1、第 2 课时 余弦定理知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，那
2、么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦
3、定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA= ，cos B= ，cos C= .bca2acb2abc2由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法 1：（解析
4、法）如图所示，以 A 为原点，ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系.则 A（0,0）, C(bcosA,bsinA),B(c,0),由两点间的距离公式得 BC2=（ bcosA-c） 2+(bsinA-0) 2,即 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.方法 2：（几何法）如图.当 ABC 为锐角三角形时，过 C 作 CD AB 于 D，则CD=bsinA,AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA. 在 Rt BCD 中， BC2=CD2+BD2,即 a2=b2sin2A+(c-bcosA)
5、2.所以 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.如图，当 ABC 为钝角三角形时，过 C 作 CD 垂直于 AB 的延长线，垂足为 D，则 AD=bcosA,CD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在 Rt BCD 中 , BC2=CD2+BD2,即 a2=b2sin2A+（ bcosA-c） 2.所以 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证： b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一
6、解；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 .（2）公式表达:a2= ;b2= ;c2= .(3)变形:cosA= ;cosB= ;cosC= .2.余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形.答案 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦
7、 两倍 (2) b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3) bca2b2.夹角 三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形例 1 在 ABC 中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大角和 sinC. 分析 在三角形中，大边对大角，所以 a 边所对角最大. 解析 a c b, A 为最大角,由余弦定理得， cos A= = ，bc2537221又0 A180, A=120，sin A=sin120= .3由正弦定理 得，asinCcisinC= = = .aAci723514最大角 A 为 120，sin C= .说明 （1）求 sinC 也可用下
8、面方法求解：cosC= = = ，abc23752214C 为锐角.sinC= = .2cos121（(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用 1在 ABC 中，已知( b+c)：( c+a)：( a+b)=4：5：6，求 ABC 的最大内角.解析 设 b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k0). 则 a+b+c=7.5k,解得 a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k. a 是最大边，即角 A 是 ABC 的最大角.由余弦定理，得 cosA= =- ,bc210 A180, A=120，即最大角为 120.命题方向 已知两边及一角解三角形例 2 ABC 中，已知
9、 b=3,c=3 , B=30,解三角形.3分析 由题目可知以下信息：已知两边和其中一边的对角.求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长 a 的方程，求出边 a,再由正弦定理求角 A，角 C.解析 解法一：由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 32=a2+(3 )2-2a3 cos30,3 a2-9a+18=0,得 a=3 或 6.当 a=3 时， A=30, C=120.当 a=6 时，由正弦定理 sinA= = =1.bBsin3216 A=90, C=60.解法二：由 bcsin30=3 = 知本题有两解.21由
10、正弦定理 sinC= = = ,sin3 C=60或 120，当 C=60时， A=90,由勾股定理 a= = =6.2cb2)(当 C=120时， A=30， ABC 为等腰三角形， a=3.说明 知两边和一角解三角形时有两种方法：（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.(2)直接用正弦定理，先求角再求边.用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.变式应用 2在 ABC 中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边，且 cosA= ,若 a=4,b+c=6,且41bbc,最大角为 A.sinA= ，若 A 为锐角，则 A=
11、60， 又 CBA, A+B+C180，这显然23不可能， A 为钝角.cos A=- ,1设 c=x,则 b=x+2,a=x+4. =- ，242x1 x=3，故三边长为 3，5，7.三、解答题6.在 ABC 中，已知 b2-bc-2c2=0,且 a= ,cosA= ,求 ABC 的面积.687解析 b2-bc-2c2=0,( )2- -2=0,b解得 =2,即 b=2c.由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA,即 b2+c2- bc=6,与 b=2c4联立解得 b=4,c=2.cos A= ,87sin A= = ,2os115S ABC= bcsinA= .课后强化作业一、选择
12、题1.在 ABC 中， b=5,c=5 ,A=30,则 a 等于（ ）3A.5 B.4 C.3 D.10答案 A解析 由余弦定理，得 2bccosA=b2+c2-a2,255 cos305 2（5 ） 2-a2,33 a2=25, a=5.2.在 ABC 中，已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为（ ）A. B. C. D. 或363232答案 C解析 a2=b2+c2+bc,cos A= = ,bc22又0 A,A= .33.在 ABC 中，若 a= +1,b= -1,c= ,则 ABC 的最大角的度数为（ ）10A.60 B.90 C.120 D.150答案 C解析 显然 +1 -1,
13、103cos C= =- , C=120.210322414. ABC 的三内角 A、 B、 C 所对边长分别为 a， b， c,设向量 p=(a+c,b), q=(b-a,c-a).若p q,则 C 的大小为 ( )A. B. C. D. 63232答案 B解析 p=(a+c,b), q=(b-a,c-a)且 p q，( a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即 a2+b2-c2=ab,cos C= = = .2a1C= .35.在 ABC 中，已知 2a2=c2+( b+c) 2,则 A 的值为（ ）A.30 B.45 C.120 D.135答案 D解析 由已知得 2a2=c2+2b2+c
14、2+2 bc, a2=b2+c2+ bc, b2+c2-a2- bc,又 b2+c2-a2=2bccosA,2 bccosA=- bc,cos A=- ,2 A=135.6.（2011重庆理，6）若 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足( a+b) 2-c2=4，且C=60，则 ab 的值为 ( )A. B. 8-4 C.1 D.3433答案 A解析 本题主要考查余弦定理的应用.在 ABC 中， C=60, a2+b2-c2=2abcosC=ab,( a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, ab= ,选 A.347.在 ABC 中，三边长 AB=7
15、,BC=5,AC=6,则 等于 ( )ABA.19 B.-14 C.-18 D.-19答案 D解析 在 ABC 中 AB=7,BC=5,AC=6,则 cosB= = .752364919又 = cos(- B)ACC=- cos B75 =-19.35198.在 ABC 中，若 ABC 的面积 S= (a2+b2-c2)，则 C 为（ ）41A. B. C. D. 463答案 A解析 由 S= (a2+b2-c2),得 absinC= 2abcosC,tan C=1, C= .1144二、填空题9.在 ABC 中， b= ,c=2 ,A=45,那么 a 的长为 .34答案 102解析 由余弦定
16、理，得 a2=b2+c2-2bcosA= +8-2 2 = +8- =9163429163= ,所以 a= .9487216031010.在 ABC 中， AB=3,BC= ,AC=4,则边 AC 上的高为 .13答案 23解析 如图，cos A= ，43221sin A= .23. BD=ABsinA= .2311.在 ABC 中，已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12，则 cos2C= .答案 57解析 由题意得 S ABC= ACBCsinC=12,21即 58sinC=12,则 sinC= .2153cos2 C=1-2sin2C=1-2（ ） 2= .712.在 ABC 中，
17、B=60,b2=ac,则三角形的形状为 .答案 等边三角形解析 由余弦定理得 b2=a2+c2-ac, b2=ac, a2+c2-2ac=0,( a-c) 2=0, a=c.又 B=60, A=C=60.故 ABC 为等边三角形.三、解答题13.在 ABC 中， A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b.解析 解法一：在 ABC 中，由 A+C=2B， A+B+C=180，知 B=60.由 a+c=8,ac=15,则 a、 c 是方程 x2-8x+15=0 的两根.解得 a=5,c=3 或 a=3,c=5.由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=9+25-235 19.21 b=
18、 .19解法二：在 ABC 中， A+C=2B,A+B+C=180， B=60.由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c) 2-2ac-2accosB=82-215-215 19.21 b .1914.(2011大纲文，18) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， asinA+csinC-asinC=bsinB.2(1)求 B；（2）若 A=75,b=2,求 a,c.分析 利用三角形正弦定理，将已知条件 asinA+csinC- asinC=bsinB 中的角转化为2边，再利用余弦定理即可求得 B 角，然后再利用正弦定理求得 a， c 的值.解析 （
19、1） asinA+csinC- asinC=bsinB2 a2+c2- ac=b2 a2+c2-b2= accos B= = =2ac B=45(2)由(1)得 B=45 C=180-A-B=180-75-45=60由正弦定理 = =AasinbCcsin a= = = =Bbsi45i7224613c= .6245sin602si Cb点评 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当
20、遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.15.在 ABC 中， A=120,b=3,c=5.(1)求 sinBsinC;(2)求 sinB+sinC.分析 已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边 a,再由正弦定理求出sinB,sinC.解析 （1） b=3,c=5,A=120,由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA=9+25-235（- ）=49.1取正值 a=7.由正弦定理，得 sinB= = ,aAbsin14372sinC= .435sinacsin BsinC
21、= .196(2)由（1）可得 sinB+sinC= .7316.已知三角形的一个角为 60,面积为 10 cm2，周长为 20 cm，求此三角形各边长.解析 设三角形的三条边长分别为 a,b,c,B=60,则依题意，得a+b+c=20cos60= acb2acsin60=10 ,13a+b+c=20, b 2=a2+c2-ac，ac=40.由式，得 b2=20-( a+c) 2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).将代入，得 400+3ac-40(a+c)=0,再将代入，得 a+c=13.a+c=13 a=5 a=8,得 ,或ac=40 c=8 c=5. b=7.该三角形的三边长为 5 cm,7 cm,8 cm.
