1、“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍 了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法” 又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例 1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BCAB ，AD=DC，BD 平分ABC.求证：BAD+ BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法 ”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于
2、点 E，作 DFBC 于点 F，如图 1-2BD 平分 ABC，DE=DF ，在 RtADE 与 RtCDF 中，CDAFERtADE RtCDF( HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=18 0，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例 2. 如图 2-1，AD BC，点 E 在线段AB 上，ADE =CDE，DCE=E CB.求证：CD=AD+ BC.AB CD图 1-1FEDCBA图 1-2分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“ 截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只 要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的
3、.证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 2-2在FCE 与BCE 中 ，CEBFFCEBCE（SAS ） ,2= 1.又AD BC，ADC+ BCD=180，DCE+ CDE=90，2+ 3=90，1+4=90，3= 4.在FDE 与 ADE 中，43DEAFFDE ADE（ASA），DF=DA ，CD=DF+CF ，CD=AD+BC .例 3. 已知，如图 3-1，1=2，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+ BCP =180.来源:学科网 ZXXK来源:学#科#网 Z#X#X#K分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，
4、让它们ADBCE图 2-1ADBCE F1234图 2-2是邻补角，即证明BCP=EAP ，因而此题适用“补短” 进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-2 1=2，且 PDBC，PE=PD ，在 RtBPE 与 RtBPD 中，BPDERtBPERtBPD(HL),BE=BD .AB+BC=2BD，AB+BD +DC=BD+BE，AB +DC=BE 即 DC=BE-AB=AE.在 RtAPE 与 RtCPD 中,DCAEPRtAPERtCPD(SAS),PAE = PCD又BAP +PAE=180.BAP + BCP=180例 4. 已知：如图
5、 4-1，在ABC 中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“ 截长 ”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E使 CE=CD，或在 AB 上截 取 AF=AC.证明：方法一（补短 法）AB CDP12N图 3-1P12NAB CDE图 3-2D CBA1 2图 4-1延长 AC 到 E，使 DC=CE，则CDECED，如图 4-2AC B2 E ，ACB2B，来源:Zxxk.ComBE ，在ABD 与 AED 中,来源:Zxxk.ComAD21ABD AED（AAS）,AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+ DC.方法二（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3在AFD 与ACD 中,ADCF21AFD ACD（SAS）,DF=DC，AFD ACD .又ACB2B，来源:学科网FDB B，FD=FB.AB=AF+ FB=AC+FD，AB=AC+ CD.ED CBA1 2图 4-2FD CBA1 2图 4-3
