1、简析直线斜率的解题功效直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度1 借助直线的斜率巧解应用题例 1 某校一年级为配合素质 教育，利用一 间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 (90180 )镜框中，画的上、下 边缘与镜框下边缘 分别相距 a m，b m(a b)问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解 建立如图所示的直角坐标 系， AO为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x
2、轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x0)，欲使看画的效果最佳，应使ACB取得最大值由三角函数的定义知：A、B 两点坐 标分别为( acos，asin)、(bcos，bsin)，于是直线 AC、BC 的斜率分别为 ：kAC=tanxCA= xacosin， xbxCBkBcosintan于是 tanACB= AC1 cos)(in)(i2 ba由于ACB 为锐 角，且 x0,则 tanACB cos)(inba，当且仅当 x=x，即 x=ab时，等号成立，此时ACB 取最大值， 对应的点为 C( ,0)，因此，学生距离 镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳点评 本题是一个非常实际的数学 问
3、题，它不 仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐 标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值，从而 转 化为有关斜率的问题2 借助直线的斜率比较大小例 2 设 M= 10,1022N，则 M 与 N 的大小关系为( )AM N BM=N CM N D无法判断解析 将问题转化为比较 A( 1， 1）与 B(，）及 C(，）连线的斜率大小，因为 B、C 两点的直线方程为 y=10x，点 A 在直 线的下方， kAB kAC,即 M N答
4、案：A点评 如果此题按常规方法处 理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理3 借助直线的斜率求直线的方程例 3过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x,y 的正半轴于 A,B 两点，求（1） ABO 面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若 PA PB取最小值时，求直线的方程解析 显然直线效率存在，设直线方程为 y-1=k(x-2)(k0 和 0ab 知点 A 在直线 y=x 在第三象限的图像上，点 B 在直线 y=x 在第一象限的图像的下方，于是可得斜率 OBAk，即 bam，原不等式得证点评 这是新教材高二数学上册上的一道例题教材上是用比较法去进行证明的，但细细
5、研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式5 构造直线斜率解决变量或参数范围问题例 5 若 yxp,在圆 6322y上运动，求 xy的取值范围解 因为 是直线 OP（的斜率，在圆AxOy=xByx PCO6322yx上，当 p 点是由原点 O 向圆作切线的切点时， xy取到最大值与最小值设直线 OP 的斜率为 k，直线 OP 的方程为 y=kx，圆心 C 的坐标为 3,，半径为 6由于圆心 C 到切线的距离等于半径 6，于是可得方程： 612k，解得23221kk所以 xy的取值范围为
6、0,32,0点评 xy可以看成是点 p与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设k= ，得函数 y=kx于是所求 xy的取值范围问题就可以转换为求函数 y=kx 所对应直线的斜率的取值范围问题链接练习1在等差数列 na中， da及求 183,2,62已知等腰直角三角形 ABC 中， C90，直角 边 BC 在直线 2 x+3y-6=0 上，顶点 A 的坐标是(5，4)，求边 AB 和 AC 所在的直线方程3已知三角形三顶点坐标分别为 A（2，3） ，B（7，9） ，C（18，9） ，求 AB 边上的中线链接练习参考答案1提示：从函数的观点来看，在等差数列中通项 na是自变量 的一次函
7、数，则两点和3,a8,即 21,6,3和 都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为5k=3由直线方程的点斜式可得： 36nan，整理得13na所以 3,01da2提示：点拨与提示：利用等腰直角三角形的性 质，得出 ABC45，再利用夹角公式，求得直线 AB 的斜率，进而求得了直 线 AB 的方程.直线 BC 的斜率 kBC 32，直 线 AC 与直线 BC 垂直， 直线 AC 的方程为 y4 （ x5）即 3 2 y70ABC45， 132,11ABBCAkk,即 kAB5 或 kAB 1AB边所在的直线方程为: y4 5（ x5）或 y45 （ x5）,即 x5 y150 或 5 x y290.3提示：求中线方程， ，那么 AB边上的中线 CD 的方向向量为 ，也就是 ，因而 直线 CD 的斜率为，那么直线 CD 的方程为 ，整理得
