1、周世国：09 耶鲁专升本秋季班1第一章 函数、极限、连续高数专升本考试的题型、题量及考察的知识点，分值的分布相对固定，近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性.下面我就把高数专升本大致的情况跟大家做一介绍.高数专升本卷面总分值 150 分，其中一元微积分部分占 90 分左右，多元微积分部分（包括微分方程）占 60 分左右.出题的形式分为两大块，其中客观题 90 分，主观题 60 分.客观题这 90 分如再细分，包括 15 道填空题，每空 2 分，共 30 分；还有 60 分，又分为两种情况，要么全出单项选择题，共 30个，每个 2 分；要么出单项选择题 25 个，每个 2 分，总计 50
2、分，再出是非判断题 5 个，总计 10 分.另外还有 60 分的主观题部分，题型及分值分布又可细分为三部分.第一部分：计算题 40 分，八道小题，每小题 5 分.第一道题，求一元函数的极限，基本上考察的都是洛必达法则或等价无穷小替换的计算技巧.第二道题，一元函数求导数，考察复合函数求导，隐函数求导，对数求导法，参数方程求导等.第三道题，不定积分，绝大部分考察的是带根式的积分，即考察第二换元法的积分技巧.第四道题，定积分，主要考察分部积分的技巧.第五道题，多元函数求偏导数或全微分，重点考察多元的抽象的复合函数求偏导的链式法则或二元函数求全微分.第六道题，二重积分的计算（有两套系统，重点放在直角坐
3、标系下）第七道题，幂级数，有两种可能的题型.一种是求幂级数的收敛半径与区间；另一种是将简单函数展开为幂级数.第八道题，微分方程，考察的重点是一阶线性非齐次微分方程.第二部分：应用题 14 分，共两道小题，每小题 7 分.第一道小题，求平面图形的面积或旋转体的体积.第二道小题，二元函数求极值（绝大部分是经济方面的应用）或一元函数求最值.第三部分：证明题 6 分.常见题型有三种：一是利用拉格朗日中值定理或单调性，最值证明函数不等式；第二种是利用定积分的换元积分法证明积分等式；第三种是利用零点定理证明方程有根.下面详细介绍每章节的分值分布.一元函数微积分极限、连续部分，15 分左右；导数及其应用部分
4、，15 分左右；中值定理及其应用部分，25 分左右；不定积分部分，13 分左右；定积分部分，22 分左右；向量代数及空间解析几何部分，6 分左右.多元函数微积分 多元函数微分学部分，20 分左右；二重积分部分，12 分左右；周世国：09 耶鲁专升本秋季班2无穷级数部分，10 分左右；微分方程部分，12 分左右.下面详细介绍各章重点考核的知识点第一章一元函数极限、连续1定义域（有具体函数求定义域，也有抽象函数求定义域） ；2求函数的表达式；3函数的特性（主要考察函数的奇偶性） ；4反函数；5复合函数；6函数极限存在的充要条件（即左极限=右极限） ；7极限的四则运算；8夹逼准则；9无穷小阶的比较；
5、10有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小；11两个重要极限；12等价无穷小的替换；13函数的连续性；14函数在定点 处的连续性（即既左连续，又右连续） ；0x15复合函数的连续性；16间断点及其分类；17零点定理.二章 一元函数导数（或微分）1导数的定义；2导数的几何意义；3导数的四则运算法则；4反函数求导法则；5复合求导法则；6简单函数的高阶导数；7隐函数求导；8对数求导法；9幂指函数求导；10参数方程求导；11一元函数一阶微分形式的不变性.第三章 中值定理及导数的应用1验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立；2利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式） ；3利用中值定理
6、证明等式成立（或方程有根）4洛必达法则；5单调性6极值；7最值；8曲线的凹凸性及拐点；9曲线的渐进线（只考察水平渐进线和垂直渐进线，不考察斜渐进线）.周世国：09 耶鲁专升本秋季班3第四章 一元函数积分法其中不定积分部分1原函数的概念；2不定积分的两个性质及一个推论；3分项积分法；4换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号） ；5分部积分法.有理函数积分、三角函数积分基本不考.即便考，用前面的方法也可解决.定积分部分1定积分的七大性质；2积分上限函数及其导数；3定积分的换元法；4分部法；5对称区间上的定积分的性质；6无穷区间上的广义积分；7平面图形的面积及旋转体的体积.
7、第五章 向量代数与空间解析几何1向量的数量积与向量积；2向量的相交（这时要求夹角） 、平行、垂直的判定方法；3两向量向量积的模的几何意义；4空间直线与平面之间的位置关系；5旋转曲面的方程特征；6简单的二次曲面（只要求掌握柱面，球面，锥面及旋转曲面，复杂的不要求）.第六章多元函数微分法1二元函数极限、连续；2偏导数；3具体函数的二阶偏导数；4全微分（包括具体函数求全微分与抽象函数求全微分） ；5隐函数求偏导；6二元函数连续、偏导、可微及偏导连续之间的关系；7二元函数的极值及一些条件极值.第七章 二重积分1二重积分的七大性质；（重点考察 的面积和比较积分大小） ；1(DdA2二重积分交换积分次序；
8、3二重积分在两种坐标系下的计算方法；4二重积分在两种坐标系下的转换；5利用二重积分求平面图形的质量；6利用代入法计算第二型曲线积分.第八章 无穷级数1无穷级数的五大性质；2级数收敛的必要条件；周世国：09 耶鲁专升本秋季班43正项级数的五大审敛法；4交错级数及其莱布尼兹判别法；5任意项级数的绝对收敛及条件收敛（必考） ；6幂级数的收敛区间及收敛半径；7简单幂级数的和函数；8将函数展开成幂级数.第九章 微分方程1微分方程的基本概念（解、通解、特解等） ；2一阶微分方程（包括可分离的、齐次、一阶线性非齐次微分方程（重点） ） ；3可降阶的二阶微分方程（了解即可） ；4二阶线性微分方程的解的结构；5
9、二阶线性常系数齐次微分方程的通解6反解微分方程（给出其通解或特解，反求方程是什么，有点难，到时举个例子就明白了） ；7二阶线性常系数齐次微分方程的特解形式（往往不要求定出其中的系数）.刚才我们把高数专升本考试的基本题型，各章节分数比例，及各章节要求掌握的知识点都作了大致的总结，希望同学们在下面学习时应严格按照我说的知识点去作题.这里我要特别强调一下，在高数专升本考生中有几个误区需要澄清：第一个误区是：有些同学把高数专升本考试想象得过于困难，觉得只有大量作题，大搞题海战术，拿出二次高考的劲头才能取得好成绩.其实高数专升本考试的难度并不大，还达不到普通本科学期末的考试水平.况其题型题量相对固定，规
10、律性很强，只要路子对头，真学实干，有针对性的训练，一定可以取得不错的成绩.我们郑州大学软件技术学院的专升本通过率甚至每年都达到了95%.我在这里说句大话，只要大家紧密团结在我的周围，严格贯彻我的要求，你们根本不用再看其他任何别的参考书，只把本书中的例题看完，课后的习题做完，再演练书后的几套模拟题，真正作到心领神会，我保守地说，考个 120分不成问题，就凭这一门成绩就能专升本.每年高数专升本的最高分都出自咱们耶鲁的学员，有 140 多分.我对自己很有信心，你们对自己更要有信心.第二个误区是：有些同学对老师有不切实际的想法，完全把升本的希望放在这次培训班上，放松个人努力.自己连课本中的基本概念、主
11、要定理及常用公式都没记住，就来听课，还指望听哪儿会哪儿.巴不得老师讲的每道题都是考试的原题，最好把考试的原卷透露给大家.这里我强调一下，我们这个培训班只是一个催化剂和推进剂，虽然参加后提升成绩的效果确实显著，但这也离不开大家自己的努力，而且主要还得靠大家努力.因此，我希望来听课的同学能做到课前预习，课后复习，切实按我的要求来.本培训班的计划学时只有 48 个，而正常进度下学完微积分至少需 140 个学时；况且很多同学没学过后几章.因此，我们授课时主要是针对考点训练作题，基本概念及定理如非特别复杂，堂上一般不提.我讲课时各章节安排的顺序及所用记号与同济大学版高数相同.下面我们开始正式讲解.第一章
12、 函数 极限 连续一求函数的定义域周世国：09 耶鲁专升本秋季班5具体函数求定义域的例子就不举了.例 1.设 求1ln2,3fxx（1） 的定义域；f（2） 的定义域；lnx（3） 的定义域.0fafa解：（1） （2） （3）,3.D2,.e12,3,0.2aa练习设 的定义域为 ，求 的定义域.fx01， 1,ln,sifxfxf要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.例 2判断下列两组函数是否是同一函数：21,;xg（ ） fx221,sincos.gxx（ ） f二求函数的表达式例 3设 求 .24,1xff解：此种题型的常规解法是设元法，即令 反解得到 再代入原1,tx,xt式，得
13、，再将 的记号全换为 但此法只适用于简单函数，要学会直.ftt.接凑成的方法.因为 ,所以，2211fxx21.fx例 4设 求sincos,fcs.xf解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式.至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式.因为 2sincos1in,2xxf所以， 2coscof x周世国：09 耶鲁专升本秋季班6例 5设 求 .22,0,0. .xxgfgfx解：首先把 作整体看待f22,0,0fxxgfx，三关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）例 6设 在 上有定义，证明：f,l为偶；而 为奇.2xg2fxfh要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原
14、点对称；如没有指明定义域，则默认为 比如： 就是非奇非,.2,1,fx偶函数；（2）奇偶函数的图形特征.结论： ，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形fxghx式.例 7设 时， 且 在 内为奇函数，求 .01,ffx,.fx解：由于 在 内为奇函数，fx,.所以， ，fx,.又当 时，0x11.xx所以， 1,0.xf关于周期函数，请大家记住一个结论.下面以例题的形式给出：例 8设 是定义在 内的以 为最小正周期的周期函数，证明：yfx,T函数 是以 为最小正周期的周期函数.0aba证明：（一）首先证明 是函数 的周期.Tyfxb事实上，设 .(1)Fxf因为 ,faxbfaxbTf
15、axbF 周世国：09 耶鲁专升本秋季班7所以， 是函数 的周期.TaFxfab（二）证明 是函数 的最小正周期.（反证法）y假设存在 使得对于定义域中的任意 有0,m,x（2）.Fxx则对于任意的实数 有, 12 .bxbxbxbfaf FmFfafxaa 这说明 也是 的周期，但 ，这与 是 的最小正周myfx0Tyf期相矛盾.例 9 的最小正周期为sin322.3由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：设 分别是以 为周期的函数，且 为有理数，则,fxg122,T12T是以 的最小公倍数为周期的函数.f12,例 9证明 非周期函数.sinfxx证明：（反证）设 是以 为周期的函数.yil
16、0则 ,xRflfx即 xlll sinsi.sinsin上式中，分别令 ，得x,0，得到矛盾.sin.ll四反函数反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线 对称.yx五复合函数两种常见题型：一是将若干简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第 46 页表中简单周世国：09 耶鲁专升本秋季班8初等函数及其特性搞熟.例 10下列函数是否可以复合？（1）
17、 （可以）ln,1;yux（2） （不可以）2arcsi.例 11将函数 分解.21sinxye六函数的极限（包括数列的极限）数列的极限部分只要求：1.给出 ，能观察出 是否存在？（精确的数nxlimnx学定义不作要求） ；2.数列极限的三个性质（经常出判断题） ；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.记住几个常用的公式： 1lim0|1;lim0;li;li0.nnnkqa例 11求 .2.lin解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.原式= 1limli.22nn例 12求 11313lil
18、im.22nnnn例 13求 2lim1lili1.11n nnn例 14 li1.23nn例 15求 lim!n解：此题宜用夹逼准则.因为 ，且220!13nn nyzlimli0,nnyz周世国：09 耶鲁专升本秋季班9故 .2lim0!n注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用来夹逼就达不到目的了.220.!13nn nyz例 16求 limn解：因为 ，且2332nnnnny z故 .lili3,nnyzli注意：一般地， 121max,.(0)nnmiaa下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.例 17证明数列 有极限.
19、n证明：记 1nnx（一）由均值不等式对于任意的 有1212 0,1.nnn iaain,n即 ，1. ,11nn n 11nnnxx故 单增.nnx（二）不妨设 此时，有22 22212.1 11.1. ,nnnnn 故 ，故 有上界，因此数列 有极限.4.n1nnx n注意：今后记 lim.ne周世国：09 耶鲁专升本秋季班10例 18证明：数列 收敛，其中mx102(),(,.nnx证明：（一）. ，即 有下界.1122,()n nnxxxnx（二）.由 2,n即 单减.1, 0,nnxmx所以，由原理知， 收敛.（三）.设 ，则因为linxa12(),(,nnxx所以，两边取极限，有：
20、.2)(21a又由收敛数列的保号性知： .lim2nx下面讲函数的极限.函数极限也有与数列极限完全类似的的四则运算法则，有极限的函数也有完类似于有极限数列的三个性质，这里不再赘述了.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理0 00limlili.xxxfAffA例 19设 求 .1,.fx0limxf解：因为 所以， 不存在00lili1.xxff， 0lixf如把此题稍加变形， 则结论变为 .,1,.fx0lim2xf注意：函数在点 处有无极限，与其在点 处有无定义无关.0x0例 20求 （不存在，左极限-2，右极限 2）.21|limx周世国：09 耶鲁专升本秋季班11例 21求 （
21、不存在，左极限 0，右极限 ） .10limxe请大家记住一个结论，以例题形式给出：例 22设 为常数，也可以为 0） ，且 则0li(xfCg0lim,xg0li.xf证明： 0limxf0 00li.li.li.0xxxffggC例 23设 求 的值.21li3,xaba解：由于 所以， （1）li0,x21lim10xba故 2113limli 2,xxax所以， 5,4.b例 24求 .2li3x例 25求 .21lim45x书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的形式出现. 10 0,.li ,.mmx naxanbb例 26设 ，满足32axcdf（1）
22、求 的值.1lim;()li0.xxff,abc下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.例 27求 ；（比喻：以毒攻毒法）21lix周世国：09 耶鲁专升本秋季班12例 28求 ；1lim1x例 29求 ；2li()x例 30求 223361lilim.996x x函数极限也有个夹逼准则.例 31求 0limcos1.x例 32 n.证明：因为 为偶函数，故只须证明： .xfsi 1sin0lmx事实上，不妨设 ，则 .20xtasin两边同除以 得： .xsinxco1i又因为 .co0lim1clixx所以，由由夹逼准则知， ，1sinlxx所以 .si0lmsilsin0l xxx下面讲
23、无穷小与无穷大（定义自己去看） ，注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如 ，当 时是无穷小；当 时是无穷大.fx经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果） ，这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.例 27证明： 2lim1.x还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如 10 01sinli,l,l,li.xxxx xe这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.周世国：09 耶鲁专升本秋季班13第一种： 0sinlm1.x特点：（1）属于
24、 型；（2） 0sinlm1.(0)xux例：下列结论中哪些成立？（1） （2） （3）0sinlm1;x1sinl;x1sinl1;x（4） 0sil.x例 28 ；n2i例 29 ；xx5si3lm0例 30 ；ta例 31 ；xxrcinl0例 32 ；ati例 33 .201coslimx第二种：或 .1linne1lixxe特点：（1）属于 型；（2） 10lim.(0)uxxe例 33 ；1limxx例 34 ；2lixx例 35设 求常数 （ ）li8,xxk.kln2例 36 ；2cot0limsexx周世国：09 耶鲁专升本秋季班14例 37 ；10limsnco2xx例 3
25、8 .0lixe大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是 型，即求0两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种： 型或型，其他类型都可一眼看出答案.而 型可以转化为 型.因此，大家要高度0重视这种 型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的0替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法 .为此，先回顾以下结论.定理：设 是同一极限过程中（设为 ）的11,;,xx 0x四个无穷小， ，且有 存在11;x01limxf（或为 ） ，则 也存在（或为 ） ，并且0limxf= .0lixf01lixfx今后作题时请大家记住下面八
26、对常用的等价小 )(0x）(1) ;(2)sinixmxtantxm（3） ; （4） arcrc（5） ; （6） ;1xex1l（7） ; （8） .2cosnn例 39求 ；20012limlisn33xxe例 40求 ;612liarctli00xx周世国：09 耶鲁专升本秋季班15例 41求 30tansilimxx解法一： 30lix解法二： 2333000.sin1costansi 1lillimcosxx x解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：.sinsin0000silmlilli1nxxx xxeeee练习：1.求 2. 求 ；3.求 .20cos35li;
27、xxxcoslim0 xxcosli04.求 225500 0111 5lili li.5xx x七函数的连续性首先要记住两个重要结论：1一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；2一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：在 点处连续 在 点处既左连续又，右连续.xf0xf0例 42设函数 在 内连续，求常数2,1,.fabx，解：分析：当 时， 为初等函数，则当 时，0xf 0x为连续函数；当 时， 为初等函数，则当fx1x2fxa时， 为连续函数；当 时， 为初等函数，01f fbx则当 时， 为
28、连续函数.故要使得 在 内连续，只xx，须保证 在 及 处也连续.f01因为 0limli2;xx200limli.xxfa故只有当 ，即 时， 在 处也0ff f0x周世国：09 耶鲁专升本秋季班16连续.又因为 211limli;xxfa11limli.xxfb故只有当 ，即 时， 在 处也连ff 3bf续.关于复合函数的连续性，有下述命题：定理： 为复合函数，其中 存在，且yfx0,lixua也存在，则lim.uafA0li.xuaf上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.例如： 0 1sinsili1lmnl2.x ux推论： 为复合函数，其中 且 在 处yf0li;xafua
29、连续，则，即0limxffaA0 0lili.xxfff例 43求 .0sinlirctx解：令 .因 存在.且函数 在 处su0ililm1xxuarctnyu1连续，故 0 0nsinliarctarctlt1.4x x 当点 非连续点时，往往是间断点.关于间断点的分类是必考的考点.先一块回顾一下间断点及其分类标准.例 44求函数 的间断点，并指出其类型.2ln|3xf解：函数的定义域是 .而 在 上0,1f,01,2,是初等函数，所以连续.故函数的间断点是 （第二类的无穷型间1x断点） ； （第一类的可去型间断点） ； （第二类的无穷型间21x3断点）.例 45函数 的连续性.tanxf
30、周世国：09 耶鲁专升本秋季班17在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.例 46证明方程 至少有一个小于 1 的正根21x证明：设 ， 在 上连续，又ff0，由闭区间上连续函数的零点定理知，0,至少存在一点 ，使 从而方程 至少有一个小于1c， .fc.21x1 的正根 .思考题：1.证明方程 在 1 与 2 之间至少有一个实根.530x2证明方程 恰好有三个实根.（提示：令391.先证明 在 各区间内各有一fxfx,04个实根，说明方程 至少有三个实根.；再证明方程30最多有
31、三个实根，理由是 为三次代数方程，3910x3910x至多只能有三个实根.第二章 一元函数微分学一与导数的定义有关的考点先回顾导数的定义：设函数 在 内有定义，如果极限 存在，则称xfy0U00limxffx在 处可导， 称为函数 的可导点，且称上述极限值为函数f00f在 处的导数，记为： 或 ；或简记为 x|0xdy|0x0fx注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1 = ；0f00limxff周世国：09 耶鲁专升本秋季班182 ；0 00lim.xfhfxf要特别关注 处的导数有特殊形式：（更特别地，0li.xfff 0lim.0xfff f如 。要知道两个重要的结论
32、：1.可导必连续；2.函数 在 处可导的充要fy0x条件是 对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、/00.fxf右导出发.例 1已知 =A，试求下列极限的值0f（1） 00lim();xxfA（2）. 003li (4);xffx例 2研究函数 在 处的可导性.|f解：因为 / 000limli1xxff 同理，可求得 .1f由于 ，所以 在 处不可导 .（记住这个结论）0|xf0练习：设 在 处可导，求 的值.2,01.axefb,ab解：（一）因为 在 处可导，从而 在 处也连续.f fx0所以， 即00limli,xxf1.b（二） /00lilim;axx ef 22/00
33、01lilili.xxxfff 由 得 ./ff， 2a周世国：09 耶鲁专升本秋季班19例 3 已知 ，试求 在 处的导数 .2fxxf2解：因为 ，所以，224limli()4xx4.f由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个 型的极限.故求0导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点 处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家0x要牢记基本导数表（共十五、六条）.这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如： ，求 .xfsincosfx二导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种.一
34、种题型是选择题或判断题.比如：若函数 在 处可导，则曲线 在 处必有切线；（） ；xf0 :Cyfx0反之，若曲线 在 处有切线，则 在 处必可导，则（）.:Cyf0x另一种题型是根据几何意义找切线.例 4求曲线 与直线 垂直的切线.ln1y解：设切点 .00,Mx切线斜率 由题意， 即00.|xxky 01,x01.x故切线方程为 1.下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例 5设 为连续函数，且 求曲线 在点 处的xf 0lim2.xfyfx0,f切线方程.（08 年研究生考试题）解：由于 ，且0lim2.xf0li,x故 （前面已讲过理由）li.xff而 ，00lilim2.xxff
35、f所以，切线方程为 2.y周世国：09 耶鲁专升本秋季班20三导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误.下面举几个小例子.例 6求 的导数.2sinl72cos0yxx注意：部分同学可能会犯下面的错误： .1ln7例 7设 求31.,lxexyx.y此题应先化简再求导： 32lnxexy注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例 8求 的导数.xy2sin解：sicos2incosincsixxx .22coinx四反函数求导法则若函数 ，其反函数为 .若 在 的某邻域 内连续、yxfyy00Uy严格单调且 ，则 在点 可导，且00. 001fxy例 9求
36、的导数.arcsin解：设原函数 ，则其反函数为 .2,),cos(i yyx xyarcsin根据反函数求导法则.有.22111cosindyxyyx五复合求导法则大家可能还有印象，复合函数 的导数是xy2si.（与直接套用基本导数表相比，这个 2 从何而来？）sin2cosdyxx如 果记 ，则uuy,in周世国：09 耶鲁专升本秋季班21，sincos,2udydx故此题恰好满足等式： （*）yx.这是否是巧合的？我们说不是.事实上， （*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数 在 可导，而函数 在对应的 处也可导，uxufy)(x则复合函数 在 处也可导，且fy或 （或 .dx
37、u.xuxyfx注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数 ，如记 ，fy ufyvuv,则各变量间的关系是： ，有 .xuydx上式可通过连续使用两次链式法则得到.大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例 10求 的导数xy2sin解：记 ，则 .由链式法则，有uxu2,i.scos.2syfxux 注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？（2）正确写法是：.sin2cos.2suyfuxxx（3）大家注意到倒数第二
38、步还有一个将中间变量的记号用 x 的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号 u，请大家作题时不要忘记回代;(4) 显然中间变量的记号可以任意，比如：例 1 中，将 u 的记号换记为v，不会改变最后的结果.例 11求 的导数.2sinyx解：记 ，则 .u2u2sicosincos2.uyxxx 例 12求 的导数.tanl周世国：09 耶鲁专升本秋季班22解：先将 分解为基本初等函数，即2tanlxy.,vu22111lntasec.sec.csintanuvxuvx xy vxu注意：既然最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确
39、地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程.例 13 （重做例 3）解： 211lntatansec22txxxy注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，只至去掉最后一层.打个形象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法. （2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允许用第二种写法.（4）有一种比较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误
40、.例 14求 的导数.2ln1yx解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型. 12 2 222 21ln11yxx xxx = .222221x x例 15求 的导数.sin.yx解： i.isinisnn xx 1 1si .i.cosincsin.cosicosinnx xxx 周世国：09 耶鲁专升本秋季班231sinxx练习：1.求 的导数.:y2求 .x3 求 的导数.xy例 16设 在 处可导，试确定常数 的值.2,1.afbx,ab解：因为 在 处可导，从而 在 处也连续.但fxf1x故 .11lim;li;xxafab再由于 在 处可导，则f
41、/1.ff又 所以， ./;2;a2,ab例 17设 求2,01,.xf.fx解： 22,01,.xfx不 存 在 ，例 18设 求 （考研题）.2arctnl,1xxey1y解：由于 2 21tlnarctnlxxxxee所以， 2211.x xxeey故 2.注意；关于反函数的几个求导公式，个别同学容易搞错.在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导，容易犯记号错误.例 19设 ，其中 可导） ，求ln.fxyfefx.y周世国：09 耶鲁专升本秋季班24解： ln.lnfxfxyfxee 1ll.fxfxf 请注意：记号 的区别.nf，例 20设 其中 可导，求22,yfxg,fxg.
42、y解： 2221ff 22 .fxgxfxg有些同学最容易漏掉小尾巴.例 21设 求23,arcsin,2yffx0.|xdy解： 22 23131.arcsin3xyf fxx所以， 02六简单函数的高阶导数由高阶导数的定义可知，计算具体函数的 n 阶导数就是按求导法则和导数公式逐阶求下去，最后归纳出 n 阶导数的一般形式.没有捷径可走.例 22 ，求 .nyx1!,0ny例 23 ，求 .9.2xf 10,f例 24 ，求 .特别地， .xyalnyanxxe例 25 ，求 .sinsi()2xN类似， ，求 .xycoco()nyn例 26 ，求 .2xe2nxe周世国：09 耶鲁专升本秋季班25例 27 ，求 .xf1ln1!nnnyx例 28.（1） ，求 .256fx23nn注意：做题的过程中不要整理，合并，以便于归纳出一般规律.练习：（1）. ，2171fxx求 73.2nny（2） ，1213.32xfx x解： 1!.nnny注意：此法称拆项法，请同学们试做 ，66sicoy求 下面再讲一个稍微331cos21cos2
