1、第三十三课时函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1了解解实际应用题的一般步骤；2初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；3渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 【精典范例】例 1写出等腰三角形顶角 （单位：度）与底角 的函数关系yx【解】 802yx90点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分实际问
2、题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义例 2某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 万元,生产每台计算机的可20变成本为 元,每台计算机的售价为 元.分别写出总成本 (万元) 、单位成本3050C（万元） 、销售收入 （万元）以及利润 （万元）关于总产量 （台）的函数关系式.PRLx分析：销售利润 销售收入 成本 ,其中成本 (固定成本 可变Lxxx成本). 【解】总成本与总产量的关系为.20.3,CxN单位成本与总产量的关系为建立数学模型得出数学结果解决实际问题实际问题听课随笔.20.3,PxN销售收入与总产量的关系为5,R利润与总产量的关系为0.2,L
3、CxN例 3大气温度 随着离开地面的高度 增大而降低，到上空 为止，大约每()y ()km1km上升 ，气温降低 ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为 ） 1km6 2C求 ： （ 1） 与 的 函 数 关 系 式 ；x（ 2） 以 及 处 的 气 温 3.512k【解】 （1）由题意，当 时， ，06yx当 时， ，x214从而当 时， 1y综上，所求函数关系为；26,014()xy（2）由（1）知， 处的气温为3.5xkm，263.51C处的气温为 xk4C点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第 1 小题得到的是关于自变量的分段函数；第 2 小题是已知自变量的值
4、，求函数值的问题追踪训练一1生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为 件时的成本函数是 （元） ，若每售x2120Cxx出一件这种商品的收入是 元，那么生产并销售这种商品的数量是 件时，该企业所20 0得的利润可达到.1780元2某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（ 为线段，yt OA为某二次函数图象的一部分， 为原点）.ABO（1）写出服药后 与 之间的函数关系式 ；yt ()yfx（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不 少
5、于 微克时，对治疗49有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.解：（1）由已知得 2401(5),tty（2）当 时， ，得 ；01t9tt当 时， ， 524()得 ， ,3tt或 13t ， 193t， 129因此服药一次治疗疾病有效的时间约为 小时.5【选修延伸】一、函数与图象 高考热点 1: （2002 年高考上海文， 理 16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系， 如图所示，图（1）表示某年 个月中每月的平均气温.图（2）表1 示某家庭在这年 个月12中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于 该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）听课随笔A.气温最高时，用电量
6、最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加答案：C分析：该题考查对图表的识别和理解能力.【解】经比较可发现， 月份用电量最多，而 月份气温明显不是最高.因此 项错误.同理22A可判断出 项错误.由 、 、 三个月的气温和用电量可得出 项正确.B567C思维点拔：数学应用题的一般求解程序（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论追踪训练二1. 有一块半径为 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 的形状，它的下底 是RABCDABO 的直径，上底 的端点在圆周上，写出这个梯形周长 和腰长 间的函数关系式，CDyx并求出它的定义域分析：关键是用半径 与腰长 表示上底，由对称性： ，故只要求Rx2CDABE出 AE解：设腰长 ，作 垂足为 ， 连结 ，则 ，DBCEAB90 ，Rtt ， ，22xR A周长，22()4xyRx 是圆内接梯形 ABCD ，0,0E即 ，解得 ， 20xR2xR听课随笔即函数 的定义域为y02xR本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.【师生互动】学生质疑教师释疑
