1、第三十一课时用二分法求方程的近似解【学习导航】 知识网络 学习要求 1通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一 自学评价1二分法对于在区间上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函()fab0)(xfy数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近)(xf似值的方法叫做二分法2给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：()fx（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 ；,abab0（2）求
2、区间 的中点 ；()1（3）计算 ：1xf若 = ，则 就是函数的零点；0 若 ，则令 = （此时零点 ） ；)(affb1x),(10xa若 ，则令 = （此时零点 ） ；1bab（4）判断是否达到精度 ：即若 ，则得到零点值 （或 ） ；否则重复步骤|24【精典范例】例 1：利用计算器，求方程 的一个近似解（精确到 0.1） 012x【解】设 ，2()fx先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为，210,(3)2ff所以在区间 内，方程 有一解，记为 .取 与 的平均数 ，因为 10x1x232.5，.5f所以 .1x再取 与 的平均数 ，因为 ，2.25(2.5).4370f听课随笔所以
3、 .12.5x如此继续下去，得 1()0,(3)(2,3)ff10,(2.5)(2,.5)ffx0.x 1370(2.375,)fx，因为 与 精确到1275,475,ff.4.37.4的近似值都为 ，所以此方程的近似解为 .1.12x利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评: 第 一 步 确 定 零 点 所 在 的 大 致 区 间 ， 可 利 用 函 数 性 质 ， 也 可 借 助 计 算 机 或 计 算),(ba器 ， 但 尽 量 取 端 点 为 整 数 的 区 间 ， 尽 量 缩 短 区 间 长 度 ， 通 常 可 确 定 一 个 长 度 为 1 的 区 间 ；建议列表样式如下
4、：零点所在区间 区间中点函数值 区间长度3,20)5.2(f15.0.5,)37.(f0.25.237045.f0.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步例 2：利用计算器，求方程 的近似解（精确到 0.1） x3lg分析：分别画函数 和y的图象，在两个函 数图象的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方 程 的解由函数 与x3lglgyx的图象可3yx以发现，方程 有惟一解，记为l，并且这个解在1 区间 内.(2,)【解】设 ，利用计算器计算得 ()lg3fx120,(2,)f1.50,(3)(.5,3)ffx(.5)(.7)0,7fx 12.,620
5、(2.5,6)fx6,65f 1(.6,)听课随笔因为 与 精确到 的近似值都为 ，所以此方程的近似解为 2.56.0.12.6.12x思考:发现计算的结果约稳定在 .这实际上是求方程近似解的另一种方法迭代.587法除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等例 3：利用计算器，求方程 的近似解（精确到 0.1） 24x【解】方程 24x可以化为 分别画函数 xy与 的图象，由图象可以知道，方程 的解在区间 内，那么对于区间424x(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 .(1,2) 1追踪训练一1. 设 是方程 的解，则 所在的区间为 （ B ）0xln4x0xA B
6、 (3,4)(2,3)C D1212. 估算方程 的正根所在的区间是 （ B ）257A B (0,)(,)C D3343计算器求得方程 的负根所在的区间是（ A ）210xA （ ，0） B1,C D2.5, .54.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到 ).1(1) (2)lgx34x答案: (1) (2) ,0.81.92.6【选修延伸】一、含字母系数的二次函数问题例 4：二次函数 中实数 、 、 满足 ，其中2()fxpqrpqr021pqrm，求证：0m（1） )；(01pf（2）方程 在 内恒有解x(,分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据： 是区间 内的数，1m(0
7、,)且 ，这就启发我们把区间 划分为( ， )和（ ， ）来处()01mpf0,1)01m1理【解】 （1） 2()()()1mf qr2()p2(1)pm222(1)()m，2(1)p由于 是二次函数,故 ，又 ，所以， )fx0m()01mpf 由题意，得 , ()fr()fpqr当 时，由（1）知0p1若 ，则 ，又 ,所以 在（ ， ）内有解r()f()0fm()fx01m若 ，则pqr，又 ，所以 在（ , ）()2rm2()1f()fx1内有解当 时同理可证0p点评：（1）题目点明是“二次函数” ，这就暗示着二次项系数 若将题中的“二次”0p两个字去掉，所证结论相应更改（2）对字母
8、 、 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 分类，pr p然后对 分类显然是比较好追踪训练二1若方程 在 内恰有一则实数 的取值范围是 (B ) 210ax(,)aA B ,)8C D(,)82.方程 的两个根分别在区间 和 内，则 的取值范围是210xk(0,1),2k听课随笔听课随笔；12k3已知函数 ，在 上存在 ，使 ，则实数 的取值范围()24fxm2,10x0()fm是_ _1或4已知函数 3fx试求函数 的零点；y是否存在自然数 ，使 ？若存在，求出 ，若不存在，请说明理由n10fn答案：（1）函数 的零点为 ；()x（2）计算得 ， ，9738ff由函数的单调性，可知不存在自然数 ，使 成立n10f学生质疑教师释疑
