1、平行问题,直线与平面平行 平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面相互平行。即该直线投影和该平面上某直线投影相平行。 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线，则两平面互相平行。 直线与投影面垂直面平行 直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影，或者直线亦积聚为一点。,第五章 直线与平面、平面与平面的相对位置,L,K,L,A,B,D,C,.若直线平行于平面内某一直线，则直线与该平面平行,直线与平面平行作图问题,判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,判别判别已知线面是否平行,判别判别已知线面是否平行,c,a,c,b,a,b,
2、d,d,例：判别直线与平面是否平行。,e,e,直线与平面不平行。,c,a,c,b,a,b,m,m,例：过点作直线与已知三角形平面平行,作直线与已知平面平行,作直线与已知平面平行,包含已知直线作平面与另一已知直线平行,包含已知直线作平面与另一已知直线平行,平面与平面平行,若平面上的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面相互平行。,两平面平行的作图问题,判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。,c,a,c,b,a,b,d,例：过点作已知平面的平行面。,d,c,a,c,b,a,b,d,d,例：判别平行直线与所确定的平面与平行直
3、线和所决定的平面是否相互平行。,e,e,f,k,g,g,k,f,两平面不平行,直线与平面相交,直线与平面不平行就会相交，其交点是直线与平面的共有点。 直线与平面相交的问题就是求直线和平面的交点，难点是判断直线的可见性。,线面的交点,线面的交点,平面与平面相交,平面与平面相交，其交线是平面与平面的共有线。 求两平面交线的基本方法是求出两个共有点或求出一个共有点及交线的方向。,线、面相交作图方法,（1）一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）,线、面相交作图方法,（2）一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线
4、的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。（一眼可见）,线、面相交作图方法,（3）有积聚性投影的平面与平面相交，交线的一个投影必定与其中一个平面的积聚性投影重合，交线的另一个投影可根据平面上求点的方法求出。（求积聚点） 教材P44例2,直线与平面相交作图方法,（4）一般位置直线与一般位置平面相交，：求交点的方法和步骤如下：a、过直线作特殊位置辅助平面；b、求辅助平面与已知平面的交线；c、求交线与已知直线的交点，交点即为所求。求出交点后，再利用重影点判别各投影的可见性。,一般位置直线与一般位置平面相交,一般位置直线与一般位置平面相交,直线与平面相交作图方法,（5）一特殊平面和一般
5、平面（因为积聚性平面投影与交线投影相重合，可以转化为问题4） 教材P44例题,直线与平面相交作图方法,（6）两一般平面相交 求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。 线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。,直线与平面相交作图方法,三面共点法：两一般位置平面的各同面投影都不重叠或不同时重叠时，通常用三面共点法求交线，其作图原理为三个相交的平面必定有一个公共点，而此点又必定在两个平面的交线上。三面共点法求交线的作图步骤如下：a、作一特殊位置辅助平面与两
6、已知面相交；b、求辅助平面与两平面的两条交线；c、求两交线的交点，此点即为两已知平面交线上的点；d、同理再作一辅助平面可求出交线上另外一点，连接两交点即为两平面的交线。,可见性判定,线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平面遮掩可见和不可见部分的分界点。 可见性判定方法： 1、 找出要判定的直线 2、 确定可见的交点 3、 判断另一点的相对可见性 4、 如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见 另一侧必反与已判断一侧可见性相反。,直线与平面垂直,几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线，即垂直于平面。 投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直
7、于这个平面上的正平线的正面投影； 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧平线的侧面投影。 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距离问题。,两平面相互垂直,两平面垂直的几何条件是：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。 两平面垂直的投影作图是以上述几何条件作为依据。,5-4 垂直关系,一、直线与平面垂直 直线与平面垂直 该直线垂直于平面上两条相交直线。例：过点A作一平面BC直线 步骤： 1、过A作水平线AD垂直于BC 2、过A作正平线AE垂直于BC 则平面ADE垂直于BC,二、平面与平面垂直平面与平面垂直第一个平
8、面上的任意一点向第二个平面所作的垂线在第一个平面上。 例：过EF直线作一平面垂直于ABC平面,三、两一般位置直线垂直 解决依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。例：求A点到EF直线的距离（实长） 步骤：1）过A作平面P EF2）求EF与P的交点K3）求AK的实长,5-5 综合举例,例1：完成矩形ABCD的投影(左图)。,解题方案： 1）过B点作水平线垂直于直线AB 2）按BC是所作平面上的直线，求出其V投影bc 3）根据矩形对边平行，完成矩形的投影,例2：过K点作一直线，分别与AB,CD相错垂直。,解题方案： 1）过B点作BE/CD 2）在ABE平面上作水平线EM和正平线EN 3）自K点向EM、EN作垂线KL，则KL即为所求,例3：求AB、CD两相错直线的公垂线。,解题方案： 1）过A作AE/CD，则平面BAE/CD 2）自CD上一点向BAE平面作垂线DL，并求出垂足L 3）过点L作LM/DC，LM与AB交于M 4）自M点作LD的平行线，与CD交于N，则MN为公垂线 5）求MN的实长,例4：求直线AB与平面P的夹角。,解题方案： 1）在直线上任取一点，向平面引垂线 2）垂线与直线夹角（取锐角）的余角即为线面角,
