1、2.1.4 函数的奇偶性1奇、偶函数的概念名称 定义奇函数 设函数 yf(x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD ，且 f(x )f(x )，则这个函数叫做奇函数偶函数 设函数 yg(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有x D，且 g(x) g(x )，则这个函数叫做偶函数谈重点 对函数奇偶性的理解(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若 x是定义域中的一个数值，则x 必然在定义域中，因此，函数 yf(x) 是奇函数或偶函数的一个必不可少的前提条件是定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原
2、点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数 y2x 在( ，)上是奇函数，但在2,3上则无奇偶性可言(2)函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(3)既奇又偶函数的表达式如 f(x)0( xA)，定义域 A是关于原点对称的非空数集如函数 f(x)0(2x2)是既奇又偶函数；再如函数 f(x) ，定义域为0 且 f(x)x x0，所以该函数也是既奇又偶函数(4)若奇函数在原点处有定义，则有 f(0)0.(5)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从
3、这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个 x，都有 f(x) f (x)(或 f(x)f(x)，才能说 f(x)是奇(偶)函数用定义判断函数奇偶性的一般步骤(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原 点对称，则进行下一步(2)求 f( x)并判断 f(x)与 f(x)的关系若 f(x )f(x) ，则函数为偶函数；若 f(x )f(x )，则函数为奇函数；若 f(x )f(x) 且 f(x) f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数；若 f(x )f(x) 且
4、 f(x) f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数(3)得出结论【例 11】下列说法正确的是( )A若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(0)0，则 f(x)是奇函数解析：A B来源:来源: 数理化网 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如 yx1.C 奇函数若在原点处有定义，则 f(0)0，反之不一定成立，如D yx 2.答案：B【例 12】判断下列函数的奇偶性：(1) ；()=1fx(
5、2) ；2x(3)f(x)x 22|x|1，x1,1解：(1)由 得 x1，0,函数 f(x)的定义域为1，不关于原点对称故 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由 得 x21，即 x1.20,1函数 f(x)的定义域是1,1，关于原点对称又f(x )0 ，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(x) (x) 22| x|1 x 22|x|1f (x)，f (x)是偶函数2奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(
6、2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数析规律 巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于 y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数( ，0( 或0，)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形【例 21】奇函数 f(x)的定义域是2,2 且其图象的一部分如图所示，则不等式 f(x)0 的解集是_解析：由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出 f(x)0 的解集是( 1,0) (1,2)答案：(1,0) (1
7、,2)【例 22】已知，如图为某函数 yf (x)的图象(关于原点对称)，且 f(2)2，求 f(2)的值是多少？解：函数 yf( x)的图象关于原点对称，函数 yf(x) 是奇函数又 f(2)2，f(2)f(2)2.【例 23】如图，给出了偶函数 yf (x)的局部图象，试比较 f(1)与 f(3)的大小分析：方法一：方法二：解：方法一：函数 f(x)是偶函数，其图象关于 y轴对称，如图由图象可知 f(1)f(3) 方法二：由题图可知 f(1) f(3) 又函数 yf(x) 是偶函数，f(1)f(1)，f(3)f(3)，f(1)f(3)析规律 奇、偶函数图象 的作用(1)由函数图象的对称性判
8、断函数的奇偶性也是一种常用的奇 偶性判断方法，称作图象法(2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数，则只要将它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象3判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法其步骤是：画出函数 f(x)的图象；判断函数图象关于原点或 y 轴是否对称；如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和 y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和 y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数(3)性质法偶函数的和、差、积、商
9、(分母不为零) 仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；两个奇函数的积、商(分母不为 0)为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数【例 3】判断下列函数的奇偶性：(1) ；(2) f(x)x 32x；(3)f(x)x 21.2()=1xf解：(1)函数的定义域为( ，1)(1，) 不关于原点对称，故函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)函数的定义域为 R.方法一：f(x)(x) 32(x)( x32x)f(x )，函数 f(x)x 32x 是奇函数方法二：f 1(x)x 3是奇函数，f 2(x)2x 也是奇函数，f(x)f 1(x)f 2(x)x 32x 是奇函数(3)函数的定义域为
10、 R.方法一：f(x)(x) 21x 21f(x)，函数 f(x)x 21 是偶函数方法二：画出 yx 21 的图象，如图，由图可知其图象关于 y轴对称函数 f(x)x 21 是偶函数辨误区 判断奇偶性应先考虑定义域本题(1)易错解为：f (x) 2x，f(x)2xf(x) ，则函数 f(x) 是2x2 2xx 1 2x2 2xx 1奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则4分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断在函数定义域内，对自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数分段函数不是几
11、个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与 f(x)的关系首先要特别注意的是 x 与x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f( x)与 f(x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较例如：判断函数 f(x)Error!的奇偶性解：函数的定义域是(， 0(0，) R .当 x0 时，有 f(x)x (x1)，x0，f(x )(x)( x 1)x(1x)x(x1) f (x)当 x0 时，有 f(x)x (x1)，x0，f(x )x(x1)x(x 1) f (x)当 x0 时，f(0)0，f(0)0f (0)综上所得，对
12、xR ，总有 f(x)f(x)成立f(x)是奇函数【例 41】已知函数 是奇函数，则 m_.2,0()=,fxm解析：当 x0 时，x 0，f (x) (x) 22( x )x 22x.f(x)为奇函数，f(x )f(x )x 22x .f(x)x 22xx 2mx ，m2.答案：2【例 42】判断函数 的奇偶性21,0()=,xf解：方法一：函数的定义域为(，0) (0，) ，当 x0 时，x 0，f(x) (x) 21 f(x ) 21当 x0 时，x 0，f(x) (x) 21 x21 f(x)2综上所述，在( ，0)(0，)上总有 f(x)f(x)，所以函数 f(x)是奇函数方法二：作
13、出函数的图象，如图所示函数的图象关于原点对称，所以是奇函数点技巧 分段函数奇偶性的判断技巧(1)分段函数的奇偶性应分段说明 f(x)与 f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，可利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性5抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有 f(x)，f(x)的式子再利用奇偶性的定义加以判断【例 5】函数 f(x)，xR，若对任意实数 a，b 都有 f(ab)f(a) f (b)，
14、求证：f(x)为奇函数证明：令 a0，则 f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又令 ax，bx ，代入 f(ab) f (a)f(b)，得f(x x)f( x)f(x )即 f(x )f(x) 0，f( x)f(x)f(x)为奇函数6利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称当函数 f(x)具有奇偶性时，已知函数 f(x)在 y 轴一侧的解析式，就可得到在 y 轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁” ，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用 f(x) 的奇偶性写出f(x)或 f(x)，从
15、而解出 f(x)；(4)若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)0.若做选择题 或填空题，还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的 x 和 y 分别换成“x ”和“y” ；若关于 y 轴对称，只需把原函数中的x 变为“x”即可(2)特殊点对称法：在函数 yf(x)图象上找若干个(个数视 yf(x )的形式而定)特殊点(a，f (a)，( b，f(b)，若 yf (x)为奇函数，则(a， f(a)，(b，f(b) ，一定在另一半图象上；若 yf( x)是偶函数，则(a，f(a)，( b， f(b)，也一定在另一半图象上设出其解析式，利用待定
16、系数法求解【例 61】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0)时，f( x)xx 4；当 x(0 ， )时，f(x)_.解析：方法一：由于是填空题，故可采用直接代换法，将 x用x 代替，即答案为xx 4.方法二：设 x(0 ，)，则 x( ，0)，则 f(x) x( x) 4xx 4.yf(x) 是偶函数，f(x)f(x) 从而在区间(0 ，)上的函数表达式为 f(x)xx 4.答案：xx 4【例 62】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(2 x)，求函数 f(x)的解 析式分析：解：f(x) 是定义在 R上的奇函数，f(x )f(x )，f(0)
17、0.当 x0 时，x 0，则f(x)x(2 x)f(x)，f(x)x(x2)故2,=0(),.fx辨误区 定义在 R 上的奇函数易忽略的结论f(x)在定义域内的解析式是分段给出的，要写成分段函数的形式，另外不要忽略当x0 时，f( x) 0.7函数的奇偶性与单调性的综合应用函数 yf(x) 的奇偶性与其单调性的关系：(1)如果函数 yf(x )是奇函数，那么 f(x)在区间( a，b)(0ab)和( b，a)上具有“相同”的单调性证明：当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时，设bx 1x 2a，则 ax 2x 1b.由于 f(x)在区间(a，b)上是增函数，则有 f(x 1)f(x 2)又函
18、数 yf(x) 是奇函数，所以f (x1)f (x2)所以 f(x1)f(x 2)所以 f(x)在区间(b， a)上也是增函数同理可证，当 f(x)在区间(a，b)(0 ab)上是减函数时， f(x)在区间(b，a) 上也是减函数(2)如果函数 yf(x )是偶函数，那么 f(x)在区间( a，b)(0ab)和( b，a)上具有“相反”的单调性证明略，与(1)的证明类似这样，就可以利用函数 yf(x )的奇偶性与其单调性的关系解决有关问题了【例 7】函数 yf( x)(x0)是奇函数，且当 x(0，)时是增函数，若 f(2)0，求不等式 fx(x1)0 的解集规范解答 顾问点评解：f(2)0，不等式可转化为 fx(x1)f(2)又f(x )在(0，)上是增函数，解决有关函数的奇偶性、单调性及不等式的综合问题，一般是先利用奇偶性0x(x1) 2，解得2x1 或 0x 1.(得分点)又f(x )是奇函数，它在对称区间上的单调性相同，且 f(2)f(2)0，于是又得 fx(x1)f(2)(得分点)即 x(x1) 2，解得 x .(得分点)原不等式的解集是 x|2x1 或 0x1.得出关于原点对称区间的单调性，再把不等式转化为两边是函数值的形式，利用单调性脱去函数记号“f”，转化为熟悉的不等式求解.
