1、实验七 连续时间系统 S 域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用 MATLAB 进行 S 域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应)(sH用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数 包含了系统)(sH的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。对任意有界信号 ，若系统产生的零状态响应 也是有界的，则称该系统为)(tf )(ty稳定系统，否则，则称为不稳定系统。上述稳定性的定义可以等效为下列条件： 时域条件：连续系统稳定
2、充要条件为 ，即冲激响应绝对可积；dth)( 复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数 的所有极点位于 S 平)(sH面的左半平面。系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。因此，只要考察系统函数 的极点)(s分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。这时可利用 MATLAB 来实现这一过程。例 7-1：已知某连续系统的系统函数为： 5328)(24ssH试用 MATLAB 求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数 sjdt
3、 即可解决此问题，对应的MATLAB 命令为：a=8 2 3 1 5;b=1 3 2;p,q=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图 7-1 所示。由程序运行结果可以看出，该系统在 S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为 ，冲激响应为 ，则)(sH)(th0des显然， 必然包含了 的本质特性。)(sHth对于集中参数的 LTI 连续系统，其系统函
4、数可表示为关于 s 的两个多项式之比，56即（7-1）NiiMjjpsqCsABH1)()(其中 为 的 M 个零点， 为 的 N 个极点。),21(jq(sH),21(ip(sH若系统函数的 N 个极点是单极点，则可将 进行部分分式展开为：s（7-2）Niiiks1)(从式（7-1 ）和（7-2 ）可以看出，系统冲激响应 的时域特性完全由系统函数)(th的极点位置决定。 的每一个极点将决定 的一项时间函数。显然， 的)(sH)(s )(sH极点位置不同，则 的时域特性也完全不同。下面利用例子说明 的极点分布与th )(s时域特性之间的关系。th例 7-2：已知连续系统的零极点分布如图 7-2
5、 所示，试用 MATLAB 分析系统冲激响应的时域特性。)(解：系统的零极点图已知，则系统的系统函数 就可确定。这样就可利用绘制连续)(sH系统冲激响应曲线的 MATLAB 函数 impulse()，将系统冲激响应 的时域波形绘制出)(th来。对于图 7-2（a ）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点位于原点，绘s1)(制冲激响应时域波形的 MATLAB 命令如下：a=1 0;b=1;impulse(b,a)绘制的冲激响应 波形如图 7-3（a ）所示，此时 为单位阶跃信号。)(th)(th图 7-1 例 7-1 的系统零极点图57图 7-2 例 7-2 的系统零极点图（a ） （b） （c
6、 ）（d） （e ） （f）图 7-3 例 7-2 的系统冲激响应时域波形图58对于图 7-2（b）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点为位于 S 平sH1)(面左半平面的实极点，令 ，绘制冲激响应时域波形的 MATLAB 命令如下：2a=1 2;b=1;impulse(b,a)绘制的冲激响应 波形如图 7-3（b）所示，此时 为衰减指数信号。)(th)(th对于图 7-2（c ）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点为位于 S 平sH1面右半平面的实极点，令 ，绘制冲激响应时域波形的 MATLAB 命令如下：2a=1 -2;b=1;impulse(b,a)绘制的冲激响应 波形如图 7-3（
7、c ）所示，此时 为随时间增长的指数信号。)(th)(th对于图 7-2（d）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点为21sH位于 S 平面左半平面的一对共轭极点，令 、 ，绘制冲激响应时域波形的5.04MATLAB 命令如下：a=1 1 16.25;b=1;impulse(b,a,5)绘制的冲激响应 波形如图 7-3（d）所示，此时 为按指数衰减的正弦振荡信)(th)(th号。对于图 7-2（e ）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点为位于 S21sH平面虚轴上的一对共轭极点，令 ，绘制冲激响应时域波形的 MATLAB 命令如下：4a=1 0 16;b=1;impulse(b,a,5)绘制
8、的冲激响应 波形如图 7-3（e ）所示，此时 为等幅正弦振荡信号。)(th)(th对于图 7-2（f ）所示的系统，系统函数为 ，即系统的极点为位21sH于 S 平面右半平面上的一对共轭极点，令 、 ，绘制冲激响应时域波形的5.04MATLAB 命令如下：a=1 -1 16.25;b=1;impulse(b,a,5)绘制的冲激响应 波形如图 7-3（f）所示，此时 为按指数增长的正弦振荡信)(th)(th号。从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，可以总结出以下规律：系统冲激响应 的时域特性完全由系统函数 的极点位置决定， 位于 S 平面左半平)(th)(sH)(sH面的极点决定了 随时
9、间衰减的信号分量，位于 S 平面虚轴上的极点决定了冲激响)(t应的稳态信号分量，位于 S 平面右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分59量。三、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性由前面分析可知，连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数 ，显然，)(sH系统的零极点分布也必然包含了系统的频率特性。下面介绍如何通过系统的零极点分布来直接求出系统的频率响应 的方法j几何矢量法，以及如何用 MATLAB 来实现这一过程。几何矢量法是通过系统函数零极点分布来分析连续系统频率响应 的一种直)(观而又简便的方法。该方法将系统函数的零极点是为 S 平面上的矢量，通过对这些矢量的模和幅角的分析，
10、即可快速确定出系统的幅频响应和相频响应。其基本原理如下：设某连续系统的系统函数为： NiiMjjpsqCsABH1)()(其中 为 的 M 个零点， 为 的 N 个极点。则频),21(jq(s,2i )(sH率响应为：（7-3）NiiMjjjs psqCj1)()(现在从几何矢量空间的角度分析 S 平面，即将 S 平面的任一点看成是从原点到该点的矢量，则 即是从 S 平面原点到虚轴上角频率为 的点的矢量。同理，j和 即是从 S 平面原点到系统函数各零点和极点的矢量。),21(Mjq),21(Nip现在考虑矢量 ，由矢量运算可知，它实际上就是零点 到虚轴上角频率为jq jq的点的矢量，如图 7-
11、3 所示；而矢量 则是极点 到虚轴上角频率为 的点的ipji 矢量。令 jjjeBqiiApjqipijjiAjB ResImsj图 7-3 连续系统几何矢量法示意图60其中， 为矢量 的模， 为该矢量的幅角； 为矢量 的模， 为该矢jBjqjiAipji量的幅角。因此有：（7-4）)(1)()( jNiijMjjj eHeABCjH则系统的幅频特性和相频特性为：（7-5）NiiMjjj1)(（7-6）iiMjj11由上述分析可以得出如下结论： 连续系统的幅频响应 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为 的点)(jH的距离之积与系统函数所有极点到虚轴上角频率为 的点的距离之积的比值； 连续系统的
12、相频响应 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为 的点的矢量相角之和与系统函数所有极点到虚轴上角频率为 的点的矢量相角之和的差值。让矢量 沿着虚轴变化，即角频率 由 进行改变，便可直观地求出系统幅j 0频响应和相频响应随 的变化，从而分析出系统的频率特性。根据上述结论，若已知系统的零极点分布，即可直接由几何矢量法分析出系统的频率特性。上述过程可用 MATLAB 快速实现。用 MATLAB 实现已知系统零极点分布，求系统频率响应，并绘制其幅频特性和相频特性曲线的程序流程如下：（1） 定义包含系统所有零点和极点位置的行向量 q 和 p；（2） 定义绘制系统频率响应曲线的频率范围向量 f1 和 f2、
13、频率取样间隔 k，并产生频率等分点向量 f；（3） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的距离；（4） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的矢量相角；（5） 根据式（7-5）和（7-6）求出 f1 到 f2 频率范围内各频率等分点的 和)(jH；)(（6） 绘制 f1f2 频率范围内系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。下面是完成上述分析过程的 MATLAB 实用函数 splxy()。function splxy(f1,f2,k,p,q)%根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序%f1、f2：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为赫兹）%p、q ：系统函数极点和零点位置行向量%k：
14、绘制频率响应曲线的频率取样间隔p=p;q=q;f=f1:k:f2; %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围w=f*(2*pi);61y=i*w;n=length(p);m=length(q);if n=0 %如果系统无极点yq=ones(m,1)*y; vq=yq-q*ones(1,length(w);bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;ai=1;thetai=0;elseif m=0 %如果系统无零点yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180;bj
15、=1;cosaij=0;else yp=ones(n,1)*y;yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);vq=yq-q*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180;bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;endsubplot(121);Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1);plot(f,Hw);title(连续系统幅频响应曲线)xlabel(频率 w（单位：赫兹） )ylabel(F(jw)subplot(122);Angw=sum(cosai
16、j,1)-sum(thetai,1);plot(f,Angw);title(连续系统相频响应曲线)xlabel(频率 w（单位：赫兹） )ylabel(Angle(jw)下面举例说明如何调用该函数。例 7-3：已知系统的系统函数为 ，试用 MATLAB 绘制出该系统)10(5)(ssH的频率特性曲线（幅频曲线和相频曲线） 。解：通过调用上述实用函数求解，命令如下：q=0;p=-100 -50;f1=0;f2=100;k=0.01;62splxy(f1,f2,k,p,q);运行结果如图 7-4 所示。四、实验内容已知连续系统的系统函数分别如下所示，试用 MATLAB 绘制系统的零极点图，并根据零
17、极点图判断系统的稳定性，同时绘制出系统的频率特性曲线（提示：系统的零极点可用 MATLAB 函数 roots 求得） 。（1） （2）64532)(2ssH 54)(2)ssH（3） （4）0)9(24 123function p,q=sjdt(A,B)%绘制连续系统零极点图程序 %A:系统函数分母多项式系数向量%B:系统函数分子多项式系数向量%p:函数返回的系统函数极点位置行向量%q:函数返回的系统函数零点位置行向量p=roots(A); %求系统极点q=roots(B); %求系统零点p=p; %将极点列向量转置为行向量q=q; %将零点列向量转置为行向量图 7-4 系统幅频特性与相频特性
18、曲线63x=max(abs(p q); %确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x; %确定横坐标范围clfhold onaxis(-x x -y y); %确定坐标轴显示范围axis(square)plot(-x x,0 0) %画横坐标轴plot(0 0,-y y) %画纵坐标轴plot(real(p),imag(p),x) %画极点plot(real(q),imag(q),o) %画零点title(连续系统零极点图) %标注标题text(0.2,x-0.2,虚轴 )text(y-0.2,0.2,实轴 )function splxy(f1,f2,k,p,q)%根据系统零极点分布绘制系统频率响应
19、曲线程序%f1、f2 ：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为赫兹）%p、q：系统函数极点和零点位置行向量%k：绘制频率响应曲线的频率取样间隔p=p;q=q;f=f1:k:f2; %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围w=f*(2*pi);y=i*w;n=length(p);m=length(q);if n=0 %如果系统无极点yq=ones(m,1)*y; vq=yq-q*ones(1,length(w);bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;ai=1;thetai=0;elseif m=0 %如果系统无零点yp=ones(n,1)*y;vp
20、=yp-p*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180;bj=1;cosaij=0;else yp=ones(n,1)*y;yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);vq=yq-q*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180;bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;endsubplot(121);Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1);plot(f,Hw);title(连续系统幅频响应
21、曲线)64xlabel(频率 w（单位：赫兹）)ylabel(F(jw)subplot(122);Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1);plot(f,Angw);title(连续系统相频响应曲线)xlabel(频率 w（单位：赫兹）)ylabel(Angle(jw)1. 求零极点A=3 5 4 6;B=1 1 2;p,q=sjdt(A,B)p =-1.6101 -0.0283 - 1.1142i -0.0283 + 1.1142iq =-0.5000 - 1.3229i -0.5000 + 1.3229i系统为稳定系统绘制出系统的频率特性曲线：f1=0;f2=5;k
22、=0.01;splxy(f1,f2,k,p,q);652. 求零极点A=1 4 5;B=2 -8 10;p,q=sjdt(A,B)p =-2.0000 - 1.0000i -2.0000 + 1.0000iq =2.0000 - 1.0000i 2.0000 + 1.0000i系统为稳定系统绘制出系统的频率特性曲线：f1=0;f2=50;k=0.01;splxy(f1,f2,k,p,q);663. 求零极点A=1 0 20 0 64;B=3 0 -27 0;p,q=sjdt(A,B)p =0.0000 - 4.0000i 0.0000 + 4.0000i 0 - 2.0000i 0 + 2.0000iq =0 3 -3系统为不稳定系统绘制出系统的频率特性曲线：f1=0;f2=5;k=0.01;splxy(f1,f2,k,p,q);674. 求零极点：A=1 2 2 1;B=1;p,q=sjdt(A,B)p =-1.0000 -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660iq =Empty matrix: 1-by-0系统为稳定系统绘制出系统的频率特性曲线：68f1=0;f2=5;k=0.01;splxy(f1,f2,k,p,q);
