1、1泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设 是 中的有界闭集，映射 满足 MnRMT: ),(),(yxT。求证 在 中存在唯一的不动点。yx, T证明： 因为 ，所以 。再),(),(00xx 0),(0),(xx由三角不等式，得到 。由此可见，,0T在 上连续。),()TxfdefM因为 是 中的有界闭集，所以 ，使得nRMx0。),(min)(i)(,(00 TxffM如果 ，那么 就是不动点。今假设 。根据假设，,Tx0 0),(0Tx我们有 。但是 ，这与),(i),()(02 xxM2是最小值矛盾。故 ，即存在不动点 。),0x,0T0x不动点的唯一性是显然的。事实上，如果存在
2、两个不动点 ， ，则从12即得矛盾。),(),(),( 212121 xTxx2、对于积分方程 ，其中 为一给定函数，)(0tydsetst1,0)(Cty为常数， ，求证存在唯一解 。11,0Ctx证明： 考虑由 )()(10tydsetxst则原方程等价于),()()(10tydsetxs ),()(,tyetxztef 。ztz10)()(令 ，则dszttzT10)()(:2),()(max)()()(),( 1,0101010 vutvudsvudsvsuTv t ，即 是压缩映射，压缩常数为 ，因而 有唯一的不动点，即积分方程T在 有唯一解，从而原方程在 上有唯一解。dsztz10
3、)()(1,C1,0C3、设 M 是 Ca,b中的有界集，求证集合 是列紧集.()()|xaFftdfM证： 设 ， ，()()xaEFftdM 0,|,)f b，即 E 一致有界.0|()tbt又 ，22112 021|()|()|xxxffdx,2210,|F()-|()FM取 当 时即 E 等度连续.由定理 13 结论得证.4、求证 在 中不是列紧的.1sintC,证： 只要证 非等度连续.n对 ，使得 ，0,A取 k 01,2,4kkntt.01|sisi0|si14k kt t 由此可见， 非等度连续.1int5、设 是距离空间，M 是 中的列紧集，若映射 满足(,):fM，求证 上
4、存在唯一的不动点。(,),)fxyfxyxy在证： 记 .先证存在 ，使得in,|df0x（1）0()xd这从下确界的定义出发. ,使得,nxMA.(,)ndxf又因为 M 列紧，故存在 .将上面不等式中的 改为 ，即0kxnk3，并令 ， （1）式得证。1(,)nkkdxfdn再证 d=0.用反证法.如果 ，则有0，矛盾。00(),()(,)ffxf6、设 是一个紧距离空间，又 ，E 中函数一致有界并满足：M()CM,其中 .121,21,2|()|()xtctxEt01,c求证 E 在 中是列紧集。C证： ，取 ，当 时， ，01()c12(,)t1212|()|(,)xtct注所以 E
5、是等度连续的，因此 E 是列紧集。注： .1121212(,)(,)(,)ctttcc 7、在 中，对每个 ，令 ，,0C,0Cx2110)(dtx。求证 是 中两个等价范数。21102)(dtxtx 21和 ,证明：显然 。考虑21dtxtx02)(t10221)(10)(xtx28、设 表示 上连续且有界的函数 全体，对于每个),BC), )(xf，定义0,af及 210dfefaxa（1） 求证 上的范数；),a是（2） 若 ，求证 上的范数是不等价的。b0, ),BCba作 为4证明：不妨假设 ，显然有 ，由此可见，为了证明不等价性，只0ababf要证不存在 使 得,c),(BCffa
6、b只需证 ，使得 ，因为：),0BCfn 2bnaf，0)1()(xexganx1，)()(fnn，dxeaa02，abdxf abbbn 10)(。afbn2 )(n9、设( X, | |)是一线性赋范空间， M 是 X 的有限维子空间， e1, e2, ., en是 M 的一组基，给定 gX，引进函数 规定1:RKFnF(c) = F(c1, c2, ., cn) = kgec1(1) 求证 F 是一个凸函数；(2) 若 F 的最小值点是 c = (c1, c2, ., cn)，求证 给出 g 在 Mnkkecf1中的最佳逼近元证明：(1)根据凸函数的定义，考虑=|)1(dc gedcii
7、ni )1(1= )()11niinii gege5)()111 niinii gedgec()FF故 F 是一个凸函数(2) 对 一一对应有 ，使 ，Mx nnnKcc),( nkecx1。nKccFggx ),( 21(miin，10、设 是 空间， 是 的线性子空间，假定 ，使得0)1,0(c， 。求证： 在 中稠密。ycxxinf)(0证明：考虑 ， ),10(,inf),( 100 cyxx。用反证法证明。若 ，由yxyyx ),(ifinf),( 00000 0Riesz 引理，对 ，使得 ，并且 。于是取,11),(0y，便有 ，矛盾。21c cy2)(011、6).(sup)(
8、sup)(s)(sup,0 0)(sup),(s .)1(sup.up)1()1( ,0,1.sup .0)(;)(sup)()( ,1.2 ).(sup)(s)(sup )(sup)( ),(sgnsup)(s1.0)(sup)2(;),(anch111 1111111 11111 yfxyfxfffx xffff xffxxfxf ffxfxyfxfxf xffxfff yxfx xfdeffffxRLfBxx xx xxxx 有 事 实 上 ， 对出 发 来 推 出下 面 从 得综 合 以 上 两 个 方 面 ， 推求 极 限 ， 即 得两 边 令 由 此 可 见 我 们 有注 意 到另
9、 一 方 面 ， 对 故 有时 ，而 当 根 据 第 一 小 题 ，一 方 面 ， 对先 证 明 综 合 以 上 两 方 面 ， 推 得 由 此 推 出则 有 ； 另 一 方 面 ， 令） 一 方 面 ，（证 ）（ 求 证 ：空 间 ，是设12、 .)(,)(. )()()()()(,10 ,)10()(),)(1010 10101,010 10max dtyf dtyft dtyxdtyttyxytxf ffCf Cdtfty t 反 的 不 等 式 ：所 要 做 的 便 是 去 建 立 相这 启 发 我 们 猜 测由 此 可 见 ， 如 下 ：的 表 达 式 ， 先 估 计从对分 析求 上
10、 的 泛 函定 义设7由 此 有示 所的 图 形 如 图或， 则 令或的 端 点 是同 时 ， 如 果 第 二 类 区 间 线 性 函 数 ，定 义类 的 每 个 区 间 上 有在 上 必 有 零 点 ， 所 以在 第 二 类 区 间因 为 函 数记 做的 一 个 零 点 ， 这 类 区 间 含 有 函 数； 在 第 二 类 区 间 上 至 少的 零 点 ， 这 类 区 间 记 做区 间 上 不 含 有 函 数 分 为 两 类 ： 在 第 一 类我 们 把 所 有 的 等 分 区 间振 幅 小 于在 每 一 个 等 分 区 间 上 的 等 分 ， 是 的 函 数将上 的 一 致 连 续 性 ，
11、在根 据对解 . 20)1()0(10 ,),(sgn,)(.)()()(. 1,01,0,0 xxtydeftCttyytyt nty AA .)(0.2)(212).,1(.)()2()()()( 10101010 A dtyfdtyxffxdtydtytytyxxdtyf ， 便 得 到再 令） 式 得 到） ， （联 合 （ 所 以又 因 为 13、 ./1 ,1)(infdf xfBanch 求 证 ： ， 令上 的 非 零 线 性 有 界 泛 函是空 间 ，是设 要 证 的 结 果 。两 部 分 结 合 起 来 就 得 到即， 便 得 到 再 令故 有在 注 意 到也 就 是 说
12、， 使 得便 不 是 上 界 ， 于 是的 最 小 上 界 ， 所 以 对 是也 就 是 说 ，事 实 上 ， 因 为第 二 部 分 证 明 即两 边 取 下 确 界 得 到由 此 推 出我 们 有 的事 实 上 ， 对 一 切 满 足第 一 部 分 证 明证 明 分 两 部 分证 .1,0 .1)(,1)(,)( ,)(,0,)(sup.1 .1,1.)( )(./000 0dfd fxfdxfxf fxff fxffdf ddxxff fdf 14、8.1,)( ,)(.1)(, ,0,)(sup.0,0.11 .,1)( 1)(.0)(, )0.)(sup.1 ,1)(.)( ,)(,0
13、)(.102;(1 , .1,)(,00 101111 1100 00 00 xfxf fxfxff xffffff xffxf fffxfxfxff fff fxxx fdefxf xxf xffffBanch并 有便 有 再 令即使 得 对 此因 为则 有取对 给 定 的证 中 解 得从 为 此即 可使 得取两 个 不 等 式 可 知 ， 只 要 与比 较使 得便 不 是 上 界 ， 于 是 ，足 够 小的 最 小 上 界 ， 所 以 对是也 就 是 说 ， 的 定 义 ：发 我 们 想 到后 一 个 不 等 式 的 左 端 启中 去 找的即 ， 只 要 在 使 得两 个 条 件 的因 此
14、 ， 要 找 到 同 时 满 足即 件 的便 可 产 生 满 足 第 一 个 条用， 只 要注 意 到 有） 对 事 先 给 定 的（）条 件 ： （ 要 满 足 两 个题 意 要 求 找 到不 放 假 定结 论 显 然 成 立如 果分 析 且使 得求 证 ：空 间 ，是设15、设 是 Banach 空间， 是满射，求证：如果在 中 ，则， ），（ LA0ny与 ，使 且0C0nxnynyCx证：设 考虑映射0|)(NAx,)(/ANx ),(/.ANx（1）证 是单射，事实上， （ ） 0x9.)(xANx故 是单射。A（2）事实上，由条件 A 满射推出，对 ，使得 ，从而,yxyx。故 满
15、射。yx（3）证 有界，事实上，以为对 ，我们有)(/ANx， x2 由此推出 有界。A（4）由 Banach 逆算子定理， 。），（ )(/L1-AN（5）证 时的理论。事实上，如果 ， 记 则有0y0ynnnyx1n yx1注意到这个结论与要证的一般结果十分相似，其中 相当于 C，下面要做的事就是“过河拆桥” ，将 中的去掉。事实上，根据第一章 4 例 13 的（2） ，可取 ，nxxn使得。nnn yxA12 进一步，从 既知 .令0ynn，C=2 ，nyx1则有 ，C=2 ，nnyCx1即已经证明了 情形下的结论。0（6）证 时的结论，事实上，设 ，记 ，y00ynnnyxA110，则
16、有001yxA 011 00 ynnn yxA取 满足 ；同时取 ，满足0x200nx200xnn这样 ，并有0nx，ynnAx00yAx进一步，对 ，应用（5）一步结果既知0n00 yCxynn其中 C=2 由此可知1 0000 yCyCxxnnn 02Cyyn最后，再想办法将 折合到 上去，事实上，因为 ，所以 ，使得对0 0yn0N，有0Nn 000 2/1yyynn由此推出 n0联合不等式（1） ， （2）既知 nnyCx516、11.)(),( ,., ),(),(. ,).(,0 )(.)( .)(.)( (2 ).(0.0,0).(.)(1);(, ,0)2(. ,)(,)(an
17、ch1 1闭即 证 得 是 闭 线 性 算 子 ， 所 以因 为使 得也 是 基 本 列 ， 从 而故 又 由 所 给 的 不 等 式 ， 有是 基 本 列这 样 使 得即 知事 实 上 ， 从充 分 性便 有 令于 是 对使 得从 而 由 逆 算 子 定 理 知既 是 单 射 又 是 满 射： 于 是是 单 射：意 味 着条 件满 射 ：空 间 ，是中 闭 ， 所 以在事 实 上 ， 因 为必 要 性 是 闭 线 性 算 子 ， 所 以因 为故 有 事 实 上 ，要 证） 设（证 使 得中 闭 的 充 分 必 要 条 件 是在则若 的 闭 线 性 子 空 间 ；是 求 证 ：是 闭 线 性 算 子 ，空 间 ，是，设 Ryxyx xxy yDyyx xxRRLRD xxxDxRxdef RBn nn mnmnnnnnnnn
