1、全等三角形在几何证题中的作用全等三角形 是初中几何的重 点，是研究图形性质的基础 ，在几何证题中有着广泛的应用 下面举例说明其具体应用1证线段相等来源:学*科*网 Z*X*X*K例 1 如图 1，正方形 ABCD 的边 BC、CD 上取 E、F 两点，使EAF=45 ，AGEF 于 G来源:Z#xx#k.Com求证 AG=AB 证明 将ABE 以 A 点为原点逆时针旋转 90，得到 ADH 可证AHFAEF由此可知 AG=AD，AG=AB2证角相等例 2 如图 2，在ABC 中， AB=AC，P 是三角形内任意一点，APB=APC求证 PBC=PCB证明 作CAP=BAP，取 AP=AP，连结
2、 CP、PP，可证ABP ACP，从而可证 PB=PC，于 是 PBC=PCB例 1、例 2 是用旋转变换构造出全等三角形，使已知条件与未知条件建立联系，证明途径易于发现对具有等边特征的图形，一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置3证线段不等例 3 如图 3，设 P 为三角形 ABC 内一点，且 PC=BC来源:Z#xx#k.Com求证 AB AP证明 作BCP 的平分线交 AB 于 D，连结 DP，可证CBDCPD，于是DB=DP在ADP 中，有 ADDPAP，即ADDBAP ，ABAP4证角不等例 4 4，已知ABC 中， ABAC ，AD 是 BC 边上的中线，求证 12证明 延长 AD
3、至 E，使 DE=AD，可证ADCEDB，于是BE=AC，E=2在ABE 中，ABAC ，BE=AC ，ABBE ，1E，即12，本题是用旋转法将ACD 转到EBD 的位置，使要比较大小的1、2（即E）处在同一个三角形中 5证线段的和差倍分例 5 如图 5，已知点 E、F 分 别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，并且DAF=EAF来源:Zxxk.Com求证 BEDF=AE证明 作BAG= D AF，AG 与 CB 的延长线交于点 G可证 ADFAB G，进而可证EAG= AFD，又AFD=G，EAG=G，GBBE=AE，故 BEDF=AE本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等，也可以
4、用截长法 把线段的和差转化为证线段相等例 6 如图 6，ABC 中， AB=AC，E 为 AB 的中点，在 AB 延长线上取一点D，使 BD=BA求证 CD=2CE证明 取 CD 的中点 F，连结 BF，可证出BCEBCFCF=CE来源:学科网 ZXXK又本例用折半法证明线段的倍分问题，也可以用加倍法证明线段的倍分问题来源:学科网6证角的和差倍分例 7 如图 7，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，F 是 CE 的中点求证 BAF=2DAE证明 取 BC 的中点 G，连结 AG 并延长交 DC 的延长线于 H 点设正方形的边长为 a，则可证ABGHCGCHABa，H1，3= H
5、，1= 3，在 ABG 和 ADE 中，来源:学科网AB=AD， B=D，BG=DE ，ABGADE，1= 2，BAF=2DAE7证两直线垂直来源:学科网例 8 如图 8，已知梯形 ABCD 中，CD AB，M 为腰 AD 上的一点，若ABCD=BC，MC 平分DCB求证 BMMC证明 延长 BA 至 E，使 AE=DC，连结 CE 交 DA 于 M可证EAMCDMEMCM 来源:学.科.网ABCD=BC，AB AE=BC即 BC=BE，来源:学_科_网在 等腰三角形 BCE 中，BC=BE，EM=CM，BMMC，BCE= CEB又由于ECD=CEAECD= ECB即 CM是 DCB 的平分线因此 M与 M 重合故 BMMC8证两直线平行例 9 已知如图 9，AB=CD，A D=BC，求证 ABDC，ADBC证明 连结 BD在ABD 和CDB 中，AB=CD， AD=BC，BD=DB，ABDCDB ，1= 2， 3= 4，ABDC ，ADBC
