1、3.4 基本不等式以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的生成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。特进行如下教学设计：（一）设问激疑，创设情景展示北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，让学生思考, 图案由哪些几何图形拼凑而成，由此你能否找到一些相等或不等关系？接着通过三个问题问题 1：设 CG=a,DG=b,正方形 ABCD 的面积为 S= ；问题 2：四个全等直角三角形的面积之和为 S= ；问题 3：S 与 有什么样的大小关系？ 引导学生通过面积关系得到重要不等式 2ab，进一步启发学生什么时候这两部分面积相等。设计意
2、图: 充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。三个问题的设置引导学生逐步探索，最终通过自己的发现而得到重要不等式，并且明确等号成立时的情形。分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。接着提出问题：当 ,ab为任意实数时， 2ab成立吗?若成立，请给出证明. 设计意图:让学生利用前面学过的比较法结合初中学习的完全平方公式给出代数证明。让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。（二）乘胜追击，得出结论提出新的问题：若 0,ab用 ba,分别代替 2ab中的 ,ab又能得到什么结果？设计意图:让学生亲自完成代换过程，亲身体验知识的生成过程，既在无形中渗透了代换的思
3、想，又拓展了学生的思维。通过代换得到 2ab后，强调常写成 2ab种形式，为后面两个概念埋下伏笔，继而引导学生挖掘该式适用的范围及等号成立的条件。a bEDBA C（三）多法证明，趣味无穷（1）继续让学生思考该式的证明方法，再次巩固前面学过的比较法和初中学习的完全平方公式，让学生体会证明前后两个不等式方法上的类比思想。（2）了解分析法对基本不等式的证明（学生完成填空）要证: (0,)ab 即证： 要证,只要证： 0 要证,只要证：( ) 2 显然, 是成立的,当 ab时, 的等号成立。由于没有知识铺垫，分析法对学生来说了解就行，完成填空即可。（3）探究基本不等式的几何解释给出题干：如图, AB
4、 是圆的直径, O 为圆心，点 C 是 AB 上一点, AC=a, BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD.提出问题： 2ab在圆中表示什么？ 在圆中表示什么？（难点）解决问题时需要引导学生发现图中一些垂直关系，然后让学生先行自己思考，然后交流讨论得出结论，并进一步理解等号成立的条件。在此过程中教师的适当引导与学生间的交流起到了分解难点螺旋上升从而降低了证明难度的目的，最终顺利地解决了问题。（四）九九归一，得出结论基本不等式： (0,)2ab当且仅当 ab时等号成立解释几点：两个概念：几何平均数与算术平均数，这也是写成这种形式的原因；强调适用范围及等号成立的条件；分
5、析式子结构特点： 基本不等式的左式为积形式, 右式为和形式, 该不等式表明的是两个正数的和与这两个正数的积之间的不等关系, 指出运用该不等式可作两正数和与积之间的不等变换.通过列表的形式，比较两个不等式 2ab和 2ab的异同点，通过对比进一步加深学生的认识。（五）初步运用，归纳提升根据学生的接受能力，我安排了两道简单例题：例 1.（1）已知 0,ab且 10a，求 ab的最大值.(2) 已知 且 36，求 的最小值.设计意图:让学生初步体验基本不等式的应用，引导学生观察例题的条件和所求，从而体会基本不等式的数学本质：两个正实数的和与乘积的不等关系。在此基础上，对不等式加以变形以便更好的应用。
6、再次分析题目引导学生感知求最值必须满足的三个条件：一正二定三相等，缺一不可。（六）知识应用，尝试练习为了巩固以上学习的知识设计以下两道练习题：1.已知 0x，当 取何值时， 1x有最小值，最小值是多少？目的是让学生进一步认识并理解要求和的最小值，积必须是定值，并且要更深层次的理解 2ab中的 ,仅仅是一个身份，可以代表任何正的代数式。2.以找茬形式给出三个求最值问题的具体解法，进一步巩固基本不等式求最值必须满足的三个条件一正二定三相等。（七）反思小结，培养能力本节课结束之前，教师要及时针对本节所学引导学生讨论并试着总结：1.我们从几个角度认识了基本不等式？应用了哪些数学思想和数学方法？2.基本不等式常用的两个变形？3.基本不等式的应用？必须满足的条件？（八）课堂作业（全体都有） 、课后作业（必做与选做） ，自主学习设计意图:课堂作业巩固学生所学的新知识，体会基本不等式求最值在实际生活中的应用，课后作业使不同层次的学生得到应有的提高，将学生的思维向外延伸，达到熟练使用基本不等式的目的，利用选做题可以同时为下一节课作好铺垫。
