1、第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析3.0 引言在前面的学习中，我们学习了卷积和与卷积积分，从而解决了 LTI 系统在时域进行分析的方法问题。这种方法在已知系统单位冲激响应和给定系统输入的条件下，计算 LTI 系统的响应十分方便。在这一章我们将开始讨论信号与 LTI 系统的另一种方法频域分析法。本章先讨论连续时间信号与系统，下一章讨论离散时间信号与系统。频域分析法的基本思想是设法把信号分解成一组基本信号单元的加权和或加权积分，进而利用 LTI 系统的线性和时不变性解决系统分析的问题。所不同的是，频域分析法中利用复指数信号作为分解信号的单元。在这种情况下，信号的表示就是傅立叶级数和傅立叶变换
2、。我们将看到，LTI 系统对复指数信号的响应具有特别简单的形式。并且，用复指数信号做基本信号还可以表示相当广泛的一类信号。因此，频域分析法在信号与系统的研究中有特别重要的作用，它使我们从频域的角度对 LTI 系统获得更深了解。3.1 LTI 系统对复指数信号的响应首先让我们考查一下 LTI 系统对复指数信号 和 的响应： stenz图 3.1 LTI 系统对复指数信号 和 的响应stenz由时域分析方法： (3.1)2 信号与系统(3.2)()()nknknkkyzhzzHz可见 LTI 系统对复指数信号的响应就是输入的复指数信号乘以由系统产生的加权系数，其响应是很容易求得的。根据前面一章对基
3、本单元信号的应用，若将连续（离散）时域信号表征为 （ ）的线性组合的话，则可以方便地求得系统对时域信号的响应。 stenz下面给出两个基本概念： 特征函数与特征值。如果系统对某一信号的响应是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。复指数函数 、 是一切 LTI 系统的特征函数。stenz、 分别是 LTI 系统与复指数信号相对应的特征值。 ()H(3.3)()()stHshed(3.4)nnzz只有复指数函数才能成为一切 LTI 系统的特征函数。对于时域的任何一个信号 或者 ，若能表示成为下列形式：()xt(3.5)又因为 利
4、用系统的齐次性和叠加性，则： (3.6)即，如果 LTI 系统的输入表示为第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 3（3.7）则系统的输出可表示为(3.8)同理： (3.9)knxaz则： (3.10)()knkyH这就是周期信号进行频域分解的基本出发点。3.2 连续时间周期信号的傅立叶级数表示3.2.1 连续时间傅里叶级数前面我们已讨论过成谐波关系的复指数信号集： 。该信号集中有无穷0()jktkte多个谐波分量，其中每个信号分量都是以 为周期的，其公共周期为 且该集合中02k02所有信号都是彼此独立的。如果将该信号集中所有信号线性组合起来，有： (3.11)显然 也是以 为周期的。这一表
5、达式就是 的傅里叶级数，这表明用傅里()xt02()xt叶级数可以表示连续时间周期信号。即：连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。4 信号与系统一般来说，周期信号都可以表示为： 例 3.1 求信号 的傅立叶级数。00()cos2s3xttt解：由欧拉公式可得在这一信号中有四个谐波分量，它们对应的系数为：a 1=a1=1/2 ，a 3=a3=1。3.2.2 频谱的概念（Spectral） 研究 中的每一个信号，它们除了成谐波关系外，每一个信号随时间 t 的变化规()kt律都是一样的，差别仅仅是频率不同。在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是 复数）和频率不同。
6、因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。分量 可表示为如图 3.2 所示。0jte图 3.2 的傅里叶级数表示而 和 可表示为0cost0int第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 5(3.12) (3.13)则, 和 的傅里叶级数表示如图 3.3 所示。0cost0int图 3.3 和 的傅里叶级数表示0cost0int因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数 时，就可以将 表()xt 0()jktkxtae()xt示为： 图 3.4 的频谱图0()jktkxtae这样绘出的图称为频谱图。 6 信号与系统频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，即 的关系。由于信号
7、的频谱完kaka:全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。3.2.3 傅里叶级数的其它形式 若 是实信号，则有 ；相应的，它的 有 或 。()xt()xtka*kka在这个条件下， 的傅立叶级数还可以表示成下面两种三角函数表示式 ：1、 若令 ，则 为实数， 的模关于 k 偶对称， 关于 k 奇对称 ，则：kjkaAe0ak(3.14) 2、若令 ，则 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称，则： kkaBjCa(3.15)3.2.4 连续时间傅里叶级数的系数确定如果周期信号 可以表示为傅里叶级数： ()xt， 则： 第 3 章 连续时间信号
8、与系统的频域分析 7两边同时在一个周期内积分，有 所以 即： (3.16)在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为： (3.17)(3.18)为傅立叶级数的系数或频谱系数，因为它是对信号 中的每一个谐波分量的大ka ()xt小作出的度量。 即是信号在一个周期内的平均值，也就是信号的直流分量。0针对不同的信号，其 不一样，则频谱图不同.频谱图绘出了信号的频谱特性，如信ka号由那些谐波分量构成；分量的大小，分布等信息。它与信号的时域波形表示二者是等价的。8 信号与系统3.2.5 周期性矩形脉冲信号的频谱 图 3.5 周期性矩形脉冲信号根据傅立叶级数系
9、数的定义，我们来求图 3.5 所示的周期性矩形脉冲信号 的傅()xt立叶级数系数：(3.19) 其中： (3.20)(3.21)函数波形分别如下： 第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 9图 3.6 信号 图 3.7 信号 sin()xSasini()xc根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比。k()xt102T当 T1 固定 T0 增大时， 的频谱如图 3.8 所示变化：=t图 3.8 对于 T1 固定和几个不同的 T0 值时，周期性方波傅立叶级数系数 Tak 的图这些系数都是包络 的等间隔样本，样本间隔为 0，随着 0 的增/)sin2(1 /210 信号与系统加而减小。当 T0 固定
10、T1 减小时， 的频谱如图 3.9 所示变化： ()xt图 3.9 对于 固定和几个不同的 值时，周期性方波傅立叶级数系数 Tak 的图1TT周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1、 离散性；2、谐波性；3、收敛性。考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：012当 不变，改变 时，随 增大使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱1T0T包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。当 改变， 不变时，随 减小使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的101第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 11包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。当 时，有： ()xtt表明：偶信号的
11、是关于 k 的偶函数、实函数。 ka当 时，有： ()xtt表明：奇信号的 是关于 k 的奇函数、虚函数。 ka3.3 连续时间非周期信号的傅立叶变换3.3.1 从傅里叶级数到傅立叶变换首先让我们考察一下周期矩形脉冲信号，其时域与频域波形如图所示。 图 3.10 周期矩形脉冲信号时域波形12 信号与系统图 3.11 周期矩形脉冲信号频域波形图 3.12 非周期矩形脉冲信号时域与频域波形当 增大的时候，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 增大而减小；而频谱的0T0T0T包络不变。当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 0第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 13由
12、(3.24) 当 时， ， ，由于 也随 增大0T02T0k011sin2kTa0而减小并最终趋于 0。考查 的变化，它在 时应该是有限的。于是，我们推断kaT出：当 时，离散的频谱将演变为连续的频谱。 0如果令，则有 。 (3.25) 与周期信号的傅里叶级数相比较有：， (3.26) 这表明：周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。根据傅里叶级数表示：当 时 ， ， ， ，0T()xt02dT0k于是有： 14 信号与系统(3.27) 1()()2jtxtXed此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的振幅为 的复指1()2Xjd数信号之和。由于 具有频谱随频率分布的物
13、理含义，因而称 为频()()jtXjxed ()j谱密度函数。与 就构成了一对傅里叶变换式。()xt)j(3.28)()()jtXjxed(3.29)1()()2jtxtXed3.3.2 常用连续时间非周期信号的傅立叶变换1、 ，()()txteu0a(3.30)(3.31)(3.32)第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 15图 3.13 的波形（ ）()()txteu0a图 3.14 的幅频特性图 图 3.15 的相频特性图()Xj()Xj2、 ，|()txte0a00()atjtatjtjeded(3.33)我们看到：实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用一幅图表示信号的频谱。对
14、此例，有|()|()Xjj()0Xj:16 信号与系统图 3.16 ， 图 3.17 |()txte0a()Xj3、 ()xt(3.34) 这表明 中包括了所有的频率成分，所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位()t冲激响应 才能完全描述一个 LTI 系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如h ()t此重要的意义。图 3.18 (t) 的时域波形 图 3.19 (t)的频频谱 ()Xj4、矩形脉冲:第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 17(3.35)图 3.20 矩形脉冲信号 图 3.21 矩形脉冲信号的频谱 ()Xj图 3.22 脉冲宽度增大的矩形脉冲信号 图 3.23 图 3.22
15、 所示信号的频谱将 中的 代之以 再乘以 ，即是相应周期信号的频谱：()Xj0k01T， (3.36) 5、 1,|()0WXj(3.37)18 信号与系统图 3.24 图 3.25 x(t)()Xj和矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域间存在一种对偶关系，信号的时限长度与信号的频谱主瓣宽度二者之间是相反的。与上例对偶图如下：图 3.26 x(t) 图 3.27 ()Xj图 3.28 x(t) 图 3.29 ()Xj同时可以看到，信号在时域和频域之间有一种相反的关系，即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对上述分析我们可以想到，如果 ，则 x(t)将趋于一个冲激。W6、若 ，
16、1t第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 19则有 。 (3.38)()2()Xj因为 所以 。 (3.39)3.4 收敛问题3.4.1 傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义： 1、 是否存在； ka2、级数是否收敛于 。 ()xt两组条件：1. 平方可积条件：如果 ，则 必存在。因为 能量有限，所以02()Ttdka()xt一定 存在。ka2. Dilihele 条件 在任何周期内绝对可积； 0()Txtd 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值； 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。满足绝对可积就保证了 存在，因为 ka(3.40)20 信号与系统这两组条件并不完
17、全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足 Dilihele 条件的信号：（a）(b)(c)图 3.30 不满足 Dirichlet 条件的信号（a） 信号 。周期为 1（该信号违反 Dirichlet 第一条件）1(),0xtt（b） 该信号不满足第二条件（c） 周期为 8 的一个周期信号，它不满足第三条件。第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 21不满足 Dilihele 条件的信号，一般来说在自然界中都是属于比较罕见的信号。下面就来研究一下满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里
18、叶级数是如何收敛于 的。()xt特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于 。()xt ()xt观察下面的波形，用有限项傅立叶级数去表征方波信号时，发现以下的规律： (1) 在连续点处完全收敛于 ； ()xt(2) 在不连续点处会出现超量与起伏，随着 N 的增大，近似式越逼近方波，但起伏仍存在， 最大的超量是方波数值的 9；(3) 方波的平顶部分主要取决于低频信号分量，间断点附近主要取决于高频信号分量。这一现象就称之为 Gibbs 现象。 22 信号与系统图 3.31 方波傅立叶级数表示的收敛：Gibbs 现象。图中对几个 N 值画出了有限项近似的波形Nktjkeatx0)(Gibbs 现
19、象表明：用有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有的能量减少。 对在一个周期内存在有限个第一类间断点的周期信号，其傅里叶级数在信号的连续点处收敛于信号本身；在间断点处, 傅里叶级数收敛于该处左右极限的平均值。3.4.2 傅里叶变换的收敛既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示，讨论周期趋于无穷时的极限得来的，傅里叶变换的收敛问题就应该和傅里叶级数的收敛相一致，也有相应的两组条件：1、 若 ，则 存在。2()xtd()Xj这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换
20、一定存在。2、Dilihele 条件：第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 23（1）绝对可积条件 ；()xtd(2) 在任何有限区间内， 只有有限个极值点，且极值有限；(3) 在任何有限区间内， 只有有限个第一类间断点。()xt这些条件只是傅里叶变换存在的充分条件，这两组条件并不等价。例如： 是平sint方可积的，但是并不绝对可积。和周期信号的情况一样，当 的傅里叶变换存在时，其傅里叶变换在 的连续()xt ()xt点处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生 Gibbs现象。3.5 周期信号的傅立叶变换到此为止，周期信号用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变
21、换表示。在涉及周期信号通过 LTI 系统时，会给分析带来不便。由于周期信号不满足 Dilihele 条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅里叶变换表示。考查 所对应的信号 0()2Xj(3.41)这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。 若 ，0()jktxte则 。2Xj于是，当周期信号表示为傅里叶级数 时，就有0()jktkxtae24 信号与系统(3.42)0()2()kXja这表明，周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度正比于傅里叶级数系数 。k例 3.2 图 3.32 例 3.2 图 图 3.33 例 3.3 图 例 3.3 例 3.4
22、第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 25图 3.33 例 3.4 图 图 3.34 例 3.4 图例 3.5 周期性矩形脉冲的傅立叶变换： 1002sin()2()()kkTXj k图 3.35 例 3.5 图 图 3.36 例 3.5 图注意：周期信号不满足绝对可积条件；引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。求周期信号的傅立叶变换时，应首先求出周期信号傅立叶级数的系数，然后代入计算公式中求出。26 信号与系统3.6 傅立叶级数的性质1、线性若 、 都是以 T 为周期的信号，且：()xty, 则： (3.43)2、时移
23、(3.44)3、反转(3.45)推论：若 为偶函数，即 ，则 ； ()xt()xttka若 为奇函数，则 ；kka若 为实函数，则 ；()xt*若 为实、偶函数，则 ， 为实、偶函数； kka若 为实、奇函数，则 ， 为虚、奇函数。()xt*4、尺度变换， 以 T 为周期，对 ，若 a 0，则 以 为周期，若其傅()kta()t()xt()xatT里叶系数为 ，则： kb第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 27令 ，当 在 变化时， 从 变化，于是： att0Ta:0T:(3.46)5、相乘， ， ， 均以 T 为周期,设 ,则(3.47)3.7 傅立叶变换的性质1、线性 若 (),()
24、xtXjytYj则 (3.48)2、时移若 ()xtj则 (3.49)00(jtXe28 信号与系统这表明：信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个线性相移。 3、共轭对称性 若 ()xtXj则 (3.50)若 是实信号，则 。 ()xt *()xt于是有： (3.51)若 ，则可得 ， (3.52)即实部是偶函数。 若 ()()(jXXje:则可得出 (3.53)(3.54)即，模是偶函数，相位是奇函数。 若 ，即信号是偶函数，则 ()xtt(3.55)表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数。 第 3 章 连续时间信号与系统的频域分析 29又因为 所以 (3.56)表明： 是实函数。 ()Xj若 ，即信号是奇函数，则同样可以得出： xtt， (3.57)表明 是奇函数。 ()Xj， (3.58)表明 是虚函数。()j若 ，则有 ()eoxtxt， (3.59)， (3.60)例 3.6 求 的频谱。 ()ut解：令 ()()eoutt30 信号与系统已知 所以所以 图 3.37 、 、 的波形()ute()out实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数：
