲线的离心率为 ，选 D233解法 2：认识两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有 32,8,6,322ecbaa所 以,选 D;3、双曲线有关的综合问题以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。例 3 （四川卷）已知两定点 12,0,F，满足条件 21PF的点P的轨迹是曲线 E，直线 ykx与曲线 E交于
5、AB两点。如果 63A，且曲线上存在点 C，使 OABmC，求 的值和 C的面积 S。分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。解：由双曲线的定义可知，曲线 E是以 12,0,F为焦点的双曲线的左支，且 2,1ca，易知 b， 故曲线 的方程为 10xy设 12,AxyB，由题意建立方程组 2k消去 ，得 20kx又已知直线与双曲线左支交于两点 ,AB，有212080kxk解得 21k又因为 212ABx 22114kxx22214k2依题意得 263k 整理后得 42850k 257k或 24 但 1 2故直线 AB的方程为 50xy设 ,cCxy，由已知 OBmC，得 12,cxymxy所以 1212,cxym， 0又 1245kx， 21212281kkx即点 8,Cm将点 的坐标代入曲线 E的方程，得 280641m 得 4，但当 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意所以 ， C点的坐标为 5,到 AB的距离为 213 所以 C的面积 6S
