1、椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为_ 来源:1.解析：把椭圆的 方程化为标准形式 1 ，故 a2 ，b 21，所以y21m x21 (1m1) 1ma ，b1，2 4，解得， m ，符合题意1m 1m 14答案：14已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 ，则椭圆的方程是2.13_解析：由题意，知 2a12， ，故 a6，c2，ca 13b 2a 2c 232，故所求椭圆的方程为 1.x236 y232答案： 1x236 y232若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于_3.解析：由题意，知 bc，即 a2
2、c 2c 2，a 22c 2，e 2 ， 来源:12故 e .22答案：22已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 e 满足 0b 0)上一点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，如果 PF 1F275，5.x2a2 y2b2PF 2F115 ，则椭圆的离心率是_来源:解析：在 RtP F1F2 中，由正弦定理，得 2c，PF1sin15 PF2sin75 F1F2sin90 2c.PF1 PF2sin15 sin75由椭圆的定义，知 PF1PF 22a.代入上式，有 e .ca 1sin75 sin15 63答案：63已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在 x 轴上，短轴的一个顶点 B 与两个
3、焦6.点 F1，F 2 组成的三角形的周长为 42 ，且F 1BF2 ，求椭圆的标准方程323解：设长轴长为 2a，焦距为 2c，则在F 2OB 中，由F 2BO 得：c a，所以 3 32F2BF1 的周长为 2a2c 2a a42 ，a2，c ，b 21；故所求椭圆的标准3 3 3方程为 y 21.x24已知椭圆中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e ，点 P 到这个椭圆上的点7.32 (0， 32)的最远距离为 ，求此椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的距离等 于 的点的坐标7 (0，32) 7解：设所求的椭圆的方程为 1(a b0)，由 e ，得 ，即 ，则x2a2 y2b2 32
4、c2a2 34 a2 b2a2 34b2 a2.故 x2a 24y 2.设 Q(x，y)为椭圆上的任意一点，则 PQ2(x0)142 3y 23y a 2 3 a 23.分类讨论：若 0b0)，则 cos45 ，得x2a2 y2b2 22PF1PF24a 22PF 1PF24c 2，故(2 ) PF1PF24a 24c 24b 2，即 PF1PF22 2.4（a2 c2）2 2又 PF1PF2 a2， a 2，(PF1 PF22 )24（a2 c2）2 2解得：e 2 ，即 e ，又 e0，求证：PAPB.解：(1)由题设知，a2，b ，故 M(2，0)，N(0， )，所以线段 MN 中点的坐
5、标为2 2.由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标( 1， 22)原点，所以 k . 22 1 22(2)直线 PA 的方程为 y2x ，代入椭圆方程得 1，解得 x ，因此 P ，Ax24 4x22 23 (23， 43).于是 C ，直线 AC 的斜率为 1，故直线 AB 的方程为 xy 0.因(23， 43) (23， 0)0 4323 23 23此，d .|23 43 23|12 12 223(3)证明：法一：将直线 PA 的方程 ykx 代入 1，解得 x .记 x24 y22 21 2k2，则 P(， k)，A(， k)于是 C(，
6、0)故直线 AB 的斜率为 ，21 2k2 0 k k2其方程为 y (x)，代入椭圆方程得 (2k 2)x22 k2x 2(3k22) 0，解得 xk2或 x.因此 B . （3k2 2）2 k2 (（3k2 2）2 k2 ， k32 k2)于是直线 PB 的斜率 k1 k32 k2 k （3k2 2）2 k2 .k3 k（2 k2）3k2 2 （2 k2） 1k因此 k1k1，所以 PAPB.法二：设 P(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x10，x 20，x 1x 2，A(x 1，y 1)，C(x 1，0)设直线 PB，AB 的斜率分别为 k1，k 2.因为 C 在直线 AB 上，所以 k2 .0 （ y1）x1 （ x1） y12x1 k2从而 k1k12k 1k212 1y2 y1x2 x1 y2 （ y1）x2 （ x1） 1 0.因此 k1k1，所以 PAPB
