1、2015 年山东专升本高数真题一二、判断题（本大题共 6 小题，每小题 1 分，共 6 分。正确的划“” ，错误的划“” ）1. 若 ，则 是函数 的极值点.0()fx0xyfx2. 如果 和 都存在，则 存在.limxflixflimxf3. 设 为 在区间 上的一个原函数，则 为 在这区间上的一个原函FfI2F2fx数.4. 设 在 的某个邻域内有定义并且在这个邻域内有 ，若 存在等fx0 0fx0limxf于常数 A，则有 A0.5. 设函数 在点 处可导，则 在 处可微.yfx0yfx06. 当 时， 与 是等价无穷小量.2sin三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24
2、 分）1. 已知 ，求ecos3xyy2. 求 .1lnimcotxarx3. 设函数 ，在 处可导，求 a ,b 的值.2,1fbx4. 求由曲线 及 所围成的平面图形的面积.2yx四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）1. 设 在区间 上为奇函数且可导，求证：在区间 上 为偶函数.fx(,)l(,)lfx2. 设函数 在 内有三阶导数，且 ，其中fx,ab1fx2f3fx4f，证明：在 内至少存在一点 ，使得 .1234a,ab()02015 年山东专升本高数真题二二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 设函数 1()fx，则 ()fx=
3、_.2. 2limcosx_.3. 曲线24ty在 1处的切线方程为_.4. 积分 1lndx的值等于_.5. 微分方程 tasecyx的通解为_.三、计算题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）1. 计算 01lim()xxe2. 计算 30arctnd3. 计算 2osDyx，其中 D 是由 1,2xy和 1x所围成的闭区域四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1. 求幂级数 1()nnx的收敛区间与和函数2. 求曲线 yx的一条切线，使此曲线与切线及直线 0,2x围成的面积最小2015 年专升本高数真题一答案二、判断题（本大题共 6 小题，每小题 1
4、 分，共 6 分。正确的划“” ，错误的划“” ）三、计算题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）题号 1 2 3 4 5 6答案 1. 解： yexcos3inx2. 解：1lnimcotxarxli21x3. 解：因为 1()lixf2，又 f在 1x处连续，即 0ff故 1ab即 1()limxf1lixa，又 f在 处可导从而 1,ab4. 解： 201()3Sxd四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）1. 证：因 ()(fxf，故 ()()fxf即 ff，因此 f为偶函数2. 证：因为 1fx2f3fx4f，又 fx在 (,)ab内有三阶导数故由
5、Rolle 中值定理知 ()0f在 ,ab上至少有三个互异的实根，不妨设为且设 mlk,lk又 ()fx在 ,ab内可导，从而又 ()fx在区间 ,ml， ,k分别满足 Rolle 中值定理，故在 内至少存在两点，使得,ab()0fx又 在 内可导，从而再一次使用 Rolle 中值定理知在 内至少存在一()fx, ,ab点 ，使得 02015 年高数真题二答案二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 1x 2. 2 3. 2yx 4. 1 5. ()secxC三、计算题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）1. 解：原式 = 010limxe1 分= 0
6、10lixxe2 分= 0lim2xxe1 分= 11 分2. 解：原式= 302arctn1xxd2 分= 2303l()x2 分= ln31 分3. 解：采取先对 x 后对 y 的积分次序1:2D1 分原式= 11cosydx2 分= 2211 分=21sin(si4n1)y1 分四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1. 解： lim1xnR收敛域为 |1|x（不要求判断端点的收敛性）1 分收敛区间为(0,2) 1 分111()()()nnnnxx1分= 1()()()2nnxx1 分= 2()x1 分2. 解：设切点为 0,)，则，切线方程为02xy1 分所讨论的区域的面积为 00142()3Sxx1 分令 0()2x，解得 01x1 分由题意知， 0()S的最小值必在唯一的驻点 0处取到，所以，所求的切线方程为 1()2yx1 分
