1、函数的应用举例例题解析1几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何) 问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题【例 1】 如图 291，一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到 A 点若点 P 的路程为 x，点 P到顶点 A 的距离为 y，求 A、P 两点间的距离 y 与点 P 的路程 x 之间的函数关系式解 (1)当点 P 在 AB 上，即 0x1 时，APx，也就是 yx(2)当点 P 在 BC 边上，即 1x2 时，AB=1，AB BP x，BPx1，根据勾股定理，得 AP2AB 2BP 2 y=A+()2(3)当
2、点 P 在 DC 边上，即 2x3 时，AD1，DP3 x根据勾股定理，得 AP2=AD2DP 2 y=1+()260(4)当点 P 在 AD 边上，即 3x4 时，有 y=AP4x所求的函数关系式为2行程问题类【例 2】 已知， A、B 两地相距 150 公里，某人开汽车以 60 公里/ 小时的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留一小时后再以 50 公里 /小时的速度返回A 地，求汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t 的函数解 根据题意：(1)汽车由 A 到 B 行驶 t 小时所走的距离 x=60t，(0t 2.5)(2)汽车在 B 地停留 1 小时，则 B 地到 A 地的距离
3、x150(2.5x3.5)(3)由 B 地返回 A 地，则 B 地到 A 地的距离 x=15050(t3.5)32550t(3.5 x6.5)总 之 =60t(2.5)1.t336.3工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题【例 3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图292 所示)，在窗框为定长 l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解 设半圆的直径为 x，矩形的高度为 y，窗户透光面积为 S，则窗 框 总 长 ，l=2 y(+)4Sx(2+)x4=22l8()()当 时 ， ，此 时 ，x24+S
4、=ymax2ll4答 窗 户 中 的 矩 形 高 为 ， 且 半 径 等 于 矩 形 的 高 时 ， 窗 户 的 透 光l4面积最大说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数【例 4】 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于 600 米，如果某段铁路两端相距 156 米，弧所对的圆心角小于 180，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围解 设园的半径为 R，圆弧弓形高 CD=x(m)在 Rt BOD 中，DB 78，OD=Bx(Rx) 278 2=R2解 得 =x6084由题意知 R600 x260得 x21200x60840(x0)，解得 x5.1 或
5、 x1194.9(舍)圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1 4营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率) ，确定销售价格考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价进货价【例 5】 将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可销售 200 件，若每件售价涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润解 设每件售价提高 x 元，则每件得利润(2x) 元，每天销售量变为(20020x)件，所获利润y=(2x)(200 20x)=20(x4) 2720当 x=4 时，即售价定为
6、 14 元时，每天可获最大利润为 720 元5单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算设本金为 P 元，每期利率为 r，经过 n 期后，按单利计算的本利和公式为 Sn=P(1nR)【例 6】 某人于 1996 年 6 月 15 日存入银行 1000 元整存整取定期一年储蓄，月息为 9，求到期的本利和为多少？解 这里 P=1000 元，r=9，n12，由公式得 S12P(112r)1000(1 0.00912)=1108 元答 本利和为 1108 元6复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息设本金为 P，每期利率为 r，设本利和为 y
7、，存期为 x，则复利函数式为 y=P(1r) x【例 7】 某企业计划发行企业债券，每张债券现值 500 元，按年利率6.5的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和 1000 元？(参考lg2=0.3010，lg1.0650.0274) 解 设 n 年后每张债券一次偿还本利和 1000 元，由 1000=500(16.5)n，解得 n=lg2/lg1.06511答 11 年后每张债券应一次偿还本利和 1000 元7函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解【例 8】 某工厂今年 1 月、 2 月
8、、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2万件、1.3 万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abxc( 其中 a、b、c 为常数)，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由解 设二次函数 y1f(x)=px 2qxx(p 0)则 f()=pqr24.3913P0.5q=r.7y 1=f(x)=0.05x 20.35x 0.7f(4)=0.0516 0.3540.7=1.3又 y=abxc得 abc=1.23a0.8b1c.
9、423 当 时 ， 经 比 较 可 知 ： 用 作 模 拟 函 数 较 好 y=0.8(1).x4.(2)1.4=35y0.8.xx【例 9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是 和 万 元 ， 它 们 与 投 入 资 金 万 元 的 关 系 是 ， ， 今PQ()()P=x4Q3投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为 x 万元，投入乙产品资金为(3x) 万元，总利润为 y 万元 =PQ14(03)t3x=ty=14(3t)t2 2 令 则 ， 316当 时 ，此 时 ， t2y216
10、x=3t4max答 对甲、乙产品分别投资为 0.75 万元和 2.25 万元，获最大利润为216万 元 8增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题【例 10】 某工厂 1988 年生产某种产品 2 万件，计划从 1989 年开始，每年的产量比上一年增长 20，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万元(已知 lg20.3010，lg30.4771)解 设过 x 年后，产量超过 12 万件则有 2(120) x12解得 x9.84答 从 1998 年开始年产量可超过 12 万件9相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)
11、 知识的一类数学问题【例 11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1，a 2，a n，共 n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，求从 a1，a 2，a n 推出的 a 值解 a 应满足：y=(a a 1)2(aa 2)2(aa n)2 n2(1n1此式表示以 a 为自变量的二次函数，n0 当 时 ， 有 最 小 值 此 时 =(+a)2nay11 an210决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题【例
12、 12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台，现销售给 A 地 10 台，B 地 8 台，已知从甲地调运一台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元，从乙地调运一台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和500 元(1)设从乙要调 x 台至 A 地，求总运费 y 关于 x 轴的函数关系式(2)若总运费不超过 9000 元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费解 (1)y=300x500(6x)400(10x) 80012(10 x)=200(x43)(0x 6，xN)(2)当 x=0，1，2 时，y9000 ，故共有三种方案，总运费不超过 9000元(3)在(1)中，当 x0 时，总运费最低，调运方案为：乙地 6 台全调 B 地，甲地调 2 台至 B 地，10 台至 A 地，这时，总运费 y8600 元
