1、导数几何意义的应用分类解析函数 yf(x)在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 yf(x) 在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.一、切线的夹角问题例 1 已知抛物线 yx 24 与直线 yx2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线分别为 l1 和 l2.(1)求直线 l1 与 l2 的夹角.解析：由方程组 ，解得 A(2，0) ，B(3，5) ，)由 y2x，则 y|x2 4，y| x3 6，设两直线的
2、夹角为 ，根据两直线的夹角公式，tan| | ,所以 arctan . 4 61 ( 4)6 1023 1023点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例 2 已知抛物线 C1：yx 22x 和 C2：y x 2a.如果直线 l 同时是 C1 和C2 的切线，称直线 l 是 C1 和 C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时， C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若 C1 和 C2 有两条公切线，证
3、明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数 yx 22x 的导数 y2x2，曲线 C1 在点 P(x1，x 2x 1)处21的切线方程是y(x 2x 1)(2x 12)(xx 1)，即 y(2x 12)xx ，21 21函数 yx 2a 的导数 y2x，曲线 C2 在点 Q(x2，x a)处的切线方2程是y(x a)2x 2(xx 2)，即 y2x 2xx a，2 2如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则 式和式都是直线 l 的方程，所以 ，消去 x2 得方程 2x 2x 11a0.) 21当判别式442(1a) 0 时，即 a 时，解得 x1 ，此时点 P12 12和 Q 重合，即
4、当 a 时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线，由 得公切线的方程为12yx .14（）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.三、切线逆向运算问题例 3 已知 b1，c0，函数 f(x)xb 的图象与函数 g(x)x 2bx c 的图象相切.求 b 与 c 的关系式 (用 c 表示 b)；解析：(1)依题意，令 f(x)g (x)，得 2xb1，故 x ，1 b2由于 f( ) g( )，得(b1) 24c，b 1 ， c0，b1 c.
5、1 b2 1 b2 2例 4 曲线 yx 3 在点（a，a 3）(a0)处的切线与 x 轴、直线 xa 所围成的三角形的面积为 ，则 a_.16解析：y3x 2，切线斜率为 3a2，方程为 ya 33a 2（xa ） ，当 y0 时，x a，当 xa 时，ya 3，则 |a3|a a| ，解得 a1.23 12 23 16点拨：上面两题通过求导，利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题.四其它综合问题例 5 已知函数 f(x)x 3x 2，数列x n(xn0)的第一项 xn1，以后各项按如下方式取定：曲线 xf(x)在（ xn+1,f (xn+
6、1)）处的切线与经过（ 0，0）和（x n,f (xn)）两点的直线平行（如图）求证：当 nN* 时，( )x xn3x 2x n1 ；（）( )n1 xn( )n2.2n 2n+112 12证明：（I）因为 f(x)3x 22x 所以曲线 yf(x) 在（x n+1,f (xn+1)）处的切线斜率 kn+13x 2x n+1，2n+1因为过(0,0)和（ xn,f (xn)）两点的直线斜率是 x x n，所以2nx xn3x 2x n+1.2n 2n+1（II）因为函数 h(x)x 2x 当 x0 时单调递增，而 x x n3x 2x n+14x 2x n+1(2x n+1)22x n+1，
7、2n 2n+1 2n+1所以 xn2xn+1，即 因此 xn ( )n1，xn+1xn 12 xnxn1xn1xn2 x2x1 12又因为 x x n2(x x n+1) ，令 ynx x n，则 ，2n 2n+1 2nyn+1yn 12因为 y1x x 12，所以 yn( )n1y1( )n2，2112 12因此 xnx x n( )n2，故( )n1xn( )n22n12 12 12点拨：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力.上述解法通过利用利用导数的几何意义求出切线的斜率建立数列递推公式，为第二小题的解答提供了条件.跟踪练习1、已知曲线
8、C1:yx 22x2 和曲线 C2:yx 33x 2 x5 有一个公共点12P（2，2） ，求过点 P 处两条曲线的切线的夹角.2、已知函数 f(x)2x 3ax，g(x) bx 2c 的图象都过点 P(2，0)，且在点 P 处有公切线，求 a，b，c 及 f(x)，g(x)的表达式.3、确定抛物线方程 yx 2bx c 中的常数 b 和 c，使得抛物线与直线 y2x 在x2 处相切.4、设整数 k0，1.过点 P(1，0) 作曲线 C：y x k(x 0)的切线，切点为 Q1，设点Q1 在 x 轴上的射影是点 P1；又过点 P1 作曲线 C 的切线，切点为 Q2，设点Q2 在 x 轴上的射影
9、是点 P2，这样一直作下去，可得到一系列点Q1，Q 2，.设点 Qn(n1，2，) 的横坐标构成数列a n.证明a n是等比数列.参考答案1、解：yx 22x2，y2x 2，过点 P 曲线 C1 的切线斜率为k12222，又yx 33x 2 x5，y3x 26x ，过点 P 曲线 C1 的切线斜率为12 12k232 262 ，12 12设两直线的夹角为 ，根据两直线的夹角公式，得 tan| | ,所以32arctan .322、解：f( x)2x 3ax 的图象过点 P(2，0)，故 a8，故 f(x)2x 38x，又 f(x)6x 28，f(2)16，由 g(x)bx 2c 的图象过点 P
10、(2，0)，得 4bc 0.又 g(x)2bx，g(2)4bf(2)16，b4，从而 c16，f(x)2x 38x，g(x )4 x216.3、解： y2xb，ky| x=24b=2 ，b2.又当 x2 时，y 2 2（ 2）2 cc，代入 y2x，得 c4. 4、解：y k xk1，y| xa nka nk1，以 Qn(an， ank)为切点的切线方程为 yankka nk1(xan)，当 n1 时，切线过点 P(1，0)，0a 1kka 1k1(1a1)a1 ，kk 1当 n2 时，切线过点 Pn1(an1，0) ，0 ankka nk1(an1an) an an1，kk 1整数 k0，1，a 1 0，a n是等比数列.kk 1
