1、1江 苏 省 南 师 附 中 等 五 校 2013届 高 三 下 学 期 期 初 教 学 质 量 调 研数 学 试 卷201302注意事项：1 本试卷共 4 页，包括填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题) 两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合 A=1,0,1, 2，B= x|x2x0，则 AB= 2设 a 为实数，
2、若复数 (1 2i)(1ai) 是纯虚数，则 a 的值是 3某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间96，106，样本中净重在区间96， 100)的产品个数是 24，则样本中净重在区间98 ，104)的产品个数是 4如图所示的流程图的输出 S 的值是 （第 3 题） （第 4 题）5若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5 ，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 6 设 k 为实数，已知向量Error!(1，2)， ( 3，2)，且(kError! )(E
3、rror!3 Error!)，则 k b b的值是 开 始 结 束 S输 出YN4a1,5SS127在平面直角坐标系 xOy 中，若角 的始边与 x 轴的正半轴重合，终边在射线 y x（x0）3上，则 sin5 8. 已知实数 x， y 满足约束条件 ， 则 z2 xy 的最小值是 ,0yx9已知双曲线 1 (a0 ，b0) 的焦点到渐近线的距离是 a，则双曲线的离心率的值是 x2a2 y2b2 10在 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c已知 a2，3b sinC5csinBcos A0，则ABC面积的最大值是 11已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间0 ， )
4、上是单调增函数若 f(1)f (lnx)，则 x 的取值范围是 12 若点 P、Q 分别在函数 ye x 和函数 ylnx 的图象上，则 P、Q 两点间的距离的最小值是 13已知一个数列只有 21 项，首项为 ，末项为 ，其中任意连续三项 a，b，c 满足1100 1101b ，则此数列的第 15 项是 2aca c14设 a1，a 2， ，a n 为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的 i，j(1ijn) ，存在k，l（k l ，且异于 i 与 j）使得 aia ja ka l，则 n 的最小值是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）如图，摩天轮的半径为 50 m，点 O 距地面的高度为 60 m，摩天轮做匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处 .（1 ）试确定在时刻 t（min）时点 P 距离地面的高度；（2 ）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?3(第 15 题)16 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD面 ABCD，ADBC，CD =13，AB=12，BC=10，AD BC. 点12 E、F 分别是棱 PB、边 CD 的中点. （1 ）求证：AB面 PAD；（2 ）求证：EF 面
6、PAD.（ （第 16 题）17 （本小题满分 14 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y (单位：千克) 与销售价格 (单位：元/x千克)满足关系式 y 10(x6) ，其中 3x6 ，a 为常数已知销售价格为 5 元/ 千克时，ax 3 2每日可售出该商品 11 千克（1 ）求 a 的值；（2 ）若该商品的成品为 3 元/ 千克, 试确定销售价格 x 的值 , 使商场每日销售该商品所获得的利润最大18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 C： y 1 的上、下顶点分别为 A、B，点 P 在x24 2椭圆 C 上且异于点 A、B ，直线
7、AP、PB 与直线 l：y 2 分别交于点 M、N.（1 ）设直线 AP、PB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值；（2 ）求线段 MN 长的最小值；FEPDC AB4（3 ）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论19. （本小题满分 16 分）设非常数数列a n满足 an+2 ，nN*，其中常数 ， 均为非零实数，且 an+1 an 0.（1 ）证明：数列a n为等差数列的充要条件是 2 0；（2 ）已知 1， ， a11，a 2 ，求证：数列| an1 a n1 | (nN*，n2)与数列n 14 52 12(nN*) 中没有相同数值的项.2
8、0. （本小题满分 16 分）设函数 f (x)的定义域为 M，具有 性质 P：对任意 xM，都有 f (x)f (x2)2f (x1).（1 ）若 M 为实数集 R，是否存在函数 f (x)a x (a0 且 a1，xR) 具有性质 P，并说明理由；（2 ）若 M 为自然数集 N，并满足对任意 xM，都有 f (x)N. 记 d(x)f (x1) f (x).() 求证：对任意 xM，都有 d(x1)d(x) 且 d(x)0；() 求证：存在整数 0cd(1)及无穷多个正整数 n，满足 d(n)c .xy MNBAOP（第 18 题）52012 2013 学 年 第 二 学 期 期 初 高
9、三 教 学 质 量 调 研 数 学（附加题） 2013.0221、 【 选做题 】在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A、 （几何证明选讲选做题）如图，已知 AB 为圆 O 的直径，BC 切圆 O 于点 B，AC 交圆 O 于点 P，E 为线段 BC 的中点求证：OPPEB、 （矩阵与变换选做题）已知 M ，N ，设曲线 ysinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方 1002 程EPBOAC6C、 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 m
10、 的参数方程为 （ t 为参数） ；在以 O 为极点、射线 Ox 为极 轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 sin 8cos 若直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点，2 求线段 AB 的长D、 （不等式选做题）设 x，y 均为正数，且 xy，求证：2 x 2 y3 22、 【 必做题 】 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC 90，AB=AC=2，AA 1=6，点 E、F 分别在棱BB1、CC 1 上，且 BE BB1，C 1F CC1.13 13（1 ）求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小；（2 ）求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值. 23、 【
11、必做题 】在数列 an（nN* ）中，已知 a11 ，a 2ka k，a 2k1 (1) k+1ak，kN*. 记数列a n的前 n项和为 Sn.（1 ）求 S5，S 7 的值；（2 ）求证：对任意 nN*，S n0.CAA1 C1B1BEF72012 2013 学 年 第 二 学 期 期 初 高 三 教 学 质 量 调 研 数 学参考答案一、 填空题：1. 0, 1 2. 3. 60 4. 20 5. 6. 19 7. 8. 212 129. 10. 2 11. (0, )(e, ) 12. 13. 14. 13 21e 2 101007二、解答题：15. （1）解：设点 P 离地面的距离为
12、 y，则可令 yAsin(t) b. 由题设可知 A50 ，b 60. 2 分又 T 3，所以 ，从而 y50sin( t) 60. 4 分2 23 23再由题设知 t0 时 y10，代入 y50sin( t) 60 ，得 sin1 ，从而 . 23 2 6 分8因此，y6050cos t (t0). 8 分23（2 ）要使点 P 距离地面超过 85 m，则有 y6050cos t85，即 cos t . 23 23 1210 分于是由三角函数基本性质推得 t ，即 1t2. 12 分23 23 43所以，在摩天轮转动的一圈内，点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟. 14 分16
13、. 证明：（1）因为 PD面 ABCD，所以 PDAB . 2 分在平面 ABCD 中，D 作 DM/AB，则由 AB=12 得DM=12.又 BC=10，AD BC，则 AD=5，从而 CM=5.12于是在CDM 中，CD =13，DM=12，CM=5，则由 及勾股定理逆定理得 DMBC . 22513又 DM/AB，BC/AD ，所以 ADAB.又 PDADD，所以 AB面 PAD. 6 分（2 ） 证法一 取 AB 的中点 N，连结 EN、FN.因为点 E 是棱 PB 的中点，所以在ABP 中，EN/ PA.12又 PA面 PAD，所以 EN/面 PAD. 8 分因为点 F 分别是边 C
14、D 的中点，所以在梯形 ABCD 中，FN/AD.又 AD面 PAD，所以 FN/面 PAD. 10 分又 ENFNN，PADAA，所以面 EFN/面 PAD. 12 分又 EF面 EFN，则 EF/面 PAD. 14 分证法二 延长 CD，BA 交于点 G. 连接 PG，EG， EG 与 PA 交于点 Q. 由题设 ADBC，且 AD BC，所以 CDDG，BA12AG ，即点 A 为 BG 的中点.又因为点 E 为棱 PB 的中点，所以 EA 为BPG 的中 位QGFEPDCABNMFEPDC AB9线，即 EAPG，且 EA:PG1:2，故有 EA:PGEQ:QG1:2. 10 分又 F
15、 是边 CD 的中点，并由 CDDG，则有 FD:DG1:2. 12 分在GFE 中，由于 EQ:QG1:2，FD:DG1:2，所以 EFDQ . 又 EF面 PAD，而 DQ面 PAD，所以 EF面 PAD. 14 分17. 解：（1 ）由题设知 x5 时 y11，则 11 10(56) ，解得 a2. a5 3 23 分（2 ）由（1 ）知该商品每日的销售量 y 10(x6) ，所以商场每日销售该商品所获得的2x 3 2利润为f(x) (x3) 10( x6) 2 10( x3) (x6) ，3x6. 6 分2x 3 22 对函数 f(x)求导，得 f (x)10(x6) 2(x3)(x6
16、) 30(x4)(x6) 2 令 f (x)0 及 3x6，解得 x4 10 分当 3x4 时，f (x)0，当 4x6 时，f (x)0 ，于是有函数 f(x)在(3，4)上递增，在(4 ，6)上递减，所以当 x4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)42. 13 分答：当销售价格 x4 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为 42.14 分18. 解：（1 ）由题设 y 1 可知，点 A(0，1)，B(0，1).x24 2令 P(x0， y0)，则由题设可知 x00. 所以，直线 AP 的斜率 k1 ，PB 的斜率为 k2 . 2 分y0 1x0 y0 1x0又点 P 在椭圆上，
17、所以 （x 00） ，从而有24k1k2 . . 4 分y0 1x0 y0 1x0 14（2 ）由题设可以得到直线 AP 的方程为 y1 k 1(x0)，直线 PB 的方程为y( 1) k 2(x 0).由 ，解得 ；131yk10由 ，解得 .21yxk21yk所以，直线 AP 与直线 l 的交点 ，直线 PB 与直线 l 的交点 .13(,)N21(,)Mk7 分于是 ，又 k1k2 ，所以|3|21kMN142 4 ， 111|4|13|k 3等号成立的条件是 ，解得 .13|k1故线段 MN 长的最小值是 4 . 10 分 3（3 ）设点 Q(x,y)是以 MN 为直径的圆上的任意一点
18、，则 0，故有QM QN .12()20yk又 ，所以以 MN 为直径的圆的方程为24. 13 分213()(4)0xykx令 ，解得 或 .220()1023y23xy所以，以 为直径的圆恒过定点 （或点 ） MN),0( ),0(16 分注：写出一点的坐标即可得分.19. （1）解：已知数列 ， .na12nna充分性：若 ，则有 ，得12 12nnn na ，所以 为等差数列. 4 分nnaa12 n必要性：若 为非常数等差数列，可令 (k0). 代入 bna，得 .12nnna(1)(2)kkb11化简得 ，即 . 2k02因此，数列 an为等差数列的充要条件是 2 0. 8 分（2
19、）由已知得 . 10 分2115nna又因为 ，可知数列 (nN*)为等比数列，所以2130(nN*).111213()52nnaa 从而有 n2 时， ， .11(nn 213()5nna于是由上述两式，得 （ ）. 12 分2156| )|na由指数函数的单调性可知，对于任意 n2 ，| an1 a n1 | .65 2)(n65 2)1(65所以，数列 中项均小于等于 .1|(*,)naN65而对于任意的 n1 时，n 1 ，所以数列n (nN* )中项均大于 .12 12 6512 65因此，数列 与数列n (nN* )中没有相同数值的项.1|(*,)naN1216 分20证明：（1）
20、因 f (x)a x (a0 且 a1)，所以 ax a x+2，即 f (x)f (x2). 2 分由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x)f (x2)a xa x+22 2 ax+12 f (x1)，axax+2这与 f (x)f (x2)2 f (x1)矛盾.故不存在函数 f (x)a x(a0 且 a1)满足性质 P. 4 分（2 ） () 由题设对任意 ，f (x)f (x2)2f (x1)，所以Nf(x2) f(x 1) f (x1)f(x).于是对任意 xN，d(x 1)d(x ). 6 分下面用反证法证明：对任意 xN，d( x)0.假设存在某个非负整数 k 使 d(k
21、)0 ，则由题设对任意 x N，f(x)N ，得 d(x)Z ，于是有 d(k)1. 8 分由任意 xN， d(x1)d(x )，所以1d (k)d( k1)d(k2)d(kn) .，这里 n 是自12然数. 于是有d(k n)d (k(n1) )d(k (n2 )d (k)(n1 ) d(k)( n1) (1).而 d(k n)d (k(n1) )d(k(n2 )d (k)f (kn1)f (k)，所以 f (kn1) f (k)( n1 ).取 nf (k)，得 f (kf (k)1)f (k)1f (k)1，这与 f (kf (k)1)N 矛盾.因此，必有对任意 xN，d(x)0. 12
22、 分()由() 可知 d(1)d(2) d (3)d( n)0.当 d(1) 0 时，则有 d(1)d(2)d(3)d(n) 0，结论成立.当 d(1) 0 时，对任意 nN，有 d(n) N，且 d(n) 0, d(1). 因为在区间0, d(1)上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数 d(n)有无数多个，所以，必存在自然数 c0, d(1)和无穷多个正整数 n，满足 d (n)c. 16 分【附加题答案】21.A. 解：因为 AB 是圆 O 的直径，所以APB90 ，从而BPC90 2 分 在BPC 中，因为 E 是边 BC 的中点，所以 BEEC，从而 BE EP，因此1 3 5
23、分 又因为 B、P 为圆 O 上的点，所以 OBOP ，从而 2 4 7 分因为 BC 切圆 O 于点 B，所以ABC90 ，即1+ 2=90，从而3+ 4=90，于是OPE90 9 分所以 OPPE 10 分B. 解：由题设得 . 4 分10022MN设所求曲线 F 上任意一点的坐标为（x,y） ， 上任意一点的坐标为 ，则xysin),(yxMN ，解得 . 7 分 xy20121把 代入 ，化简得 .yx2sinxsin所以，曲线 F 的方程为 . 10 分x2i3142EPBOAC13C. 解：直线 m 的普通方程为 . 2 分6yx曲线 C 的普通方程为 . 4 分82由题设直线 m
24、 与曲线 C 交于 A、B 两点，可令 , .)(1yxA)(2B联立方程 ，解得 ，则有 ， . 62yx)6(82y8214821y7 分于是 .1222 211 12 12()()()()46AByyyy故 . 10 分6D 证明：由题设 x0，y0，x y，可得 xy0. 2 分因为 2x 2y2(x y) ( xy)( xy) . 5 分又(xy)( xy) 2321()3xy ，等号成立条件是 xy 1 . 9 分所以，2x 2y3，即 2x 2 y3 10 分22解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则, , , ，从而)0(A)2(E)60(1A)4,2(F, . 2 分1,F记
25、 与 的夹角为 ，则有.141cos 2|8AEF又由异面直线 与 所成角的范围为 ，可得异面直线 与 所成的角为 60. 1),0(AEF14 分（2 ）记平面 和平面 的法向量分别为 n 和 m，则由题设可令 ，且有平面AEBC(,)yznz yxCAA1 C1B1BEF14的法向量为 , , .ABC1(06)Am)420(F)2,0(AE由 ，得 ；由 ，得 .0Fn42zynz所以 ，即 . 8 分,1z(,)记平面 与平面 所成的角为 ，有 .AEBC6cos|nm由题意可知 为锐角，所以 . 10 分6cos23. 解：（1 ）S 53，S 71. 2 分（2 ）由题设 的定义可
26、知，对于每个正整数 k，有ia. 241234kkk. 4 分a则 ，ki iiiiS1 412434 )()( kkiiSa2)0(1. 6 分kkkk Sa424142下面证明对于所有的 n1， Sn0.对于 k，用数学归纳法予以证明.当 i1， 2，3，4，即 k=0 时，S 11，S 20 ， S31， S42.假设对于所有的 i4k ，S i0，则由、 、 、知，S4k+42S k+10，S4k+2S 4k0，S4k+3S 4k+2a 4k+3S 4k+2a 4k+4S 4k+2(S 4k+4S 4k+3)，S 4k+3 0.S4k+2 S4k+42接下来证明：S 4k+10.若 k 是奇数，则 S4k2S k2. 因为 k 是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知 Sk 也是一个奇数. 于是 S4k2. 因此，S 4k+1S 4ka 4k+11.若 k 是偶数，则 a4k+1a 2k+1a k+1. 所以 S4k+1S 4ka 4k+12S ka k+1S kS k1 0.综上，对于所有的 n1 ，S n0. 10 分15
