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全等三角形在几何证题中的作用.doc.doc

1、全等三角形在几何证题中的作用全等三角形 是初中几何的重 点,是研究图形性质的基础 ,在几何证题中有着广泛的应用 下面举例说明其具体应用1证线段相等来源:学*科*网 Z*X*X*K例 1 如图 1,正方形 ABCD 的边 BC、CD 上取 E、F 两点,使EAF=45 ,AGEF 于 G来源:Z#xx#k.Com求证 AG=AB 证明 将ABE 以 A 点为原点逆时针旋转 90,得到 ADH 可证AHFAEF由此可知 AG=AD,AG=AB2证角相等例 2 如图 2,在ABC 中, AB=AC,P 是三角形内任意一点,APB=APC求证 PBC=PCB证明 作CAP=BAP,取 AP=AP,连结

2、 CP、PP,可证ABP ACP,从而可证 PB=PC,于 是 PBC=PCB例 1、例 2 是用旋转变换构造出全等三角形,使已知条件与未知条件建立联系,证明途径易于发现对具有等边特征的图形,一般可考虑用旋转法迁移线段或角的位置3证线段不等例 3 如图 3,设 P 为三角形 ABC 内一点,且 PC=BC来源:Z#xx#k.Com求证 AB AP证明 作BCP 的平分线交 AB 于 D,连结 DP,可证CBDCPD,于是DB=DP在ADP 中,有 ADDPAP,即ADDBAP ,ABAP4证角不等例 4 4,已知ABC 中, ABAC ,AD 是 BC 边上的中线,求证 12证明 延长 AD

3、至 E,使 DE=AD,可证ADCEDB,于是BE=AC,E=2在ABE 中,ABAC ,BE=AC ,ABBE ,1E,即12,本题是用旋转法将ACD 转到EBD 的位置,使要比较大小的1、2(即E)处在同一个三角形中 5证线段的和差倍分例 5 如图 5,已知点 E、F 分 别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,并且DAF=EAF来源:Zxxk.Com求证 BEDF=AE证明 作BAG= D AF,AG 与 CB 的延长线交于点 G可证 ADFAB G,进而可证EAG= AFD,又AFD=G,EAG=G,GBBE=AE,故 BEDF=AE本例用补短法把线段的和差转化为证线段相等,也可以

4、用截长法 把线段的和差转化为证线段相等例 6 如图 6,ABC 中, AB=AC,E 为 AB 的中点,在 AB 延长线上取一点D,使 BD=BA求证 CD=2CE证明 取 CD 的中点 F,连结 BF,可证出BCEBCFCF=CE来源:学科网 ZXXK又本例用折半法证明线段的倍分问题,也可以用加倍法证明线段的倍分问题来源:学科网6证角的和差倍分例 7 如图 7,已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点,F 是 CE 的中点求证 BAF=2DAE证明 取 BC 的中点 G,连结 AG 并延长交 DC 的延长线于 H 点设正方形的边长为 a,则可证ABGHCGCHABa,H1,3= H

5、,1= 3,在 ABG 和 ADE 中,来源:学科网AB=AD, B=D,BG=DE ,ABGADE,1= 2,BAF=2DAE7证两直线垂直来源:学科网例 8 如图 8,已知梯形 ABCD 中,CD AB,M 为腰 AD 上的一点,若ABCD=BC,MC 平分DCB求证 BMMC证明 延长 BA 至 E,使 AE=DC,连结 CE 交 DA 于 M可证EAMCDMEMCM 来源:学.科.网ABCD=BC,AB AE=BC即 BC=BE,来源:学_科_网在 等腰三角形 BCE 中,BC=BE,EM=CM,BMMC,BCE= CEB又由于ECD=CEAECD= ECB即 CM是 DCB 的平分线因此 M与 M 重合故 BMMC8证两直线平行例 9 已知如图 9,AB=CD,A D=BC,求证 ABDC,ADBC证明 连结 BD在ABD 和CDB 中,AB=CD, AD=BC,BD=DB,ABDCDB ,1= 2, 3= 4,ABDC ,ADBC

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