1、三角变换中的构造技巧赵淑芳通过构造形象或抽象的数学模型将三角变换问题转化为熟悉的问题，对于锻炼联想、创造性思维都有独到的作用。兹举几例说明。一. 构造函数例 1. 已知 、 为锐角，满足 ，求证：cosini22证明：构造函数 ，显然函数 上单调递减。fxx()siifx()在 ，0因为 cosini2所以 f()又因为 f222cosincosi所以 f()于是 2故 二. 构造方程例 2. 已知 的值。sincocot150， ， ， 求解：因为 i所以 (sinco)sinco21125所以 i5故 是二次方程 的两个实数根sinco， x2150因为 0，所以 sincoscot455
2、34， ，三. 构造数列例 3. 同例 2。解：因为 sinco15所以 成公差为 d 的等差数列is， ，0且 sinco110d，则 022解得 d71因为 ，所以 sin071， d故 icoscot453534， ，四. 构造对偶式例 4. 求值： coscos20480解：令 A构造对偶式 Bsinisin则 (co)(coi)(cosin)2040801841618sisinnB即 ，故Acoscos204801五. 构造不等式例 5. 已知 的值。sincossincos332062061， 求解：因为 ， ，所以 siisc3232，即 ncono1由已知 得：sis33cs2
3、2，故 incoinos101， 或 ，于是 ss206261六. 构造比例式例 6. 求证：sectansectan1证明：因为 221所以 sectasectan1由等比定理知： ()tsectan1即 sectansecan1七. 构造参数例 7. 已知 的值。211sincosinco， 求解：构造参数 k 使得， isk则 ，与 联立()sin()co11121sinco解得 s233kk，而 sinco1即 232k解得 0或故所求值为 0 或 2。八. 构造平面图形例 8. 求 的值。tansi204解：如图 1 所示，构造单位圆，交 x 轴于点 A，角 20、60的终边分别交
4、AC 于B、C则 AB= tasec203， ，OBC在OBC 中，OC 边上的高为 BH则由面积公式得 11HB即 BC20420secinsi故 。tan3AC图 1九. 构造向量例 9. 求 的值。coscosscos571492193解：如图 2 所示，作出边长为 1 的正五边形 ，且 与 x 轴的交角为A245A125。由于 ，它们在 x 轴上投影的和为 0，且各个A134510向量与 x 轴的交角分别为 5、77、149、221、293，故有。coscoscscos79293图 2十. 构造解析几何模型例 10. 已知 、 为锐角， ，求证：cosin42421cosin42421证明：设 在Acosin2，xy21上，而知 在直线B(cosin)，si上，知 dr122incos故直线与圆相切，则 A 在直线上故 A、B 两点重合则 且sini2cos2因为 、 为锐角， insico，故 cosincos4242221
