1、平移和旋转在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中” ， “隐蔽”变为“明显” ，使解证题思路清晰起来。这一讲我们着重学习三种主要的合同变换对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况） 。对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。一条直线或一个点就确定了一个对称变换。例 1：试证：等腰三角形的底
2、角相等。已知：如图（1） ，在ABC 中，AB=AC ，求：B=C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作ADBC 于 D，再证ABDACD 即可。（2）更妙的是，把ABC 看作是以 AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由ABCACB 换出B=C。例 2：如图（2） ，四边形 ABCD 中，ABCD，且有AB=AC=AD=13cm，BC=5cm，求 BD 的长。分析：由于ACD 是等腰三角形，以底边 CD 中垂线 NM 为轴补全图形，做出ABC 关于 MN 的对称AED ，则 AB=AD=AE= 213，所以BDE= Rt ，而 DE=BC=5，所以 BD=12。例
3、3：如图（3） ，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 CD 的中点，EFAB 于 F，则S ABCD梯 形 =ABEF。分析：由于 DE=EC，因此，以 E 为定点作 A 的对称点 G，则ADE 与GCE 关于点 E 对称，且B，C，G 三点共线，所以S E=S AB= 21ABEF，故 S ABCD梯 形 = ABEF。二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。例 4：如图（4） ，在梯形 ABCD 中，ADBC，B+C= Rt，E、F 分别为AD、BC 的中点，求证：EF= 21（BC-AD）分析：把 A
4、B 和 DC 分别平移到 EG 和 EH，则有1= B ，2=C，BG=AE，CH=ED ，所以 GF=FH，且可得GEH= Rt，到此，问题已集中在 RtGEH 中明朗化了，结论是垂手可得的。三、旋转变换旋转变换是将一个图形绕着一个定点 P 旋转 角，得到一个新的图形。点P 称为旋转中心， 称为旋转角。在旋转变换中，图形的形状和大小都没有改变，只改变了图形位置。例 5：如图（5） ，ABC 和CDE 都是正三角形，求证：AD=BE分析：显然BCE 顺时针旋转 60即得ADC，故 AD=BE。例 6：如图（6） ，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 、F 分别是 AB、AD 上的点，且
5、AE+EF+FA=2，求ECF 的度数。分析：因为 EF+（AE+AF）=（BE+DF）+（AE+AF）=2，所以 EF=BE+DF，由此想到把CDF 绕点 C 逆时针旋转 90到CBG 的位置，这时 EF=EG，CF=CG，所以CFE CEG，而FCG=90，所以ECF=45。四、小结：（1） 对称变换：将一个图形以一条定直线为轴作对称图形。对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。（2） 平移变换：将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形。平移变换的特点是在平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。（3） 旋转变换：将一个图形绕着一个定点 P 旋转 角，得到一个新的图形。旋转变换的特点是图形的形状和大小都没有改变，只改变了图形位置。
