1、 不等式【知识网络】11 不等式的性质同加性 传递性同乘性对称性不等式的性质实数比较大小不等式的证明综合法分析法比较法常规方法特殊方法换元法 放缩法 判别式法法 反证法 数学归纳法法解不等式基本类型不等式的解法n 元均值不等式绝对值不等式的性质一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式【考点透视】一、考纲指要1理解不等式的性质及其证明.二、命题落点1不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例 1，例 22利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或
2、取值范围等如练习 9.【典例精析】例 1 : 若 则下列不等式不能成立的是（ ）0,abA B 2abC D 1()解析: 由 知 ab 0, 因此 成立;0ab,abab、由 得,0;、由于 是减函数, 所以 亦成立,故一定不成立的是 Bx12ab12答案：B例 2：（2003北京）设 a，b，c ，dR ，且 ab，cd，则下列结论中正确的是（ ）Aa+ cb+d Bac bd Cacbd D 解析：ab，cd，a+ cb+D答案：A例 3：（2005福建）不等式 的解集是（ ）0132xA B1|xx或 213|xC D2| |解析:不等式 的解是 x 或 x 成立; 1341naaa
3、24（3）求证: (1+ ) , 1211n425！ =120, 6！=720, n5 取 N=5, nN 时, 原不等式成立. （3） (1+ ) 展开式通项: T =C ( ) = 0，y0，且 恒成立，则 a 的最小值是 （ yxax）A2 B C2 D123已知 则一定有 （ 0,cba）A B240bac042acbC D4已知 ,则 （ 131,0,log9xyyuxy）A B C D 1u1u1u1u5给出下列 3 个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；abR2abxR2x若且 ，则 ，其中真命题的序号为_xR02x6已知两个正数 满足 ，则使不等式 恒成立的实数 m 的取值范围,y4
4、14xy是 7 （1） 求证 ；),0(xxxln1（2） 求证 Nn2 121l3nn8已知函数 的最大值不大于 ，又当)(af6.8)(,4xf时（1）求 a 的值；（2）设 .1.),(,210 naNnfn证 明9数列 由下列条件确定：nx Nxxann,2,011（1）证明：对于 ,n总 有,2（2）证明：对于 1x总 有1.4 不等式的解法.【考点透视】一、考纲指要1掌握简单不等式的解法.二、命题落点1主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例 1，例 2；2考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例 3.【典例精析】例 1：
5、（2005重庆）不等式组 的解集为（ ）1)(log,2|xA B C D)3,0(),3(4,3)4,2(解析： 的解集为 ， 的解集为2x042lx,不等式 的解集为2log1x3,4答案：C例 2：（2005辽宁）若 ，则 a 的取值范围是（ ）01log2aA B C D),1(),()1,()21,0(解析：法一：代特殊值验证法二：当 ，即 时，无解；01log20a12a当 ，即 时， 01log22a12a2答案:C例 3：（2005江西）已知函数 （a，b 为常数）且方程 f(x)x+12=0 有xf2)(两个实根为 x1=3, x2=4.（1）求函数 f(x)的解析式；（2）
6、设 ，解关于 x 的不等式； 1kxkf2)1()解析：（1）将 ，得04,321 ba分 别 代 入 方 程 ).2()(,2841693 xfbaa所 以解 得（2）不等式即为 ，02)1(,2)1(2 xkxkx可 化 为即 .0)(1)(kx当 ).,(,2x解 集 为当 );,2(),101)2( xk 解 集 为不 等 式 为时 ),kx解 集 为时当【常见误区】1解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误；2解含参数不等式时对字母讨论不全面.【基础演练】1(2004天津 ) 不等式 的解集为 （ 21x）A B )0, ),1C D 1(),0(2不等式 的解集为
7、则实数 a 的取值集合为 （ 3ax2|2,x）A B 1 C a| a1 D 1 1|2a3 （2005 辽宁）在 上定义运算 ： 若不等式 对)1(yx)()(x任意实数 x 成立，则 （ ）A B C D1a20a231a21a4设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围为（ 1,4)()2xxf )(xfx）A B 0,2,1,02,C D15已知 则不等式 5 的解集是 . ,0)(xf 2)(xf6( 2004全国)设函数 则实数 a 的取值范围是 .)(.0(1,)(afxxf 若7实系数方程 的一根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 求2xab的1ba取值范围.
8、8解关于 x 的不等式 0（aR） 29记函数 f(x)= 的定义域为 A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1，02） ，则 （ )a(1p2a4q）Apq B p25 时, Q= , 当 =50 时 Q 最大为 .v2)501(vaav13 不等式的证明1. B 2. C 3. D 4. B 5. 6. 9(,47. （1）令 ， 由 知 ， 于是，原不等式等价于tx0x1ttx一方面，令 ， 则有 ，当ln1tfln)( ttf1)(，有 从而可以知道，函数 在 上是递增函数，),()(tf ()ft,所以有 ，即得 另一面，令 ，则0tf ttl1ttg1ln)(有 ，当 时，有
9、 ，从而可以知道，函数21)(ttg ),(0)(t在 上是递增函数，所以有 ，即得 t),1tgtl综上可知 xx1ln1（2）联系不等式（）和（） ，就会发现，令 时，不等式,2n也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得 xxln1 121lg23ln132 nn即 8 （1）由于 的最大值不大于 所以 23)(xaf,6.1,6)3(22aaf即 又 所以 . ,81)(2,41xfx时 1.8324,81)(,2aaf 解 得即由得 .a（2） （i）当 n=1 时， ，不等式 成立；21010n因 时不等式也成立.2,36)(),3(,)( 1afxf 故所 以（ii）假设 时，不等
10、式 成立，knk因为 的对称轴为 知 为增函数，2)(xf,x,0)(在xf所以由 得 3101ka1(0kafk于是有 ,21)(1242)1(21 kkk所以当 时，不等式也成立. n根据（i） （ii）可知，对任何 ，不等式 成立. Nnna9 (1) )()(21,0)(2101 Nnaxxxaxa nnnn从 而知及 成 立时当 nn2）当 时， )(21),(21,01nnnn xaxxaxax =2 11.,nnax时 成 立14 不等式的解法1. A 2. A 3. C 4. A 5. 6. .3|2xa7. 设方程的两个根为 由根与系数关系的得 12, 12xab依题意得 3
11、41.0 412aaab a 8. 原式 （xa） （x a 2）0，x 1a，x 2a 2当 a=a2 时，a=0 或 a=1，x ，当 aa 2 时，a1 或 a0，axa 2，当 aa 2 时 0a1，a 2xa，当 a 0 时 axa 2，当 0a1 时，a 2xa，当 a1 时，axa 2，当 a=0 或 a=1时，x 9. (1)2 0, 得 0, x0, 得 (xa1)(x2a)2a, B=(2a,a+1).B A, 2 a1 或 a +11, 即 a 或 a2, 而 a ,即 140|b|时，左= |)ba(| |ba|1|ba| |b|a1|= 2|20.（1） 由 或x3，
12、任取x 10 且(x 1+3)(x2-3)0, 当a1时，f(x 1)-f(x2)0,f(x)单调递减.（2）若f(x)=g(x)有实根，即： )(log3logxxaa .3013x 即方程： 有大于3的实根)1(x（ x3）)6(2)(13xa43281)3(121)382 xx“=”当且仅当x-3= 即下32 时成立，a （0， ）1x 4（3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)- =ln(x-3)- ， （x）= ,由 0 有8x2h31x4xx2-3x-4=0,解得 x1=4;x2=-1（舍去） 当 x4,6时，h !(x)0,h(x)单调递减；所以函数 h(x)在4，6上的
13、最小值为 h(6)=ln3-4，最大值为 h(4)=-2. 21.（1）由 ，当 时，由题意，可得 ，()1kgn0n8k所以 .8()0)()10f n（2）由10()1)(10)08()nfnn 9108(1)1082950n当且仅当 ，即 时取等号，所以第 8 年工厂的利润最高，最高为 520 万n98元.22. 可以组建如下命题：命题一： 中，若 、 、 成等差数列，求证：（1）0B ;（2）ABCabc 3；32coscs2ba命题二： 中，若 、 、 成等差数列,求证：（1）0B ;ABCabc 3（2）1 1sin2co2命题三： 中，若 、 、 成等差数列,求证：（1） ;ABCabc 32cos2CAba（2）1 1sin2co命题四： 中，若 、 、 成等比数列,来源:ABCabc求证：（1 ）0B ;3（2）1 sin2coB证明：（1） , , 成等差数列 b= abc2ac ，22()3()cos 8acacBac6218ac且 0 ；(,)B3（2） ；1cos1coscoss322coscos2222CACAaCAacbaa（3） 1in(in)csincs()cscs 4BBB0 B ， ， ， 3412o()12cos()24B（4） 、 、 成等比数列， ， 且abcbac 1os222abacacBc，0 (,)BB3
