1、三角形三边关系定理在初中数学中的应用三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要之处，笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。一、定理及其推论定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：三角形任意两边之差小于第三边。定理分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b，c 表示三角形的三边，则定理可以表示为：a+bc,a+cb,b+ca;推论则表示为：a-bb） ，应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下面的例题。三：定理
2、的应用1、 判断三条线段是否可以构成三角形来源:学科网 ZXXK例题 1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（ ）A.3，4，5 B .2，4，6 C.5，6，8 D.7,10,15解法分析： 下面我们以 A 选项为列来详细说明定理的使用 ，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取 3 和 4.然后根据定理我们做出 4-3b）或 c=a+b 时，a,b,c 三条线段共线。例题 3 已知 A，B，C 三点，且 AB=3， BC4，AC7.判断这三点是否在一条直线上？解法分析：根据题意显然有 3+4=7，所以这三点共线。需要说明的是 a-b=c 和 c=a+b本质上是一样的，因为 347 可以表示
3、为 374 .3、 与三角形周长相关，尤其是等腰三角形周长。例题 4 等腰三角形ABC 两边的长分别是 7 和 4，求三角形的周长为（ ）A.15 B. 25 C.11 D.15 或 25解法分析：因为是等腰三角形，所以首先要判断 7 和 4 哪个是腰？哪个是底，因此要进行分类讨论，把所以的可能都列举出来：7、7、4 和 7、4、4，然后根据三角形的三边关系定理来验证，结果两种情况都符合，故答案为 D。例题 5 等腰ABC 两边 的长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则这个等腰三角形的周长是：（ ）A. 8 B. 10 C.8 或 10 D. 6解法分析：解法同例题 4，不同的是
4、两种组合分别为 4、4、2 和 4、2、2，符合条件的只有4、4、2，故答案为 B。需要说明的是因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在这里举例说明。4、 证明线段的不等关系例题 6 如图 1，在ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点，求证：AB+BC+AC2AD。来源:学+科+网 Z+X+X+K 交1BA CD 交2DBACE来源:Z#xx#k.Com证明：在ABD 和ACD 中，AB+BDAD,AC+CDAD， AB+BC+AC2AD.变式：如图 1，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，求证：AB +AC2AD。证明：延长 AD 到 E 点，使得 A
5、DAE，连结 BE 和 CE，如图 2，因为 AD 和 BC 互相平分，所以四边形 ABCD 是平行四 边形，因此 AC=BE。在ABE 中，AB+BEAE，又BE=AC，AE=2AD，AB+AC2AD。例题 7 如图，已知 A、B 两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水站到两村距离之和最小，问水站应该建在哪里？ 水ABCD解法分析：做 A 点关于直线的对称点 C，连结 AB 与直线的交点即为水站的位置。如果水站建在 D 处，因为 AD=CD,CD+BDBC，所以 ADBDBC。5、判断两个圆的位置关系（创新应用）上述的几种 情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用
6、，在笔者的教学过程中，发现如果使用这个定理来判定两圆的位置关系十分的简洁和实用，在这里与大家一起分享，希望对大家能有所启发。我们都知道两圆的位置关系有 6 种，主要是根据两圆半径 r1，r 2和圆心距 d 三者之间的关系，如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是这样做得，如图 3，以两圆相交为例。当两圆相交时，这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三角形三边关系定理，即 r2-r1r1). 而当两圆相切时，恰好对应等号成立时，如图 2 所示。为了使应用的更加 方便，我们可以用数轴来表示两圆的位置关系，如图 4。d 交 3r2r1交4r1+r2=dr2-1=d d交交交交交交CAB在判断两圆的
7、位置关系时，只需抓住数轴 上的两点即可，然 后看圆心距在数轴上位置就可以一目了然的判断出两圆的位置关系。具体的使用参照下面例题。例题 8 已知两圆的半径分别为 3 和 4，圆心距取下列何值时两圆相交（ ）A 5 B 6 C 7 D 8解析：套用三角形三边关系定理，有 43 d4+3,可知圆心距在 17 之间的时候为相交，所以答案为 B。例题 9 已知两圆相切，其中一个圆的半径为 5，圆心距为 8，求另外一个圆的半径（ ）A 3 B 7 C 13 D 3 或 13解析：两圆相切对应的恰好是三点共线的情况，即等号成立的时候，所以答案为 D。来源:学,科,网参考文献： 1 张克. 三角形三边关系定理及推论的应用 .数学教学通讯2007 年 1 月上半月 第 266 期 2 彭现省.三角形三边关系定理的应用.数学大世界,2011.(3) 3 李婵娟.三角形三边关系定理应用聚焦.试题研究：教学论坛2011 年 第6 期
