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拓展资源:三角形三边关系定理在初中数学中的应用.doc.doc

1、三角形三边关系定理在初中数学中的应用三角形是最简单的多边形,是研究和学习几何的基础,而三角形三边关系定理是研究三角形的基础,可见三角形三边关系定理的重要之处,笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结,希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。一、定理及其推论定理:三角形任意两边之和大于第三边;推论:三角形任意两边之差小于第三边。定理分析:无论是定理还是推论都有“任意”二字,所以定理和推论都包含三项内容,用a,b,c 表示三角形的三边,则定理可以表示为:a+bc,a+cb,b+ca;推论则表示为:a-bb) ,应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下面的例题。三:定理

2、的应用1、 判断三条线段是否可以构成三角形来源:学科网 ZXXK例题 1 下列几组线段中,不能构成三角形的是:( )A.3,4,5 B .2,4,6 C.5,6,8 D.7,10,15解法分析: 下面我们以 A 选项为列来详细说明定理的使用 ,首先我们任意的取出两条线段,不妨我们取 3 和 4.然后根据定理我们做出 4-3b)或 c=a+b 时,a,b,c 三条线段共线。例题 3 已知 A,B,C 三点,且 AB=3, BC4,AC7.判断这三点是否在一条直线上?解法分析:根据题意显然有 3+4=7,所以这三点共线。需要说明的是 a-b=c 和 c=a+b本质上是一样的,因为 347 可以表示

3、为 374 .3、 与三角形周长相关,尤其是等腰三角形周长。例题 4 等腰三角形ABC 两边的长分别是 7 和 4,求三角形的周长为( )A.15 B. 25 C.11 D.15 或 25解法分析:因为是等腰三角形,所以首先要判断 7 和 4 哪个是腰?哪个是底,因此要进行分类讨论,把所以的可能都列举出来:7、7、4 和 7、4、4,然后根据三角形的三边关系定理来验证,结果两种情况都符合,故答案为 D。例题 5 等腰ABC 两边 的长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根,则这个等腰三角形的周长是:( )A. 8 B. 10 C.8 或 10 D. 6解法分析:解法同例题 4,不同的是

4、两种组合分别为 4、4、2 和 4、2、2,符合条件的只有4、4、2,故答案为 B。需要说明的是因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形,但由于等腰三角形具有典型性,因此在这里举例说明。4、 证明线段的不等关系例题 6 如图 1,在ABC 中,D 是 BC 边上的任意一点,求证:AB+BC+AC2AD。来源:学+科+网 Z+X+X+K 交1BA CD 交2DBACE来源:Z#xx#k.Com证明:在ABD 和ACD 中,AB+BDAD,AC+CDAD, AB+BC+AC2AD.变式:如图 1,在ABC 中,D 是 BC 边上的中点,求证:AB +AC2AD。证明:延长 AD 到 E 点,使得 A

5、DAE,连结 BE 和 CE,如图 2,因为 AD 和 BC 互相平分,所以四边形 ABCD 是平行四 边形,因此 AC=BE。在ABE 中,AB+BEAE,又BE=AC,AE=2AD,AB+AC2AD。例题 7 如图,已知 A、B 两个村在河的同侧,要在河边建一个水站向两个村供水,为了使水站到两村距离之和最小,问水站应该建在哪里? 水ABCD解法分析:做 A 点关于直线的对称点 C,连结 AB 与直线的交点即为水站的位置。如果水站建在 D 处,因为 AD=CD,CD+BDBC,所以 ADBDBC。5、判断两个圆的位置关系(创新应用)上述的几种 情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用

6、,在笔者的教学过程中,发现如果使用这个定理来判定两圆的位置关系十分的简洁和实用,在这里与大家一起分享,希望对大家能有所启发。我们都知道两圆的位置关系有 6 种,主要是根据两圆半径 r1,r 2和圆心距 d 三者之间的关系,如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢?我是这样做得,如图 3,以两圆相交为例。当两圆相交时,这三条线段刚好构成一个三角,显然满足三角形三边关系定理,即 r2-r1r1). 而当两圆相切时,恰好对应等号成立时,如图 2 所示。为了使应用的更加 方便,我们可以用数轴来表示两圆的位置关系,如图 4。d 交 3r2r1交4r1+r2=dr2-1=d d交交交交交交CAB在判断两圆的

7、位置关系时,只需抓住数轴 上的两点即可,然 后看圆心距在数轴上位置就可以一目了然的判断出两圆的位置关系。具体的使用参照下面例题。例题 8 已知两圆的半径分别为 3 和 4,圆心距取下列何值时两圆相交( )A 5 B 6 C 7 D 8解析:套用三角形三边关系定理,有 43 d4+3,可知圆心距在 17 之间的时候为相交,所以答案为 B。例题 9 已知两圆相切,其中一个圆的半径为 5,圆心距为 8,求另外一个圆的半径( )A 3 B 7 C 13 D 3 或 13解析:两圆相切对应的恰好是三点共线的情况,即等号成立的时候,所以答案为 D。来源:学,科,网参考文献: 1 张克. 三角形三边关系定理及推论的应用 .数学教学通讯2007 年 1 月上半月 第 266 期 2 彭现省.三角形三边关系定理的应用.数学大世界,2011.(3) 3 李婵娟.三角形三边关系定理应用聚焦.试题研究:教学论坛2011 年 第6 期

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