1、质点动力学质点动力学研究的是作用于质点上的力与其运动之间的一般规律。牛顿三定律是质点动力学的基础，也是质点系动力学和刚体动力学的理论基础。一、 质点运动微分方程牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即： Fam（61）其中： Fa,分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程 zyxFm（62）如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程 bbn2ntt0Fmas（63）对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。第一类问题：已知质点的
2、运动规律，求作用在质点上的力；第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。对于非自由质点，有些问题属于上述两类问题之一。当质点的运动规律未知，作用在质点上的约束力也未知时，这种情况就不属于上述两类问题。在研究这类问题时，首先建立质点运动微分方程；然后消去方程中的未知约束力，得到主动力与质点位置、速度和加速度的关系式，通常这个关系式以常微分方程（组）的形式给出，再通过求解微分方程（组）得到质点的运动规律；最后在利用质点运动微分方程求出未知的约束力。二、 质点相对运动微分方程当研究质点在非惯性参考系下的运动与其受力之间的关系时，可选取一个惯性参考系为定系，非惯性参考系为动系，应用点的复合运
3、动加速度合成定理和牛顿第二定律，就可得到质点在非惯性参考系下的运动微分方程（简称质点相对运动微分方程） ，即：CFmera（64）其中： eeaF称为牵连惯性力、 am称为科氏惯性力，m 为质点的质量， r为质点在非惯性参考系中的加速度、 ea和 C分别为质点的牵连加速度和科氏加速度。在某些特殊情况下的质点相对运动微分方程有如下形式1、 当动系作平移时， 0,0CFa，质点相对运动微分方程为 erma（65）2、 当质点相对动参考系静止时， 0,rrva， C，质点相对运动微分方程为 0eF（66）3、当质点相对动参考系作匀速直线运动时， 0ra，质点相对运动微分方程为 0eC（67）4、 当
4、动参考系相对惯性参考系作匀速直线平移时，牵连惯性力和科氏惯性力均为零，质点相对运动微分方程为 Fmra（68）在研究质点动力学问题时，首先进行受力分析和运动分析，然后建立矢量形式的质点运动微分方程，然后将矢量形式的运动微分方程在坐标轴上投影，当运动轨迹已知时，选取自然坐标轴。2-1 解：当摩擦系数 f足够大时，平台 AB vrvNFg1m2x相对地面无滑动，此时摩擦力 NfF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量： r2vpm将其在 x轴上投影可得： btmvx2r根据动量定理有： gfFbtpNx )(d212即：当摩擦系数 gmf)(21时，平台 AB 的加速度为零。当摩擦系数 bf)(2
5、1时，平台 AB 将向左滑动，此时系统的动量为：vp1r2将上式在 x轴投影有： vmbtmx )()()( 2121r2 根据动量定理有： gfFabtpNx )()(d 21212由此解得平台的加速度为： fgm21（方向向左）2-2 取弹簧未变形时滑块 A 的位置为 x 坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中 F为作用在滑块 A 上的弹簧拉力。系统的动量为： )(r11vvpm将上式在 x 轴投影： )cos(1lx根据动量定理有：系统的运动微分方程为：NFgm1x vrkxFlmxtpx sin)(d21tlmkxsin)(21124 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，
6、提起部分的质量为 vtm，提起部分的速度为 v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为 rv，方向向下，大小为（如图 a 所示） 。(a) (b)根据变质量质点动力学方程有： vttmtmrr )(d)(dgFvgFv 将上式在 y 轴上投影有： )()( 2r tttt 由于 0dtv，所以由上式可求得： (2vg。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即： gvtlFN)(25 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有： tmtmNddrvFgv船的质量为： qt0，水
7、的阻力为 vf将其代入上式可得： r0dvFgvqmft)qm( N将上式在 x 轴投影： )()(r0ft。应用分离变量法可求得cqfvq)ln()ln(0rNFvrgm)(tFy gmx由初始条件确定积分常数： 0ln)l(mqfvcr，并代入上式可得：qfmtfqv)(10r2-8 图 a 所示水平方板可绕铅垂轴 z 转动，板对转轴的转动惯量为 J，质量为 m的质点沿半径为 R的圆周运动，其相对方板的速度大小为 u（常量） 。圆盘中心到转轴的距离为 l。质点在方板上的位置由 确定。初始时， 0，方板的角速度为零，求方板的角速度与 角的关系。图 a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在
8、研究对象上的外力对转轴 z 的力矩为零，因此系统对 z 轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为 1L，其角速度为 ，于是有J设质点 M 对转轴的动量矩为 2，取方板为动系，质点 M 为动点，其牵连速度和相对速度分别为 re,v。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于 OM 连线。质点 M 相对惯性参考系的绝对速度 reav。它对转轴的动量矩为 )()()(r2e2a2 vvmLmL其中：zulRog o lrveM)sin()co()( 222e2 RlmrLv rrr s)( vvRl系统对 z 轴的动量矩为 21。初始时， ur,0，此时系统对
9、z 轴的动量矩为 ulmL)(0当系统运动到图 8-12 位置时，系统对 z 轴的动量矩为 muRllRlJ uRl)cos()cos2( sincosin2 22 由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有 0L，因此可得： ulllJulm)cos()cos2()(2由上式可计算出方板的角速度为 )cos2(12lRlJu211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画） ，设圆盘的角速度为 ，则系统对 O 轴的动量矩为： 2)(raJLlO根据动量矩定理有： grxagrxatlll )()(d2整理上式可得：由运动学关系可知： xr，因此有： xr。上式可表示成： xgrraJllO22
10、)(令 22)(raJglO，上述微分方程可表示成： 0，该方程的通解为：ttecx21yOFxPrJllO)2()2(2根据初始条件： 0,xt可以确定积分常数 201xc，于是方程的解为：tch0系统的动量在 x 轴上的投影为： xrrplllx 2dsin0 系统的动量在 y 轴上的投影为： xrxrxara lllly )()( 根据动量定理： graPFplyx)2(0由上式解得： trxlOxch20， t)c(20xg)a(loy 214 取整体为研究对象，系统的动能为： 221CAvmT其中： CAv,分别是 AB 杆的速度和楔块 C 的速度。若 r是 AB 杆上的 A 点相对
11、楔块 C 的速度，则根据复合运动速度合成定理可知： cotvA，因此系统的动能可表示为： 222 )cot(1ct1ACACA vmvmvT，系统在运动过程中，AB 杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有： Wd，系统的动力学方程可表示成： tmgvvmvmAACAC d)cot()cot(2122 gmCvAvr由上式解得： 2cotdCAmgtva， cotACa217 质量为 0m的均质物块上有一半径为 R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图 A 所示。质量为 )3(光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在 A 处。求小球运动到 B 处 时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和
12、地面对物块的约束力。图 A 图 B解：取小球和物块为研究对象，受力如图 B 所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为 rv，物块的速度为 ev，则系统的动能为 )cos()sin(2121 2r2ree0ae0 vvmmT 设 0为势能零点，则系统的势能为 singRV根据机械能守恒定理和初始条件有 0T，即 sin)cos()sin(2132r2ree mgRvvmv (1)系统水平方向的动量为： )sin(ree0vpx(2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有 0)sin(3ree
13、vm由此求出 sin41rev，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且 03最后求RABRABrvevgm0NF得： 152,154er gRvgv下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图 C，D 所示。设小球的相对物块的加速度为 ra，物块的加速度为 ea，对于小球有动力学方程 gFamm)(trne（a）图 C 图 D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有 NFga0e0m（b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得 sin)cos(enr ga其中相对加速度为已知量， Rv2r。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，
14、可得 sin0co0eFgmaN令 03，联立求解三个投影方程可求出 mgggaN627.3,7594,13472e 218 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为 R。每个小球应用动能定理有： )cos1()(212mg（a）ARBgmFtraea RABFeag0mNtmag将上式对时间 t求导并简化可得： sinRg(b )每个小球的加速度为 jia )cossin()snco( 22nt Rm取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理 iiFaC将上式在 y 轴上投影可得：gmFRmN020 2)cossin(2将(a),(b)两式代入上式化简后得 )css(gFN230
15、时对应的 值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成 02cos32m上述方程的解为： )31(圆环脱离地面时的 值为 m2arcos01而 m23arcos02也是方程的解，但是 1时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为 rv，牵连速度为 ev，由系统对 z 轴的动量矩守恒，有： 0cosre20 mvrLz 其中： ve，则上式可表示成： rvrmcs)(r20由此解得： o)(0g0mnaNFzevrv其中： m0， rh2t
16、an根据动能定理积分式，有： 211WTmgnhvrT21a2021,其中： rre2a )sin()cos(vv，将其代入动能定理的积分式，可得：m)si(c 2r2r20将 rs代入上式，可求得： 2rco1ghnv则： 2cos1csghnr由 rre2a )i()(vv可求得： 21r cs2219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为 rv，牵连速度为 ev，由系统对 z 轴的动量矩守恒，有： 0cosre20 mvrLz 其中： ve，则上式可表示成： rvrmcs)(
17、r20由此解得： o)(0其中： ， rh2tan根据动能定理积分式，有： 211WTmgnhvrmT21a2021,其中： rre2a )sin()cos(vv，将其代入动能定理的积分式，可得： )si(c 2r2r20zevrv将 rvcos代入上式，可求得： 2rcos1ghnv则： 2cos1sghnr由 rre2a )i()(vv可求得： 21r cs2思考题与习题（质点动力学）61 若作用在质点上的力为常力，则其运动可能是： 。A: 直线运动 B: 平面曲线运动 C: 空间曲线运动62 若作用在质点上的合外力的矢量与质点的速度始终垂直，则质点可能作 。A: 等速圆周运动 B：等速平
18、面曲线运动 C: 等速空间曲线运动63 若作用在质点上的合外力矢量始终平行于某一固定平面，则质点可能作 。A: 直线运动 B: 平面曲线运动 C: 空间曲线运动64 质量为 m 的质点铅垂上抛，所受阻力为 vFkR（k 为常量） ，坐标系如图所示。试确定质点的运动微分方程。上升阶段： ； 下降阶段： 。A: ykgy B: ykmgyC: m D: 65 质量为 m 的套筒在半径为 R 的固定圆环上滑动（圆环在铅垂面内） ，一水平常力 F 作用在套筒上，若套筒在 A 处无初速开始滑 题 64 图RFygmv题 66 图mFA BR A BC题 65 图动。不计摩擦，试确定能使套筒运动到 B 处
19、，力 F 的最小值。66 质量为 m的质点用两个等长的系绳 AC、BC （不计自重）铅垂吊起，两绳间的夹角为 。 （1）若 06，求 AC 绳剪断后的瞬时，BC 绳的拉力；（2）求 角为何值时，AC 绳剪断的前后，BC 绳的拉力不变。67 OA 杆由 0从静止开始以角加速度 2rad/s6绕 O 轴在铅垂面内转动，当 45时，放在 OA 杆上的滑块 B 开始相对 OA 杆滑动，已知 m2.l。确定滑块 B 与 OA 杆的静滑动摩擦因数。6-8 如图所示， A 点到杆 DE 的距离为 b,长为 bL4的细绳 ABC 的一端 A 固定在 A 点，绳子穿过滑块 B 上的小环，其另一端系在可沿铅垂杆
20、DE 滑动的滑块 C 上。若已知在图示位置 x5.0时，滑块 B的初始速度为 u，沿水平杆向右运动，不计所有摩擦。求该瞬时滑块 B 和 C 的加速度 ,以及绳子的拉力。69 一小滑块 A（视为质点）放在水平圆盘上，已知初始时系统静止，OA R，在外力偶作用下圆盘以角加速度 （常量）绕铅垂轴O 作定轴转动，t 秒后，滑块 A 相对圆盘开始滑动，求圆盘与滑块A 的静滑动摩擦因数。题 67 图 题 68 图O ABl EuA B CbDxy题 69 图 题 610 图O AAxO B610 半径为 R 的圆盘以匀角速度 绕固定的铅垂轴 O 转动，其上缠绕的绳索（相对圆盘无滑动）的一端系在质量为 m 的套筒 A 上，套筒可在 OB 杆上滑动。若 OB 杆以匀角速度 绕 O 轴转动，求系统在图示位置时绳索的拉力。
